單元檢測(五)四邊形(考試用時:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,添加下列條件不能判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案C解析A.正確.對角線相等是平行四邊形的菱形.B.正確.鄰邊相等的平行四邊形是菱形.C.錯誤.對角線相等的平行四邊形是矩形,不一定是菱形.D.正確.可以證明平行四邊形ABCD的鄰邊相等,即可判定是菱形.2.如圖,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,則ABC的周長是()A.14B.16C.18D.20答案C解析在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,AB=BC,AOB=90°,AO=4,BO=3,BC=AB=42+32=5,ABC的周長=AB+BC+AC=5+5+8=18.3.如圖,在矩形OACB中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點C,則k的取值為()A.-12B.12C.-2D.2答案A解析A(-2,0),B(0,1),OA=2,OB=1,四邊形OACB是矩形,BC=OA=2,AC=OB=1,點C在第二象限,C點坐標(biāo)為(-2,1),正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點C,-2k=1,k=-12.4.如圖,矩形紙片ABCD中,AD=4 cm,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O,若AO=5 cm,則AB的長為()A.6 cmB.7 cmC. 8cmD. 9cm答案C解析根據(jù)折疊前后角相等可知BAC=EAC,四邊形ABCD是矩形,ABCD,BAC=ACD,EAC=ACD,AO=CO=5cm,在直角三角形ADO中,DO=AO2-AD2=3cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.5.如圖,在ABCD中,用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線AG交BC于點E.若BF=8,AB=5,則AE的長為()A.5B.6C.8D.12答案B解析連接EF,AE與BF交于點O,四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AF,四邊形ABEF是菱形,AEBF,OB=12BF=4,OA=12AE.AB=5,在RtAOB中,AO=25-16=3,AE=2AO=6.6.(2018山東臨沂)如圖,點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.則下列說法:若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形;若ACBD,則四邊形EFGH為菱形;若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC與BD互相平分;若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直且相等.其中正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案A解析因為一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形,當(dāng)對角線BD=AC時,中點四邊形是菱形,當(dāng)對角線ACBD時,中點四邊形是矩形,當(dāng)對角線AC=BD,且ACBD時,中點四邊形是正方形,故選項正確.7.(2018浙江寧波)如圖,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,E是邊CD的中點,連接OE.若ABC=60°,BAC=80°,則1的度數(shù)為()A.50°B.40°C.30°D.20°答案B解析ABC=60°,BAC=80°,BCA=180°-60°-80°=40°,對角線AC與BD相交于點O,E是邊CD的中點,EO是DBC的中位線,EOBC,1=ACB=40°.8.(2018山東威海)矩形ABCD與CEFG,如圖放置,點B,C,E共線,點C,D,G共線,連接AF,取AF的中點H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=()A.1B.23C.22D.52答案C解析如圖,延長GH交AD于點P,四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形,ADC=ADG=CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,GFH=PAH,又H是AF的中點,AH=FH,在APH和FGH中,PAH=GFH,AH=FH,AHP=FHG,APHFGH(ASA),AP=GF=1,GH=PH=12PG,PD=AD-AP=1,CG=2、CD=1,DG=1,則GH=12PG=12×PD2+DG2=22.9.