2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 應(yīng)用同余問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余。記作：ab（mod ）。讀做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，12和47同余，記做1247（mod5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號(hào)表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）性質(zhì)（2）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。性質(zhì)（4）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)解題的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡(jiǎn)單，使困難的題變?nèi)菀?。例題1：求1992×59除以7的余數(shù)。應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將1992×59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡(jiǎn)化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“4×3”除以7的余數(shù)與“1992×59”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過(guò)求“4×3”除以7的余數(shù)就可知道1992×59除以7的余數(shù)了。因?yàn)?992×594×35（mod 7）所以1992×59除以7的余數(shù)是5。練習(xí)1：1求4217×364除以6的余數(shù)。2求1339655×12除以13的余數(shù)。3求879×4376×5283除以11的余數(shù)。例題2：已知xx年的國(guó)慶節(jié)是星期一，求xx年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求xx年的國(guó)慶節(jié)是星期幾，就要求從xx年到xx年的國(guó)慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在計(jì)算中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。xx年國(guó)慶節(jié)到xx年國(guó)慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“366×2+365×7”天。因?yàn)?66×22×24（mod 7），365×71×70（mod 7），366×2+365×72×2+1×74+04（mod 7）答：xx年的國(guó)慶節(jié)是星期五。練習(xí)2：1已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期幾？2已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期幾？3今天是星期四，再過(guò)365的15次方是星期幾？例題3：求xx的xx次方除以13的余數(shù)。xx除以13余12，即xx12（mod 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知xx的xx次方12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對(duì)模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方1（mod 13），而xx2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod 13），即12的xx次方1（mod 13），而12的xx次方12的xx次方×12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的xx次方×121×1212（mod 13）因?yàn)椋簒x的xx次方12的xx次方（mod 13）12的平方1（mod 13），而xx2×1001+112的xx次方12的xx次方×121×1212（mod 13）所以xx的xx次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3：1求12的200次方除以13的余數(shù)。2求3的92次方除以21余幾。39個(gè)小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？例題4：自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話(huà)說(shuō)就是165201490314177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因?yàn)?652014903=1617=3×7的平方×111652014177=2343=3×11×71 1490314177=726=2×3×11的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是3×11=33。練習(xí)4：1若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？3當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？例題5：某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開(kāi)始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，91（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。171（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。251（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。331（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡(jiǎn)化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的數(shù)有：33，89，這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5：1某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？