專題31 軸對稱、圖形的平移和旋轉 專題知識回顧 一、軸對稱1對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。2對稱軸圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。3軸對稱的性質(zhì)： （1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形。（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。（4）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。二、平移1平移：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。2對應點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。3平移的性質(zhì)：（1）平移前后兩個圖形的形狀、大小完全相同。（2）平移前后兩個圖形的對應點連接線段平行（或在同一直線上）且相等。三、旋轉1旋轉：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。2. 旋轉的性質(zhì)：（1）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。3旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0°，大于360°）。4中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。這個點就是它的對稱中心。5中心對稱的性質(zhì)（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。6中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。專題典型題考法及解析 【例題1】（2019山東東營）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）【答案】D【解析】觀察圖形，選項D中圖形是軸對稱圖形，有3條對稱軸，其他圖形都不是軸對稱圖形故選D【例題2】（2019湖南邵陽）一次函數(shù)y1k1x+b1的圖象l1如圖所示，將直線l1向下平移若干個單位后得直線l2，l2的函數(shù)表達式為y2k2x+b2下列說法中錯誤的是（）Ak1k2Bb1b2Cb1b2D當x5時，y1y2【答案】B【解析】本題考查圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關系，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標左移加，右移減；縱坐標上移加，下移減平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”關鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關系根據(jù)兩函數(shù)圖象平行k相同，以及向下平移減即可判斷將直線l1向下平移若干個單位后得直線l2，直線l1直線l2，k1k2，直線l1向下平移若干個單位后得直線l2，b1b2，當x5時，y1y2?！纠}3】(2019黑龍江綏化)下列圖形中,屬于中心對稱圖形的是( )【答案】C【解析】繞某點旋轉180°能和原圖形重合,則這個圖形稱為中心對稱圖形,其中,A是軸對稱圖形,B旋轉120°的整數(shù)倍可以重合,D選項旋轉72°的整數(shù)倍可以重合,故選C.【例題4】（2019遼寧本溪）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A B C D【答案】B.【解析】A選項，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤；B選項，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故正確；C選項，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故錯誤；D選項，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤，故選B【例題5】（2019山東棗莊）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把ADE繞點A順時針旋轉90°到ABF的位置若四邊形AECF的面積為20，DE2，則AE的長為（）A4B2C6D2【答案】D【解析】利用旋轉的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案ADE繞點A順時針旋轉90°到ABF的位置四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20，ADDC2，DE2，RtADE中，AE2 專題典型訓練題 一、選擇題1.（2019江蘇泰州）如圖圖形中的軸對稱圖形是（）ABCD【答案】B 【解析】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可A.不是軸對稱圖形；B.是軸對稱圖形；C.不是軸對稱圖形；D.不是軸對稱圖形。2.（2019湖北宜昌）如下字體的四個漢字中，是軸對稱圖形的是（）A B C D【答案】D 【解析】本題考查了軸對稱圖形的概念軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解A.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D.是軸對稱圖形，故本選項正確3.（2019湖南懷化）懷化是一個多民族聚居的地區(qū)，民俗文化豐富多彩下面是幾幅具有濃厚民族特色的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A B C D【答案】C 【解析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C.既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確；D.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤4.（2019山東棗莊）下列圖形，可以看作中心對稱圖形的是（）A B C D【答案】B【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解A.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意5.（2019山東棗莊）在平面直角坐標系中，將點A（1，2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A，則點A的坐標是（）A（1，1）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【答案】A 【解析】根據(jù)向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求解即可將點A（1，2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A，點A的橫坐標為121，縱坐標為2+31，A的坐標為（1，1）6.（2019山東棗莊）如圖，將ABC沿BC邊上的中線AD平移到ABC的位置已知ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9若AA1，則AD等于（）A2B3C4D【答案】B【解析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點由SABC16.SAEF9且AD為BC邊的中線知SADESAEF，SABDSABC8，根據(jù)DAEDAB知（）2，據(jù)此求解可得SABC16.SAEF9，且AD為BC邊的中線，SADESAEF，SABDSABC8，將ABC沿BC邊上的中線AD平移得到A'B'C'，AEAB，DAEDAB，則（）2，即（）2，解得AD3或AD（舍）。