《2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專(zhuān)題25 圓的問(wèn)題（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專(zhuān)題25 圓的問(wèn)題（含解析）（24頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題25 圓的問(wèn)題 專(zhuān)題知識(shí)回顧 一、與圓有關(guān)的概念與規(guī)律 1．圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 2.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對(duì)稱(chēng)性；（3）圓具有中心對(duì)稱(chēng)性。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 4．推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 5．圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。 6．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的

2、弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。 7.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。 8.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 9．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 10. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系： ① 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 ② 點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑 ③ 點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 11. 過(guò)三點(diǎn)的

3、圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。 12. 外接圓和外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。 外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 13．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。 14．圓內(nèi)接四邊形的特征： ①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； ②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 15.直線與圓有3種位置關(guān)系： 如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 ① 直線和⊙O相交； ② 直線和⊙O相切； ③ 直線和⊙O相離。

4、16.和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱(chēng)為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 17.切線的性質(zhì) （1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 （2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。 （3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 18.切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 19.切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切 線的夾角。 20．設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，兩個(gè)圓的圓心距，則： 兩圓外離 ； 兩圓外切 ； 兩圓相交 ； 兩圓內(nèi)

5、切 ； 兩圓內(nèi)含 21.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化 弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到. 22.與圓有關(guān)的公式 設(shè)圓的周長(zhǎng)為r，則： （1）求圓的直徑公式d=2r （2）求圓的周長(zhǎng)公式 C=2πr （3）求圓的面積公式S=πr2 二、解題要領(lǐng) 1.判定切線的方法： （1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直； （2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線； 總而言之，要完成

6、兩個(gè)層次的證明： ①直線所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）； ②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線. 2.與圓有關(guān)的計(jì)算： 計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有： （1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本

7、圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng)）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù). （2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。 （3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。 專(zhuān)題典型題考法及解析 【例題1】（2019?山東省濱州市）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（　　） A．

8、60° B．50° C．40° D．20° 【答案】B 【解析】考點(diǎn)是圓周角定理。本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．連接AD，先根據(jù)圓周角定理得出∠A及∠ADB的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 連接AD， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°． ∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°． 【例題2】（2019?南京）如圖，PA.PB是⊙O的切線，A.B為切點(diǎn)，點(diǎn)C.D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝　 　． 【答案】219°． 【解析】連接AB，根據(jù)切線

9、的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到結(jié)論． 連接AB， ∵PA.PB是⊙O的切線，∴PA＝PB， ∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB+∠C＝180°， ∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219° 【例題3】（2019?甘肅武威）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上，⊙D經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E． （1）求證：AC是⊙D的切線； （2）若CE

10、＝2，求⊙D的半徑． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． （1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切線； 證明：連接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切線； （2）連接AE，

11、推出△ADE是等邊三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到結(jié)論． 連接AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等邊三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半徑AD＝2． 【例題4】（2019?江蘇蘇州）如圖，AE為的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)BC與AD，OD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn). （1）求證：； （2）求證：; （3）若，求的值. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）證明：∵D為弧BC的中點(diǎn)，OD為的半徑 ∴

12、 又∵AB為的直徑 ∴∴ （2）證明：∵D為弧BC的中點(diǎn) ∴∴∴ ∴,即 （3）解：∵， ∴ 設(shè)CD=，則DE=， 又∵∴ ∴,所以 又,∴ 即 專(zhuān)題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1．(2019甘肅隴南)如圖，點(diǎn)A，B，S在圓上，若弦AB的長(zhǎng)度等于圓半徑的倍，則∠ASB的度數(shù)是（　?。? A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C． 【解析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 設(shè)圓心為0，連接OA.OB，如圖，先證明△OAB為等腰直角三角形得到∠AOB＝9

13、0°，然后根據(jù)圓周角定理確定∠ASB的度數(shù)． 設(shè)圓心為O，連接OA.OB，如圖， ∵弦AB的長(zhǎng)度等于圓半徑的倍， 即AB＝OA， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∴∠ASB＝∠AOB＝45°． 2.（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓O的直徑，D，E是上兩點(diǎn)，連接BD，CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A，連接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度數(shù)為（　?。? A．35° B．38° C．40° D．42° 【答案】C． 【解析】考點(diǎn)是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)。連接CD，由圓周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90

14、°﹣∠A＝20°，再由圓周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可， 連接CD，如圖所示： ∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40° 3.（2019?廣西貴港）如圖，AD是⊙O的直徑，＝，若∠AOB＝40°，則圓周角∠BPC的度數(shù)是（　?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B． 【解析】根據(jù)圓周角定理即可求出答案． ∵＝，∠AOB＝40°， ∴∠COD＝∠AOB＝40°， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴∠BOC＝100°， ∴∠BPC

