專題21 菱形 專題知識回顧 1菱形的定義 ：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2.菱形的性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。 3.菱形的判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； （2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形； （3）四條邊相等的四邊形是菱形。4菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半專題典型題考法及解析 【例題1】（2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形ABCD周長為20，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長是（）A2.5B3C4D5【答案】A【解析】四邊形ABCD為菱形，CDBC=204=5，且O為BD的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，OE為BCD的中位線，OE=12CB2.5【例題2】（2019廣西梧州）如圖，在菱形中，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，則的長是【答案】【解析】連接交于，如圖所示：四邊形是菱形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，四邊形是菱形，。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019四川瀘州）一個(gè)菱形的邊長為6，面積為28，則該菱形的兩條對角線的長度之和為（）A8B12C16D32【答案】【解析】如圖所示：四邊形ABCD是菱形，AOCO=12AC，DOBO=12BD，ACBD，面積為28，12ACBD2ODAO28 菱形的邊長為6，OD2+OA236 ，由兩式可得：（OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864OD+AO8，2（OD+AO）16，即該菱形的兩條對角線的長度之和為162.(2019四川省綿陽市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，O（0，0），A（4，0），AOC=60°，則對角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A.B. C. D. 【答案】D【解析】過點(diǎn)E作EFx軸于點(diǎn)F，四邊形OABC為菱形，AOC=60°，=30°，F(xiàn)AE=60°，A（4，0），OA=4，=2，EF=，OF=AO-AF=4-1=3，3.（2019四川省廣安市）如圖，在邊長為的菱形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，現(xiàn)將ABE沿直線AE翻折至AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G則CG等于（ ） A. B.1 C. D. .【答案】A【解析】因?yàn)锽=30°，AB=，AEBC，所以BE=，所以EC=-，則CF=3-，又因?yàn)镃GAB，所以,所以CG=.4.（2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC、BD是對角線 ，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH的形狀是（ ）A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形【答案】C【解析】由點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得EFGHAB，EHFGCD，又由AB=CD，得EFFGGHEH時(shí)，四邊形EFGH是菱形點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，EFGHAB，EHFGCD，AB=CD，EFFGGHEH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，故選C5. （2019·貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；作直線MN，且MN恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與CD交于點(diǎn)E，連接BE則下列說法錯(cuò)誤的是（）AABC60°BSABE2SADEC若AB4，則BE4DsinCBE【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CEDE，AECD，四邊形ABCD為菱形，ADCD2DE，ABDE，在RtADE中，cosD，D60°，ABC60°，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；SABEABAE，SADEDEAE，而AB2DE，SABE2SADE，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；若AB4，則DE2，AE2，在RtABE中，BE2，所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；作EHBC交BC的延長線于H，如圖，設(shè)AB4a，則CE2a，BC4a，BE2a，在CHE中，ECHD60°，CHa，EHa，sinCBE，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確故選：C6.（2019·貴州貴陽）如圖所示，菱形ABCD的周長是4cm，ABC60°，那么這個(gè)菱形的對角線AC的長是（）A1cmB2 cmC3cmD4cm【答案】A 【解析】由于四邊形ABCD是菱形，AC是對角線，根據(jù)ABC60°，而ABBC，易證BAC是等邊三角形，從而可求AC的長四邊形ABCD是菱形，AC是對角線，ABBCCDAD，ABC60°，ABC是等邊三角形，ABBCAC，菱形ABCD的周長是4cm，ABBCAC1cm7.（2019貴州省銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB2，DAB60°，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且CECD，CFCB，則SCEF（）ABCD【答案】D【解答】四邊形ABCD為菱形，AB2，DAB60°ABBCCD2，DCB60°CECD，CFCBCECFCEF為等邊三角形SCEF8.（2019河北?。┤鐖D，菱形ABCD中，D150°，則1（）A30°B25°C20°D15°【答案】D【解答】四邊形ABCD是菱形，D150°，ABCD，BAD21，BAD+D180°，BAD180°150°30°，115°二、填空題9.（2019廣西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交與點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，則AH= .【答案】.