專題11 一次函數(shù) 專題知識回顧 1一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。2一次函數(shù)的圖像：是不經(jīng)過原點的一條直線。3一次函數(shù)的性質(zhì)：（1）當k>0時，圖象主要經(jīng)過第一、三象限；此時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖象主要經(jīng)過第二、四象限，此時，y隨x的增大而減??；（3）當b>0時，直線交y軸于正半軸；（4）當b<0時，直線交y軸于負半軸。4. 用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關系式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關系式中得出所求函數(shù)的解析式.5一正比例函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)6.正比例函數(shù)的圖像：是經(jīng)過原點的一條直線。7正比例函數(shù)的性質(zhì)（1）當k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小8正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系一次函數(shù)y=kxb的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）專題典型題考法及解析 【例題1】（2019貴州省畢節(jié)市）已知一次函數(shù)ykx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則下列結論正確的是（）Akb0Bkb0Ck+b0Dk+b0【答案】B【解析】ykx+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限，k0，b0，kb0；故選：B【例題2】（2019江蘇無錫）已知一次函數(shù)ykx+b的圖象如圖所示，則關于x的不等式3kxb0的解集為 【答案】x2【解析】直接利用圖象把（6，0）代入，進而得出k，b之間的關系，再利用一元一次不等式解法得出答案圖象過（6，0），則06k+b，則b6k，故3kxb3kx6k0，k0，x20，解得：x2【例題3】（2019上海）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知一次函數(shù)的圖象平行于直線yx，且經(jīng)過點A（2，3），與x軸交于點B（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）設點C在y軸上，當ACBC時，求點C的坐標【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為yx+2；（2）點C的坐標是（0，）【解析】設一次函數(shù)的解析式為ykx+b，解方程即可得到結論；求得一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B（4，0），根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結論（1）設一次函數(shù)的解析式為：ykx+b，一次函數(shù)的圖象平行于直線yx，k，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2，3），3+b，b2，一次函數(shù)的解析式為yx+2；（2）由yx+2，令y0，得x+20，x4，一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B（4，0），點C在y軸上，設點C的坐標為（0，y），ACBC，y，經(jīng)檢驗：y是原方程的根，點C的坐標是（0，） 專題典型訓練題 一、選擇題1.（2019江蘇揚州）若點P在一次函數(shù)的圖像上，則點P一定不在（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】坐標系中，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限。2.（2019廣西河池）函數(shù)的圖象不經(jīng)過A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】【解析】一次函數(shù)，函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，函數(shù)圖象與軸負半軸相交，函數(shù)圖象經(jīng)過第一三四象限，不經(jīng)過第二象限故選：3.（2019年陜西?。τ谡壤瘮?shù)，當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值增加（ ）A B C D 【答案】A【解析】因為正比例函數(shù)，所以當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值減少2，故，當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值增加4.（2019年陜西?。┮阎淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點、，且時，則k等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】因為一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，所以，因為當時，所以當時，即，解得5.（2019廣西桂林）如圖，四邊形的頂點坐標分別為，當過點的直線將四邊形分成面積相等的兩部分時，直線所表示的函數(shù)表達式為ABCD【答案】D【解析】由，四邊形分成面積，可求的直線解析式為，設過的直線為，將點代入解析式得，直線與該直線的交點為，直線與軸的交點為，或，直線解析式為6.（2019廣西梧州）直線向下平移2個單位，所得直線的解析式是ABCD【答案】D【解析】直線向下平移2個單位，所得直線的解析式是：7.（2019湖南邵陽）一次函數(shù)的圖象如圖所示，將直線向下平移若干個單位后得直線，的函數(shù)表達式為下列說法中錯誤的是A BC D當時，【答案】B【解析】將直線向下平移若干個單位后得直線，直線直線，直線向下平移若干個單位后得直線，當時，8.（2019浙江杭州）已知一次函數(shù)y1ax+b和y2bx+a（ab），函數(shù)y1和y2的圖象可能是（）A B C D 【答案】A 【解析】根據(jù)直線判斷出a、b的符號，然后根據(jù)a、b的符號判斷出直線經(jīng)過的象限即可，做出判斷A.由可知：a0，b0直線經(jīng)過一、二、三象限，故A正確；B.由可知：a0，b0直線經(jīng)過一、二、三象限，故B錯誤；C.