(2018江蘇宿遷)如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,點E為邊CD的中點,若菱形ABCD的周長為16,BAD=60°,則OCE的面積是()A.3B.2C.23D.4答案A解析菱形ABCD的周長為16,菱形ABCD的邊長為4,BAD=60°,ABD是等邊三角形,又O是菱形對角線AC、BD的交點,ACBD,在RtAOD中,AO=AD2-OD2=16-4=23,AC=2AO=43,SACD=12·OD·AC=12×2×43=43,又O、E分別是中點,OEAD,COECAD,OEAD=12,SCOESCAD=14,SCOE=14SCAD=14×43=3.10.(2018山東濰坊)如圖,菱形ABCD的邊長是4 cm,B=60°,動點P以1 cm/s的速度自A點出發(fā)沿AB方向運動至B點停止,動點O以2 cm/s的速度自B點出發(fā)沿折線BCD運動至D點停止.若點P,Q同時出發(fā)運動了t秒,記BPQ的面積為S cm2,下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是()答案D解析當(dāng)0t<2時,S=2t×32×(4-t)=-3t2+43t;當(dāng)2t<4時,S=4×32×(4-t)=-23t+83;只有選項D的圖形符合.二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)11.在平行四邊形ABCD中,B+D=200°,則A=. 答案80°解析四邊形ABCD為平行四邊形,B=D,A+B=180°,B+D=200°,B=D=100°,A=180°-B=180°-100°=80°.12.(2018湖南株洲)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點,則PQ的長度為. 答案2.5解析四邊形ABCD是矩形,AC=BD=10,BO=DO=12BD,OD=12BD=5,點P、Q是AO,AD的中點,PQ是AOD的中位線,PQ=12DO=2.5.13.一個正多邊形的一個外角為30°,則它的內(nèi)角和為. 答案1 800°解析這個正多邊形的邊數(shù)為360°30°=12,所以這個正多邊形的內(nèi)角和為(12-2)×180°=1800°.14.(2018浙江杭州)用一條寬相等的足夠長的紙條,打一個結(jié),如圖1所示,然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE,其中BAC=. 答案36°解析ABC=(5-2)×180°5=108°,ABC是等腰三角形,BAC=BCA=36°.15.(2018廣東深圳)如圖,四邊形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且點E,A,B三點共線,AB=4,則陰影部分的面積是. 答案8解析四邊形ACDF是正方形,CAF=90°,AC=AF,CAE+FAB=90°,又CEA和ABF都是直角,CAE+ACE=90°,ACE=FAB,在ACE和FAB中,E=B,ACE=FAB,AC=FA,ACEFAB(AAS),AB=4,CE=AB=4,S陰影=SABC=12·AB·CE=12×4×4=8.16.如圖,在平行四邊形ABCD中,連接BD,且BD=CD,過點A作AMBD于點M,過點D作DNAB于點N,且DN=32,在DB的延長線上取一點P,滿足ABD=MAP+PAB,則AP=. 答案6解析BD=CD,AB=CD,BD=BA,又AMBD,DNAB,DN=AM=32,又ABD=MAP+PAB,ABD=P+BAP,P=PAM,APM是等腰直角三角形,AP=2AM=6.17.(2018山東煙臺)如圖,反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過ABCD對角線的交點P,已知點A,C,D在坐標(biāo)軸上,BDDC,ABCD的面積為6,則k=. 答案-3解析過點P做PEy軸于點E四邊形ABCD為平行四邊形,AB=CD.又BDx軸,ABDO為矩形AB=DO,S矩形ABDO=SABCD=6,P為對角線交點,PEy軸,四邊形PDOE為矩形,面積為3,即DO·EO=3,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),k=xy=-3.18.(2018浙江湖州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx(a>0)的頂點為C,與x軸的正半軸交于點A,它的對稱軸與拋物線y=ax2(a>0)交于點B.若四邊形ABOC是正方形,則b的值是. 答案-2解析四邊形ABOC是正方形,點B的坐標(biāo)為-b2a,-b2a.拋物線y=ax2過點B,-b2a=a-b2a2,解得b1=0(舍去),b2=-2.三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(6分)(2018湖南湘潭)如圖,在正方形ABCD中,AF=BE,AE與DF相交于點O.(1)求證:DAFABE;(2)求AOD的度數(shù).(1)證明四邊形ABCD是正方形,DAB=ABC=90°,AD=AB,在DAF和ABE中,AD=AB,DAF=ABE=90°,AF=BE,DAFABE(SAS).(2)解由(1)知,DAFABE,ADF=BAE,ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90°,AOD=180°-(ADF+DAO)=90°.20.