2某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。附送：2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 應(yīng)用題（一）專(zhuān)題簡(jiǎn)析：應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，它需要我們小朋友用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問(wèn)題。學(xué)好應(yīng)用題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析題意，掌握數(shù)量關(guān)系，找到問(wèn)題的突破口。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求的問(wèn)題；也可以從問(wèn)題出發(fā)，找到必須的兩個(gè)條件。在實(shí)際解答時(shí)，我們可以根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，靈活運(yùn)用這兩種方法。有時(shí)，借助線(xiàn)段圖來(lái)分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，解答就更容易了。例題1 學(xué)校里有排球24只，足球的只數(shù)比排球的2倍少5只，學(xué)校有排球、足球共多少只？思路導(dǎo)航：根據(jù)題意畫(huà)出線(xiàn)段圖 從上圖可以看出，把24只排球看作1倍數(shù)，足球的只數(shù)比這樣的2倍還少5只，用24×25=43（只）可以求出足球的只數(shù)，再用4324=67只可以求出兩種球的總只數(shù)。練 習(xí) 一1小紅每分鐘跳繩25下，小軍每分鐘跳的下數(shù)比小紅的3倍少16下，小軍每分鐘比小紅多跳幾下？2王奶奶家養(yǎng)雞12只，養(yǎng)鵝的只數(shù)比雞的只數(shù)的4倍還多7只。王奶奶家共養(yǎng)雞、鵝多少只？3少先隊(duì)員種柳樹(shù)30棵，種的楊樹(shù)的棵數(shù)比柳樹(shù)棵數(shù)的3倍多14棵。少先隊(duì)員種的楊樹(shù)、柳樹(shù)共多少棵？例題2 人民廣場(chǎng)花圃中有180盆郁金香，比月季花盆數(shù)的3倍少15盆。月季花有多少盆？思路導(dǎo)航：從上圖可以看出，把月季花的盆數(shù)看作1倍數(shù)，郁金香的盆數(shù)是這樣的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆數(shù)的3倍。因此用（18015）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆數(shù)。練 習(xí) 二1小明的父親每月工資1000元，比小明母親每月工資的2倍少200元。小明母親每月工資多少元？2飼養(yǎng)場(chǎng)養(yǎng)母鴨400只，比公鴨只數(shù)的7倍還多36只。飼養(yǎng)場(chǎng)養(yǎng)公鴨多少只？3水果店賣(mài)出9筐水果，平均每筐重45千克。賣(mài)出水果的千克數(shù)比剩下的3倍還多27千克，還剩多少千克水果？例題3 小林家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只，白雞的只數(shù)正好是黑雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞各多少只？思路導(dǎo)航：根據(jù)“黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只”，從線(xiàn)段圖上我們可以看出白雞比黑雞多1312=25只，這相當(dāng)于黑雞的21=1倍，這樣也就求出黑雞的只數(shù)為25÷1=25只，黃雞的只數(shù)是2513=38只，白雞的只數(shù)是25×2=50只。練習(xí)三1商店里有紅、白、藍(lán)三種圍巾，其中紅圍巾比白圍巾多12條，藍(lán)圍巾比紅圍巾多20條，藍(lán)圍巾的條數(shù)正好是白圍巾的5倍。紅圍巾、白圍巾、藍(lán)圍巾各多少條？2有甲、乙、丙三筐蘋(píng)果，甲筐比乙筐多12只蘋(píng)果，丙筐比甲筐多15只蘋(píng)果，丙筐蘋(píng)果個(gè)數(shù)是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只蘋(píng)果？3男女學(xué)生參加小組交流會(huì)，如果少去1名女生，男女生人數(shù)相等；如果少去一名男生，女生人數(shù)是男生的2倍。參加交流會(huì)的男女生各多少人？例題4 用一批紙裝訂同樣大小的練習(xí)本，如果每本16頁(yè)，可裝訂400本。如果每本20頁(yè)，可以少裝訂多少本？思路導(dǎo)航：根據(jù)“如果每本16頁(yè)，可裝訂400本”，可得這批紙的總頁(yè)數(shù)16×400=6400頁(yè)；再用總頁(yè)數(shù)6400÷20=320本求出如果每本20頁(yè)可裝訂的本數(shù)，400320=80本則表示少裝訂的本數(shù)。練 習(xí) 四1水果市場(chǎng)要將一些水果裝箱，如果每箱10千克，可裝30箱。如果每箱15千克，可少裝多少箱？2服裝廠(chǎng)有一些布料加工窗簾，如果把窗簾做成3米長(zhǎng)，可做140幅。如果每幅窗簾做成2米長(zhǎng)，則可多做多少幅？3同一批紙裝訂同樣大小的練習(xí)本，如果每本16頁(yè)，可裝訂400本。如果每本多裝訂9頁(yè)，則少裝訂多少本？例題5 李師傅原計(jì)劃6小時(shí)加工零件480個(gè)，實(shí)際2小時(shí)加工192個(gè)。照這樣的效率，可以提前幾小時(shí)完成？思路導(dǎo)航：根據(jù)“實(shí)際2小時(shí)加工192個(gè)”，可以求出李師傅的實(shí)際工作效率為192÷2=96（個(gè)/小時(shí)），再用要加工的零件總數(shù)除以實(shí)際工作效率，即480÷96=5小時(shí)，求出實(shí)際完成的時(shí)間。65=1小時(shí)，則表示提前完成的時(shí)間。練 習(xí) 五1王奶奶計(jì)劃10小時(shí)做紙盒400個(gè)，實(shí)際3小時(shí)已加工150個(gè)。照這樣的效率，可以提前幾小時(shí)完成？2暑假中，小寧30天共要寫(xiě)大字600個(gè)，實(shí)際12天已寫(xiě)大字360個(gè)。照這樣的速度，小寧可以提前幾天寫(xiě)完同樣多的字？3自行車(chē)制造廠(chǎng)四月份（30天）共生產(chǎn)自行車(chē)3600輛，五月份改進(jìn)技術(shù)后9天已生產(chǎn)自行車(chē)1350輛。照這樣的效率，可以提前幾天完成四月份的任務(wù)？