由可知：a0，b0直線經(jīng)過一、二、四象限，交點不對，故C錯誤；D.由可知：a0，b0，直線經(jīng)過二、三、四象限，故D錯誤二、填空題9.（2019貴陽）在平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)yk1x+b1與yk2x+b2的圖象如圖所示，則關于x，y的方程組的解是 【答案】【解析】利用方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標求解一次函數(shù)yk1x+b1與yk2x+b2的圖象的交點坐標為（2，1），關于x，y的方程組的解是10.（2019貴州黔西南州）如圖所示，一次函數(shù)yax+b（a、b為常數(shù)，且a0）的圖象經(jīng)過點A（4，1），則不等式ax+b1的解集為 【答案】x4【解析】函數(shù)yax+b的圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點A（4，1），且函數(shù)值y隨x的增大而增大，故不等式ax+b1的解集是x411.（2019湖南郴州）某商店今年6月初銷售純凈水的數(shù)量如下表所示：日期1234數(shù)量（瓶）120125130135觀察此表，利用所學函數(shù)知識預測今年6月7日該商店銷售純凈水的數(shù)量約為 瓶【答案】150【解析】這是一個一次函數(shù)模型，設ykx+b，則有k+b=1202k+b=125，解得k=5b=115，y5x+115，當x7時，y150，預測今年6月7日該商店銷售純凈水的數(shù)量約為150瓶。12.（2019山東東營）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x和y=x的圖象分別為直線l1，l2，過l1上的點A1（1，）作x軸的垂線交l2于點A2，過點A2作y軸的垂線交l1于點A3，過點A3作x軸的垂線交l2于點A4，依次進行下去，則點A2019的橫坐標為_【答案】31009【解析】從簡單的入手，分別求出A2到A9的橫坐標，找出循環(huán)，依此規(guī)律結合2019=504×4+3即可找出點A2019的坐標當x=1時，y=x=，A2（1，）；當y=x=，x=3，A3（3，）；當x=3時，y=x=3，A4（3，3）；當y=x=3時，x=9，A5（9，3）；同理可得A6（9，9），A7（27，9），A8（27，27），A9（81，27），A4n+1（32n，32n×），A4n+2（32n，32n×），A4n+3（32n+1，32n+1×），A4n+4（32n+1，32n+1×），（n為自然數(shù)）2019=504×4+3，點A2019的橫坐標為32×504+1=3100913.（2019遼寧本溪）函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過的象限是 .【答案】一、三.【解析】函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過一三象限，故答案為一、三.14.（2019江蘇徐州）函數(shù)yx1的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在x軸上，若ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C共有_個. 【答案】4【解析】本題解答時要分類討論.作AB的垂直平分線，交于坐標原點，OAB為等腰三角形；以B為圓心BA長為半徑交x軸于C2，C2AB為等腰三角形，以A為圓心，AB長為半徑，交x軸于C3，C4，則C3AB，C4AB為等腰三角形，所以滿足條件的C點的有4個.三、解答題15.（2019河北）長為300m的春游隊伍，以v（m/s）的速度向東行進，如圖1和圖2，當隊伍排尾行進到位置O時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v（m/s），當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進設排尾從位置O開始行進的時間為t（s），排頭與O的距離為S頭（m）（1）當v2時，解答：求S頭與t的函數(shù)關系式（不寫t的取值范圍）；當甲趕到排頭位置時，求S的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置O的距離為S甲（m），求S甲與t的函數(shù)關系式（不寫t的取值范圍）（2）設甲這次往返隊伍的總時間為T（s），求T與v的函數(shù)關系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊伍在此過程中行進的路程【答案】見解析?！窘馕觥浚?）排尾從位置O開始行進的時間為t（s），則排頭也離開原排頭t（s），S頭2t+300甲從排尾趕到排頭的時間為300÷（2vv）300÷v300÷2150 s，此時S頭2t+300600 m甲返回時間為：（t150）sS甲S頭S甲回2×150+3004（t150）4t+1200；因此，S頭與t的函數(shù)關系式為S頭2t+300，當甲趕到排頭位置時，求S的值為600m，在甲從排頭返回到排尾過程中，S甲與t的函數(shù)關系式為S甲4t+1200（2）Tt追及+t返回+，在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為：v×（T150）v×（150）400150v；因此T與v的函數(shù)關系式為：T，此時隊伍在此過程中行進的路程為（400150v）m16.（2019河南）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的請設計出最省錢的購買方案，并說明理由【答案】見解析?！窘馕觥浚?）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，A的單價30元，B的單價15元；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30z）個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，z（30z），z，W30z+15（30z）450+15z，當z8時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少。17.