課時訓(xùn)練(二十五)直線與圓的位置關(guān)系(限時:50分鐘)|夯實基礎(chǔ)|1.2018·保定二模 如圖K25-1,ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分別是AC,AB的中點,則以DE為直徑的圓與BC的位置關(guān)系是()圖K25-1A. 相切 B.相交 B. C.相離D.無法確定2.2018·眉山 如圖K25-2所示,AB是O的直徑,PA切O于點A,線段PO交O于點C,連接BC,若P=36°,則B等于()圖K25-2A.27°B.32°C.36°D.54°3.如圖K25-3,直線AB,BC,CD分別與O相切于E,F,G,且ABCD,若OB=6 cm,OC=8 cm,則BE+CG的長等于()圖K25-3A.13 cm B.12 cmC.11 cm D.10 cm4.2018·煙臺 如圖K25-4,四邊形ABCD內(nèi)接于O,點I是ABC的內(nèi)心,AIC=124°,點E在AD的延長線上,則CDE的度數(shù)為()圖K25-4A.56°B.62°C.68°D.78°5.2018·安徽 如圖K25-5,菱形ABOC的邊AB,AC分別與O相切于點D,E,若點D是AB的中點,則DOE=. 圖K25-56.關(guān)注數(shù)學(xué)文化九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.書中有下列問題“今有勾八步,股十五步.問勾中容圓徑幾何?”其意思是:“如圖K25-6,今有直角三角形,勾(短直角邊)長為8步,股(長直角邊)長為15步,問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少?”上述材料中內(nèi)切圓的直徑為步. 圖K25-67.2018·臨沂 如圖K25-7,在ABC中,A=60°,BC=5 cm,能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是 cm. 圖K25-78.2018·包頭 如圖K25-8,AB是O的直徑,點C在O上,過點C的切線與BA的延長線交于點D,點E在BC上(不與點B,C重合),連接BE,CE.若D=40°,則BEC=度. 圖K25-89.2018·天津節(jié)選 已知AB是O的直徑,弦CD與AB相交,BAC=38°.如圖K25-9,過點D作O的切線,與AB的延長線交于點P,若DPAC,求OCD的大小.圖K25-910.2018·黃石 如圖K25-10,已知A,B,C,D,E是O上五點,O的直徑BE=23,BCD=120°,A為BE的中點,延長BA到點P,使AP=BA,連接PE.圖K25-10(1)求線段BD的長;(2)求證:直線PE是O的切線.11.2018·曲靖 如圖K25-11,AB為O的直徑,點C為O上一點,將BC沿直線BC翻折,使BC的中點D恰好與圓心O重合,連接OC,CD,BD,過點C的切線與線段BA的延長線交于點P,連接AD,在PB的另一側(cè)作MPB=ADC.圖K25-11(1)判斷PM與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若PC=3,求四邊形OCDB的面積.12.如圖K25-12,ABC是一塊直角三角板,且C=90°,A=30°,現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部.圖K25-12(1)如圖,當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC,BC都相切時,試用直尺與圓規(guī)作出射線CO.(不寫作法與證明,保留作圖痕跡)(2)如圖,將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周,回到起點位置時停止.若BC=9,圓形紙片的半徑為2,求圓心O運動的路徑長.|拓展提升|13.2017·百色 以坐標(biāo)原點O為圓心,作半徑為2的圓,若直線y=-x+b與O相交,則b的取值范圍是()A.0b<22 B.-22b22C.-23<b<23D.-22<b<2214.2018·唐山樂亭二模 如圖K25-13,直線AB,CD相交于點O,AOD=30°,半徑為1 cm的P的圓心在射線OA上,且與點O的距離為6 cm.如果P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移動,那么幾秒鐘后P與直線CD相切()圖K25-13A.4 B.8 C.4或6 D.4或815.如圖K25-14,直線l1l2,O與l1和l2分別相切于點A和點B.直線MN與l1相交于M,與l2相交于N,O的半徑為1,1=60°,直線MN從如圖位置向右平移,下列結(jié)論:l1和l2的距離為2;MN=433;當(dāng)直線MN與O相切時,MON=90°當(dāng)AM+BN=433時,直線MN與O相切.正確的個數(shù)是()圖K25-14A.1 B.2 C.3 D.416.2018·寧波 如圖K25-15,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點,P是BC邊上的動點,連接PM,以點P為圓心,PM長為半徑作P.當(dāng)P與正方形ABCD的邊相切時,BP的長為. 圖K25-1517.2018·南京 結(jié)果如此巧合!下面是小穎對一道題目的解答.題目:如圖K25-16,RtABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求ABC的面積.