7.（2019海南）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），點B（3，1），平移線段AB，使點A落在點A1（2，2）處，則點B的對應點B1的坐標為（）A（1，1）B（1，0）C（1，0）D（3，0）【答案】C 【解析】由點A（2，1）平移后A1（2，2）可得坐標的變化規(guī)律是：左移4個單位，上移1個單位，點B的對應點B1的坐標（1，0）8.（2019南京）如圖，A'B'C'是由ABC經(jīng)過平移得到的，A'B'C還可以看作是ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結論：1次旋轉；1次旋轉和1次軸對稱；2次旋轉；2次軸對稱其中所有正確結論的序號是（）A BCD【答案】D【解析】本題主要考查了幾何變換的類型，在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分在旋轉變換下，對應線段相等，對應直線的夾角等于旋轉角依據(jù)旋轉變換以及軸對稱變換，即可使ABC與A'B'C'重合先將ABC繞著B'C的中點旋轉180°，再將所得的三角形繞著B'C'的中點旋轉180°，即可得到A'B'C'；先將ABC沿著B'C的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著B'C'的垂直平分線翻折，即可得到A'B'C'。9.（2019湖北孝感）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉90°得到點P'，則P'的坐標為（）A（3，2）B（3，1）C（2，3）D（3，2）【答案】D【解析】本題考查了坐標與圖形變化旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉后的點的坐標常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°作PQy軸于Q，如圖，把點P（2，3）繞原點O順時針旋轉90°得到點P'看作把OPQ繞原點O順時針旋轉90°得到OP'Q，利用旋轉的性質(zhì)得到PQO90°，QOQ90°，PQPQ2，OQOQ3，從而可確定P點的坐標作PQy軸于Q，如圖，P（2，3），PQ2，OQ3，點P（2，3）繞原點O順時針旋轉90°得到點P'相當于把OPQ繞原點O順時針旋轉90°得到OP'Q，PQO90°，QOQ90°，PQPQ2，OQOQ3，點P的坐標為（3，2）10.（2019山東省聊城市）如圖，在RtABO中，OBA90°，A（4，4），點C在邊AB上，且，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為（）A（2，2）B（，）C（，）D（3，3）【答案】C【解析】根據(jù)已知條件得到ABOB4，AOB45°，求得BC3，ODBD2，得到D（0，2），C（4，3），作D關于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為yx+2，解方程組可得到結論在RtABO中，OBA90°，A（4，4），ABOB4，AOB45°，點D為OB的中點，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D關于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），直線OA 的解析式為yx，設直線EC的解析式為ykx+b，解得：，直線EC的解析式為yx+2，解得，P（，），故選：C11.（2019河南）如圖，在OAB中，頂點O（0，0），A（3，4），B（3，4），將OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【答案】D【解析】先求出AB6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（3，10），由于704×17+2，所以第70次旋轉結束時，相當于OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°，此時旋轉前后的點D關于原點對稱，于是利用關于原點對稱的點的坐標特征可出旋轉后的點D的坐標A（3，4），B（3，4），AB3+36，四邊形ABCD為正方形，ADAB6，D（3，10），704×17+2，每4次一個循環(huán)，第70次旋轉結束時，相當于OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°，點D的坐標為（3，10）二、填空題12（2019山東臨沂）在平面直角坐標系中，點P（4，2）關于直線x1的對稱點的坐標是【答案】（2，2）【解析】先求出點P到直線x1的距離，再根據(jù)對稱性求出對稱點P到直線x1的距離，從而得到點P的橫坐標，即可得解點P（4，2），點P到直線x1的距離為413，點P關于直線x1的對稱點P到直線x1的距離為3，點P的橫坐標為132，對稱點P的坐標為（2，2）故答案為：（2，2）13.（2019海南?。┤鐖D，將RtABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉（0°90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉（0°90°）得到AF，連結EF若AB3，AC2，且+B，則EF 【答案】【解析】由旋轉的性質(zhì)可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的長由旋轉的性質(zhì)可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90°，且+B，BAC+90°EAF90°EF14.（2019河南）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa，點E在邊BC上，且BEa連接AE，將ABE沿AE折疊，若點B的對應點B落在矩形ABCD的邊上，則a的 值為_【答案】或【解析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形 的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定 理，相似三角形的判定與性質(zhì)進行分類討論與數(shù)形結合是解題的關鍵分兩種情況：點B落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得ABBE，即可求出a的值；點B落在CD邊上，證明ADBBCE，據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出a的值分兩種情況：當點B落在AD邊上時，如圖1四邊形ABCD是矩形，BADB90°，將ABE沿AE折疊，點B的對應點B落在AD邊上，BAEBAEBAD45°，ABBE，a1，a；當點B落在CD邊上時，如圖2四邊形ABCD是矩形，BADBCD90°，ADBCa將ABE沿AE折疊，點B的對應點B落在CD邊上，BABE90°，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaaa在ADB與BCE中，ADBBCE，即，解得a1，a20（舍去）綜上，所求a的值為或15.（重點題）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BF，點F在AD上，若DE=5，則GE的長為 .【答案】【解析】因為四邊形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，則BF=13.