(10分)(2018湖南婁底)如圖,已知四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且OA=OC,OB=OD,過O點作EFBD,分別交AD,BC于點E,F.(1)求證:AOECOF;(2)判斷四邊形BEDF的形狀,并說明理由.(1)證明OA=OC,OB=OD,四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,EAO=FCO,在AOE和COF中,EAO=FCO,OA=OC,AOE=COF,AOECOF(ASA).(2)解結(jié)論:四邊形BEDF是菱形,AOECOF,AE=CF,AD=BC,DE=BF,DEBF,四邊形BEDF是平行四邊形,OB=OD,EFBD,EB=ED,四邊形BEDF是菱形.21.(10分)(2018貴州安順)如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.(1)求證:AF=DC;(2)若ABAC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.(1)證明AFBC,AFE=DBE,E是AD的中點,AD是BC邊上的中線,AE=DE,BD=CD,在AFE和DBE中AFE=DBE,FEA=BED,AE=DE,AFEDBE(AAS),AF=BD,AF=DC.(2)解四邊形ADCF是菱形,證明:AFBC,AF=DC,四邊形ADCF是平行四邊形,ACAB,AD是斜邊BC的中線,AD=12BC=DC,平行四邊形ADCF是菱形.22.(10分)(2018江蘇連云港)如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;(2)當(dāng)CF平分BCD時,寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(1)證明四邊形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE,E是AD的中點,AE=DE,又FEA=CED,FAECDE(ASA),CD=FA,又CDAF,四邊形ACDF是平行四邊形;(2)解BC=2CD.證明:CF平分BCD,DCE=45°,CDE=90°,CDE是等腰直角三角形,CD=DE,E是AD的中點,AD=2CD,AD=BC,BC=2CD.23.(10分)(2018山東濰坊)如圖,點M是正方形ABCD邊CD上一點,連接AM,作DEAM于點E,BFAM于點F,連接BE.(1)求證:AE=BF;(2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求EBF的正弦值.(1)證明四邊形ABCD為正方形,BA=AD,BAD=90°,DEAM于點E,BFAM于點F,AFB=90°,DEA=90°,ABF+BAF=90°,EAD+BAF=90°,ABF=EAD,在ABF和DAE中BFA=DEA,ABF=EAD,AB=DA,ABFDAE(AAS),BF=AE;(2)解設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=2,四邊形ABED的面積為24,12·x·x+12·x·2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),EF=x-2=4,在RtBEF中,BE=42+62=213,sinEBF=EFBE=4213=21313.24.(12分)(2018四川自貢)如圖,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為-2,點P(m,n)是線段AD上的動點.(1)求直線AD及拋物線的解析式;(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長?(3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解(1)把(1,0),(-3,0)代入函數(shù)解析式,得a+b-3=09a-3b-3=0,解得a=1b=2,拋物線的解析式為y=x2+2x-3;當(dāng)x=-2時,y=(-2)2+2×(-2)-3,解得y=-3,即D(-2,-3).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,將A(1,0),D(-2,-3)代入,得k+b=0-2k+b=-3,解得k=1b=-1,直線AD的解析式為y=x-1;(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),l=(m-1)-(m2+2m-3)化簡,得l=-m2-m+2配方,得l=-m+122+94,當(dāng)m=-12時,l最大=94;(3)DRPQ且DR=PQ時,PQDR是平行四邊形,由(2)得0<PQ94,又PQ是正整數(shù),PQ=1,或PQ=2.當(dāng)PQ=1時,DR=1,-3+1=-2,即R(-2,-2),-3-1=-4,即R(-2,-4);當(dāng)PQ=2時,DR=2,-3+2=-1,即R(-2,-1),-3-2=-5,即R(-2,-5),綜上所述:R點的坐標(biāo)為(-2,-2),(-2,-4),(-2,-1),(-2,-5),使得以P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形.12