【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式，根據(jù)菱形面積=對角線積的一半可求AC，再根據(jù)勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果四邊形ABCD是菱形，BO=DO=4，AO=CO，ACBD，BD=8.S菱形ABCD=AC×BD=24，AC=6，OC=AC=3，BC=5，S菱形ABCD=BC×AH=24，AH=.10（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，A60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AMAD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC則AC長度的最小值是 【答案】1【解析】過點(diǎn)M作MHCD交CD延長線于點(diǎn)H，連接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60°HDMD1，HMHDCH4MC將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，AMA'M1，點(diǎn)A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C長度有最小值A(chǔ)'C長度的最小值MCMA'111（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：正方形和菱形都是廣義菱形；平行四邊形是廣義菱形；對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；若M、N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，1），P是二次函數(shù)yx2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形其中正確的是 （填序號）【答案】【解析】根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，正確；平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，錯(cuò)誤；由給出條件無法得到一組對邊平行，錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P（m，m2），則Q（m，1），MP，PQ+1，點(diǎn)P在第一象限，m0，MP+1，MPPQ，又MNPQ，四邊形PMNQ是廣義菱形正確；故答案為12.（2019湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，若OE3，則菱形的周長為 【答案】24【解析】四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BODO，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE是BCD的中位線，CD2OE2×36，菱形ABCD的周長4×62413.（2019北京市） 把圖1中的菱形沿對角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為_【答案】12【解析】設(shè)圖1中小直角三角形的兩直角邊長分別為a，b （a>b）；則由圖2和圖3列得方程組，由加減消元法得，菱形的面積.故填12.14（2019遼寧撫順）如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，A60°，BD是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的弧，CD是以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的弧，則陰影部分的面積為 cm2【答案】4【解析】連接BD，判斷出ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ABD60°，再求出CBD60°，然后求出陰影部分的面積SABD，計(jì)算即可得解如圖，連接BD，四邊形ABCD是菱形，ABAD，A60°，ABD是等邊三角形，ABD60°，又菱形的對邊ADBC，ABC180°60°120°，CBD120°60°60°，S陰影S扇形BDC（S扇形ABDSABD），SABD，×4×4cm2三、解答題15（2019湖南岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、CD邊上的點(diǎn)，DEDF，求證：12【答案】見解析【解析】證明：四邊形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），1216. （2019海南省）如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q（1）求證：PDEQCE；（2）過點(diǎn)E作EFBC交PB于點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)PBPQ時(shí)，求證：四邊形AFEP是平行四邊形；請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形知DECQ90°，由E是CD的中點(diǎn)知DECE，結(jié)合DEPCEQ即可得證；（2）由PBPQ知PBQQ，結(jié)合ADBC得APBPBQQEPD，由PDEQCE知PEQE，再由EFBQ知PFBF，根據(jù)RtPAB中AFPFBF知APFPAF，從而得PAFEPD，據(jù)此即可證得PEAF，從而得證；設(shè)APx，則PD1x，若四邊形AFEP是菱形，則PEPAx，由PD2+DE2PE2得關(guān)于x的方程，解之求得x的值，從而得出四邊形AFEP為菱形的情況【解答】（1）四邊形ABCD是正方形，DECQ90°，E是CD的中點(diǎn)，DECE，又DEPCEQ，PDEQCE（ASA）；（2）PBPQ，PBQQ，ADBC，APBPBQQEPD，PDEQCE，PEQE，EFBQ，PFBF，在RtPAB中，AFPFBF，APFPAF，PAFEPD，PEAF，EFBQAD，四邊形AFEP是平行四邊形；當(dāng)AP時(shí)，四邊形AFEP是菱形設(shè)APx，則PD1x，若四邊形AFEP是菱形，則PEPAx，CD1，E是CD中點(diǎn)，DE，在RtPDE中，由PD2+DE2PE2得（1x）2+（）2x2，解得x，即當(dāng)AP時(shí)，四邊形AFEP是菱形17. （2019北京市）如圖1，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，BE=DF，連接EF（1）求證：ACEF；（2）如圖2，延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G，連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD=4，tanG=，求AO的長 圖1 圖2 【答案】見解析?！窘馕觥坑伤倪呅蜛BCD為菱形易得AB=AD，AC平分BAD，結(jié)合BE=DF，根據(jù)等腰AEF中的三線合一，證得ACEF.；菱形ABCD中有ACBD，結(jié)合ACEF得BDEF.進(jìn)而有；得出OA的值.（1）證明：四邊形ABCD為菱形AB=AD，AC平分BADBE=DFAE=AFAEF是等腰三角形AC平分BADACEF（2）解：菱形ABCD中有ACBD，結(jié)合ACEF. BDEF. 又BD=4，tanG= AO=OC=1.15