15、＝∠BOC＝50° 4.（2019?湖北天門(mén)）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD．下列結(jié)論：①CD是⊙O的切線；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【答案】A 【解析】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵． 連結(jié)DO． ∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO

16、＝∠COD． 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線；故①正確， ∵△COD≌△COB，∴CD＝CB， ∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正確； ∵AB為⊙O的直徑，DC為⊙O的切線，∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正確；

17、 ∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD＝OB， ∴ED?BC＝BO?BE，故④正確. 5.（2019?山東省德州市 ）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A，C，D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。? A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】B． 【解析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù)．由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示， ∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝40°

18、，∴∠ADC＝140° 6.（2019湖南益陽(yáng)）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答案】D． 【解析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理、垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)． 先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，由此可判斷D不一定成立． ∵PA，PB是⊙O的切線， ∴P

19、A＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切線， ∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，所以D不一定成立． 7.（2019?廣東廣州）平面內(nèi)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到O的距離為2，過(guò)點(diǎn)P可作⊙O的切線條數(shù)為（　　） A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條 【答案】C． 【解析】此題主要考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，切線的定義，切線就是與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)的直線，理解定義是關(guān)鍵． 先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)切線的定義即可直接得出答案． ∵⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到圓心O的距離

20、為2， ∴d＞r， ∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是：P在⊙O外， ∵過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的2條切線。 8．（2019?山東泰安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝119°，過(guò)點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為（　　） A．32° B．31° C．29° D．61° 【答案】A． 【解析】連接OC、CD，由切線的性質(zhì)得出∠OCP＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果． 如圖所示：連接OC、CD， ∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥OC，∴∠OC

21、P＝90°， ∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°， ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°， ∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°， ∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32° 9．(2019?湖南益陽(yáng))如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答案】D 【解析】先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，

22、AB平分PD，由此可判斷D不一定成立． ∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切線，∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，所以D不一定成立．故選D． 10. (2019湖北荊門(mén))如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（　?。? A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不確定 【答案】A． 【解析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角

23、形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理． 連接BI，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根據(jù)圓周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明∠4＝∠DBI，從而可判斷DI＝DB． 連接BI，如圖， ∵△ABC內(nèi)心為I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6， ∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2， ∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5， 即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB． 二、填空題 11.（2019廣西北部灣）《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何原本》并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題：“今

24、有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為 寸. 【答案】26. 【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，則有r2=52+(r-1)2，解方程即可． 設(shè)⊙O的半徑為r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 則有r2=52+(r-1)2， 解得r=13， ∴⊙O的直徑為26寸。 12. (2019黑龍江綏化)半徑為5的¤O是銳角三角形A

25、BC的外接圓,AB＝AC,連接OB,OC,延長(zhǎng)CO交弦AB于點(diǎn)D.若△OBD是直角三角形,則弦BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____. 【答案】 【解析】∵△OBD為直角三角形,∴分類(lèi)討論:如圖,當(dāng)∠BOD＝90°時(shí),∠BOC＝90°,在Rt△BOC中,BO＝OC＝5,∴BC＝;當(dāng)∠ODB＝90°時(shí),∵OB＝OC,設(shè)∠OBC＝∠OCB＝x,∴∠BOD＝2x,∠BOC＝180°－2x,∴∠ABO＝90°－2x,∠ABC＝∠ACB＝90°－x,∴∠A＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x＝2×2x,∴x＝30°,∴∠BOC＝120°,∵OB＝OC＝5,∴BC＝.綜上所述,BC的長(zhǎng)度為 13. （20

26、19山東東營(yíng)）如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點(diǎn)B是⊙O 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=45°，若點(diǎn)M、N分別是 AC、BC的中點(diǎn)，則 MN的最大值是____________． 【答案】 【解析】∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN=AB． 當(dāng)AB為⊙O的直徑時(shí)，AB有最大值，則MN有最大值． 當(dāng)AB為直徑時(shí)，∠ACB=90°， ∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=， ∴MN=． 14.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】60°. 【解析】∵OA⊥BC，∴ ，∴∠AO

27、B＝2∠ADC, ∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°. 15.（2019江蘇常州）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOC＝120°，則∠CDB＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDB=12∠BOC＝30°． 16.（2019四川省雅安市）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD=21°，則 ∠A的度數(shù)為_(kāi)______. 【答案】69° 【解析】∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°． 17.(2019安徽)

28、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2， 則CD的長(zhǎng)為　 ?。? 【答案】． 【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論． 連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE， 則∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°， ∵⊙O的半徑為2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2， ∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝ 18.（2019?江蘇泰州）如圖，⊙O的半

29、徑為5，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，且AP＝3，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交⊙O于點(diǎn)B.C．設(shè)PB＝x，PC＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為　 ?。? 【答案】y＝x． 【解析】連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接BD， 則∠C＝∠D，∠PBD＝90°， ∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD， ∴△PAC∽△PBD，∴， ∵⊙O的半徑為5，AP＝3，PB＝x，PC＝y(tǒng)， ∴＝，∴y＝x 19.（2019?山東省濟(jì)寧市 ）如圖