（2019浙江湖州）某校的甲、乙兩位老師同住一小區(qū)，該小區(qū)與學校相距2400米甲從小區(qū)步行去學校，出發(fā)10分鐘后乙再出發(fā)，乙從小區(qū)先騎公共自行車，途經(jīng)學校又騎行若干米到達還車點后，立即步行走回學校已知甲步行的速度比乙步行的速度每分鐘快5米設甲步行的時間為x（分），圖1中線段OA和折線BCD分別表示甲、乙離開小區(qū)的路程y（米）與甲步行時間x（分）的函數(shù)關系的圖象；圖2表示甲、乙兩人之間的距離s（米）與甲步行時間x（分）的函數(shù)關系的圖象（不完整）根據(jù)圖1和圖2中所給信息，解答下列問題：（1）求甲步行的速度和乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程；（2）求乙騎自行車的速度和乙到達還車點時甲、乙兩人之間的距離；（3）在圖2中，畫出當25x30時s關于x的函數(shù)的大致圖象（溫馨提示：請畫在答題卷相對應的圖上）【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結合的思想解答（1）由圖可得，甲步行的速度為：2400÷3080（米/分），乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程是10×80800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程是800米；（2）設直線OA的解析式為ykx，30k2800，得k80，直線OA的解析式為y80x，當x18時，y80×181440，則乙騎自行車的速度為：1440÷（1810）180（米/分），乙騎自行車的時間為：251015（分鐘），乙騎自行車的路程為：180×152700（米），當x25時，甲走過的路程為：80×252000（米），乙到達還車點時，甲乙兩人之間的距離為：27002000700（米），答：乙騎自行車的速度是180米/分，乙到達還車點時甲、乙兩人之間的距離是700米；（3）乙步行的速度為：80575（米/分），乙到達學校用的時間為：25+（27002400）÷7529（分），當25x30時s關于x的函數(shù)的大致圖象如右圖所示18.（2019北京市） 在平面直角坐標系中，直線l：與直線，直線分別交于點A，B，直線與直線交于點（1）求直線與軸的交點坐標；（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點記線段圍成的區(qū)域（不含邊界）為當時，結合函數(shù)圖象，求區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)；若區(qū)域內(nèi)沒有整點，直接寫出的取值范圍【答案】見解析?！窘馕觥浚?）當時，由；直線與軸的交點坐標為.（2）如下圖，當k=2時，直線：，把代入直線，則.； 把代入直線， ， . .畫出函數(shù)的圖象及直線 ，直線組成的區(qū)域，顯然區(qū)域中整數(shù)點有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；顯然區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)有6個. 由類似分析圖象知區(qū)域內(nèi)沒有整點時有或.19. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）小明放學后從學?；丶?，出發(fā)5分鐘時，同桌小強發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學作業(yè)卷忘記拿了，立即拿著數(shù)學作業(yè)卷按照同樣的路線去追趕小明小強出發(fā)10分鐘時，小明才想起沒拿數(shù)學作業(yè)卷，馬上以原速原路返回，在途中與小強相遇兩人離學校的路程y（米）與小強所用時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示（1）求函數(shù)圖象中a的值；（2）求小強的速度；（3）求線段AB的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍【答案】見解析?！窘馕觥繉τ冢?），結合圖象，全面、仔細分析運動對象和運動過程，（0,300）這個點的含義是：小明出發(fā)5分鐘時，離學校300米，此時小強出發(fā).由此可知小明離開學校后的速度.點A（10，a）的含義是：小強出發(fā)10分鐘后，小明離學校a米，此時小明運動的時間為10+5=15分鐘，結合以上兩個條件，可以求出a的值；對于（2），小強出發(fā)12分鐘后與小明相遇，此時小明運動了15+2=17分鐘，其中最后兩分鐘是折返后的行程，由此可計算出兩人相遇地點與學校之間的距離，再根據(jù)小強運動到相遇地點所用的時間，即可計算出小強的速度；對于（3），先確定點B的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出線段AB的函數(shù)解析式.【解題過程】（1）a=900（2）小明的速度為300÷5=60（米/分）小強的速度為（900-60×2）÷12=65（米/分）（3）由題意得B（12,780）設AB所在直線的解析式為y=kx+b(k0),把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得，線段AB的解析式為y=-60x+1500，(10x12)20.（2019貴州省安順市）安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千元）與每千元降價x（元）（0x20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？【答案】見解析?！窘馕觥浚?）設一次函數(shù)解析式為：ykx+b當x2，y120；當x4，y140；，解得：，y與x之間的函數(shù)關系式為y10x+100；（2）由題意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，讓顧客得到更大的實惠，x9，答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元21（2019衢州）定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x，y那么稱點T是點A，B的融合點例如：A（1，8），B（4，2），當點T（x，y）滿足x1，y2時，則點T（1，2）是點A，B的融合點（1）已知點A（1，5），B（7，7），C（2，4），請說明其中一個點是另外兩個點的融合點（2）如圖，點D（3，0），點E（t，2t+3）是直線l上任意一點，點T（x，y）是點D，E的融合點試確定y與x的關系式若直線ET交x軸于點H當DTH為直角三角形時，求點E的坐標【答案】見解析。【解析】x（1+7）2，y（5+7）4，即可求解；由題意得：x（t+3），y（2t+3），即可求解；分DTH90°、TDH90°、HTD90°三種情況，分別求解即可（1）x（1+7）2，y（5+7）4，故點C是點A、B的融合點；（2）由題意得：x（t+3），y（2t+3），則t3x3，則y（6x6+3）2x1；當DHT90°時，如圖1所示，設T（m，2m1），則點E（m，2m+3），由點T是點D，E的融合點得：m，解得：m，即點E（，6）；當TDH90°時，如圖2所示，則點T（3，5），由點T是點D，E的融合點得：點E（6，15）；當HTD90°時，該情況不存在；故點E（，6）或（6，15）17