又易知AFHBFA，所以，即AH=，AH=2AH=，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=16.（2019湖南邵陽）如圖，將等邊AOB放在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點B在第一象限，將等邊AOB繞點O順時針旋轉180°得到AOB，則點B的坐標是 【答案】故答案為（2，2）【解析】作BHy軸于H，如圖，OAB為等邊三角形，OHAH2，BOA60°，BHOH2，B點坐標為（2，2），等邊AOB繞點O順時針旋轉180°得到AOB，點B的坐標是（2，2）故答案為（2，2）17.(2019山西）如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為ABC內(nèi)一點，BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將ABD繞點A逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為 cm.【答案】【解析】過點A作AGDE于點G，由旋轉可知：AD=AE，DAE=90°，CAE=BAD=15°AED=45°；在AEF中：AFD=AED+CAE=60°在RtADG中：AG=DG=在RtAFG中：故答案為：18.（2019山東淄博）如圖，在正方形網(wǎng)格中，格點ABC繞某點順時針旋轉角（0180°）得到格點A1B1C1，點A與點A1，點B與點B1，點C與點C1是對應點，則度【答案】90【解析】作CC1，AA1的垂直平分線交于點E，可得點E是旋轉中心，即AEA190°如圖，連接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分線交于點E，連接AE，A1ECC1，AA1的垂直平分線交于點E，點E是旋轉中心，AEA190°旋轉角90°19.（2019廣西池河）如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點A順時針旋轉90°而得，則AC所在直線的解析式是 【答案】 y2x4【解析】過點C作CDx軸于點D，易知ACDBAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），從而求得點C坐標，設直線AC的解析式為ykx+b，將點A，點C坐標代入求得k和b，從而得解A（2，0），B（0，1）OA2，OB1過點C作CDx軸于點D， 則易知ACDBAO（AAS）ADOB1，CDOA2C（3，2）設直線AC的解析式為ykx+b，將點A，點C坐標代入得直線AC的解析式為y2x420.（2019黑龍江哈爾濱）如圖，將ABC繞點C逆時針旋轉得到ABC，其中點A與A是對應點，點B與B是對應點，點B落在邊AC上，連接AB，若ACB45°，AC3，BC2，則AB的長為 【答案】【解析】由旋轉的性質(zhì)可得ACA'C3，ACBACA'45°，可得A'CB90°，由勾股定理可求解將ABC繞點C逆時針旋轉得到ABC，ACA'C3，ACBACA'45°A'CB90°A'B三、解答題21.（2019廣西北部灣）如圖，在平面直角坐標系中，已知ABC的三個頂點坐標分別是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）將ABC向上平移4個單位長度得到A1B1C1，請畫出A1B1C1;（2）請畫出ABC關于y軸對稱的A2B2C2;（3）請寫出A1、A2的坐標.【答案】（1）如圖所示：A1B1C1，即為所求；（2）如圖所示：A2B2C2，即為所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）【解析】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，正確得出對應點位置是解題關鍵（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（2）直接利用軸對稱的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（3）利用所畫圖象得出對應點坐標22.（2019北京市）已知，H為射線OA上一定點，P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PM，滿足為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉，得到線段PN，連接ON（1）依題意補全圖1；（2）求證：；（3）點M關于點H的對稱點為Q，連接QP寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查的知識點有尺規(guī)作圖、旋轉、三角形的內(nèi)角和、方程思想、30°銳角的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì).（1）見下圖。（2）證明：在OPM中，又，.（3）如下圖，過點P作PKOA于K，過點N作NFOB于F OMP=OPNPMK=NPF在NPF和PMK中，NPFPMK （AAS）PF=MK，PNF=MPK，NF=PK又ON=PQ在RtNOF和RtPKQ中，RtNOFRtPKQ （HL）KQ=OF設POA=30°，PKOQ，.M與Q關于H對稱MH=HQKQ=KH+HQ=又KQ=OF，即PK=1又OP=2.23.（2019廣西貴港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90°，將ABC繞點C順時針方向旋轉得到ABC，記旋轉角為，當90°180°時，作ADAC，垂足為D，AD與BC交于點E（1）如圖1，當CAD15°時，作AEC的平分線EF交BC于點F寫出旋轉角的度數(shù)；求證：EA+ECEF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設P是直線AD上的一個動點，連接PA，PF，若AB，求線段PA+PF的最小值（結果保留根號）【答案】見解析?！窘馕觥浚?）解直角三角形求出ACD即可解決問題連接AF，設EF交CA于點O在EF時截取EMEC，連接CM首先證明CFA是等邊三角形，再證明FCMACE（SAS），即可解決問題（2）如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M證明AEFAEB，推出EFEB，推出B，F(xiàn)關于AE對稱，推出PFPB，推出PA+PFPA+PBAB，求出AB即可解決問題【解答】（1）解：旋轉角為105°理由：如圖1中，ADAC，ADC90°，CAD15°，ACD75°，ACA105°，旋轉角為105°證明：連接AF，設EF交CA于點O在EF時截取EMEC，連接CMCEDACE+CAE45°+15°60°，CEA120°，F(xiàn)E平分CEA，CEFFEA60°，F(xiàn)CO180°45°75°60°，F(xiàn)COAEO，F(xiàn)OCAOE，F(xiàn)OCAOE，COEFOA，COEFOA，F(xiàn)AOOEC60°，AOF是等邊三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60°，CEM是等邊三角形，ECM60°，CMCE，F(xiàn)CAMCE60°，F(xiàn)CMACE，F(xiàn)CMACE（SAS），F(xiàn)MAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M由可知，EAFEAB75°，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F(xiàn)關于AE對稱，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在RtCBM中，CBBCAB2，MCB30°，BMCB1，CM，ABPA+PF的最小值為22