30、，O 為Rt△ ABC 直角邊 AC 上一點(diǎn)，以 OC 為半徑的⊙O 與斜邊 AB 相切于點(diǎn) D，交 OA 于點(diǎn) E，已知 BC＝，AC＝3．則圖中陰影部分的面積是 ． 【答案】 ． 【解析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 在Rt△ ABC 中，∵BC＝，AC＝3． ∴AB＝ ＝2 ， ∵BC⊥OC，∴BC 是圓的切線， ∵⊙O 與斜邊 AB 相切于點(diǎn) D，∴BD＝BC， ∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ； 在 Rt△ ABC 中，∵sinA＝＝ ＝ ，∴∠A＝30°， ∵⊙O 與斜邊 AB 相切

31、于點(diǎn) D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°， ∵ ＝tanA＝tan30°，∴ ＝ ，∴OD＝1， ∴S 陰影＝＝ ． 20.（2019?湖北省鄂州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為　 ?。? 【答案】16． 【解析】連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大， ∵C（3，4），∴OC＝＝5， ∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為3，∴OP＝OA＝OB＝8， ∵AB是

32、直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長(zhǎng)度的最大值為16。 三、解答題 21.（2019?南京）如圖，⊙O的弦AB.CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證：PA＝PC． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 連接AC，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出＝，進(jìn)而得出＝，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠C＝∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊證得結(jié)論． 證明：連接AC， ∵AB＝CD，∴＝， ∴+＝+，即＝， ∴∠C＝∠A，∴PA＝PC． 22.（2019?湖南株洲）四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是⊙

33、O的直徑，連結(jié)AC.BD．點(diǎn)H是線段BD上的一點(diǎn)，連結(jié)AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)P． （1）求證：四邊形ADCH是平行四邊形； （2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1） ①求證：△DHC為等腰直角三角形； ②求CH的長(zhǎng)度． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求CD的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵． （1）由圓周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可證AD∥CH，由一組對(duì)邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形ADCH是平行四邊形；

34、 （2）①由平行線的性質(zhì)可證∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可證△DH 為等腰直角三角形； ②通過(guò)證明△ADP∽△CBP，可得，可得，通過(guò)證明△CHD∽△ACB，可得，可得AB＝CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CH的長(zhǎng)度． 證明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH,∴AD∥CH，且AD＝CH ∴四邊形ADCH是平行四邊形 （2）①∵AB是直徑 ∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45° ∵AD∥CH ∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB

35、＝45° ∴∠CDB＝∠DCH＝45°,∴CH＝DH，且∠CHD＝90° ∴△DHC為等腰直角三角形； ②∵四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P,∴△ADP∽△CBP ∴，且PB＝PD， ∴，AD＝CH，∴ ∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB ∴,∴AB＝CD ∵AB+CD＝2（+1）,∴CD+CD＝2（+1） ∴CD＝2，且△DHC為等腰直角三角形,∴CH＝ 23.（2019?廣西池河）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，CF與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． （1）若AE＝DC，∠E＝∠

36、BCD，求證：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的長(zhǎng)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出，由圓周角定理得出∠ADE＝∠DBC，證明△ADE≌△DBC，即可得出結(jié)論； 證明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC， 在△ADE和△DBC中，， ∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC； （2）連接CO并延長(zhǎng)交AB于G，作OH⊥AB于H，則∠OHG＝∠OHB＝90°，由切線的性質(zhì)得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠OBH＝30°，由直角三

37、角形的性質(zhì)得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案． 連接CO并延長(zhǎng)交AB于G，作OH⊥AB于H，如圖所示： 則∠OHG＝∠OHB＝90°， ∵CF與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠FCG＝90°， ∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH， ∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°， ∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+． 24.（2019?甘肅）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E． （1）求證：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8

38、，DE＝5，求BC的長(zhǎng)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． （1）只要證明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解決問(wèn)題。 證明：連接OD， ∵DE是切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°， ∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A． （2）首先證明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，設(shè)BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102

39、，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解決問(wèn)題．連接CD． ∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE， ∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED＝EC，∴AE＝EC， ∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10， 在Rt△ADC中，DC＝6， 設(shè)BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102， ∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝， ∴BC＝＝． 25.（2019?湖北省咸寧市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB

40、于點(diǎn)G． （1）試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． （2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長(zhǎng)． 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】（1）如圖，連接OF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到結(jié)論。FG與⊙O相切， 理由：如圖，連接OF， ∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB， ∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°， ∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG與⊙O相切。 （2）連接DF，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝4，根據(jù)圓周角定理得到∠DFC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．連接DF， ∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4， ∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC， ∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2， ∵sin∠ABC＝， 即＝，∴FG＝． 24