圖K25-16解:設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x.根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.所以SABC=12AC·BC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12×(12+12)=12.小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知:ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎?(1)若C=90°,求證:ABC的面積等于mn.倒過來思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求證C=90°.改變一下條件(3)若C=60°,用m,n表示ABC的面積.參考答案1.B解析 過點A作AMBC于點M,交DE于點N,AM·BC=AC·AB,AM=3×45=125.D,E分別是AC,AB的中點,DEBC,DE=12BC=2.5,AN=MN=12AM,MN=1.2,以DE為直徑的圓的半徑為1.25,1.25>1.2,以DE為直徑的圓與BC的位置關(guān)系是相交.故選B.2.A解析 由PA是O的切線,可得OAP=90°,AOP=54°,根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半,可得B=27°.3.D解析 ABCD,ABC+BCD=180°,CD,BC,AB分別與O相切于G,F,E,OBC=12ABC,OCB=12BCD,BE=BF,CG=CF,OBC+OCB=90°,BOC=90°,BC=OB2+OC2=10,BE+CG=10(cm).故選D.4.C解析 點I是ABC的內(nèi)心,BAC=2IAC,ACB=2ICA,AIC=124°,B=180°-(BAC+ACB)=180°-2(IAC+ICA)=180°-2(180°-AIC)=68°,又四邊形ABCD內(nèi)接于O,CDE=B=68°,故選C.5.60°解析 連接OA,四邊形ABOC是菱形,BA=BO,AB與O相切于點D,ODAB.D是AB的中點,OD是AB的垂直平分線,OA=OB,AOB是等邊三角形,AOD=12AOB=30°,同理AOE=30°,DOE=AOD+AOE=60°,故答案為60°.6.67.1033解析 設(shè)圓的圓心為點O,能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓是ABC的外接圓,連接OB,OC,在ABC中,A=60°,BC=5 cm,BOC=120°,作ODBC于點D,則ODB=90°,BOD=60°,BD=52,OB=52sin60°,即OB=533,2OB=1033,即ABC外接圓的直徑是1033 cm,8.115解析 連接OC,AC,由CD是切線得OCD=90°.又因為D=40°可得COD=50°.因為OA=OC,可得OAC=65°.因為四邊形ACEB是圓內(nèi)接四邊形,由圓內(nèi)接四邊形對角互補得到BEC的度數(shù).9.解:如圖,連接OD.DP切O于點D,ODDP,即ODP=90°.DPAC,BAC=38°,P=38°,AOD是ODP的外角,AOD=ODP+P=128°.ACD=12AOD=64°.又OA=OC,得ACO=A=38°.OCD=ACD-ACO=64°-38°=26°.10.解:(1)連接DE,如圖,BCD+DEB=180°,DEB=180°-120°=60°.BE為直徑,BDE=90°,在RtBDE中,DE=12BE=12×23=3,BD=3DE=3×3=3.(2)證明:連接EA,如圖,BE為直徑,BAE=90°,A為BE的中點,ABE=45°,AB=AE,BA=AP,而EABA,BEP為等腰直角三角形,PEB=90°,PEBE,直線PE是O的切線.11.解:(1)PM與O相切.理由如下:連接DO并延長交PM于E,如圖,BC沿直線BC翻折,BC的中點D恰好與圓心O重合,OC=DC,BO=BD,OC=DC=BO=BD,四邊形OBDC為菱形,ODBC,OCD和OBD都是等邊三角形,COD=BOD=60°,COP=EOP=60°.MPB=ADC,而ADC=ABC,ABC=MPB,PMBC,OEPM,OE=OP·cos60°=12OP,PC為O的切線,OCPC,OC=12OP,OE=OC,而OEPM,PM是O的切線.(2)在RtOPC中,OC=33PC=33×3=1,四邊形OCDB的面積=2SOCD=2×34×12=32.12.解:(1)如圖,CP就是所要求作的射線.(2)如圖,OO1O2就是圓心O的路徑.由題意得OO1BC,O1O2AB,OO2AC.易證OO1O2CBA,OO1O2的周長ABC的周長=OO1BC.過點O作ODBC,垂足為點D,過點O1作O1EBC,O1FAB,垂足分別為點E,F,連接BO1,則四邊形ODEO1是矩形.O1E=O1F,O1EBC,O1FAB,BO1平分ABC.O1BE=12ABC=12×60°=30°.BE=3O1E=23.DE=BC-CD-BE=9-2-23=7-23.OO1=DE=7-23.在RtABC中,BC=9,A=30°,AB=2BC=18,AC=3BC=93.ABC的周長為27+93.OO1O2的周長27+93=7-239.OO1O2的周長為15+3,即圓心O運動的路徑長為15+3.13.D解析 如圖,將直線y=-x向上平移為y=-x+b1,當(dāng)y=-x+b1與圓相切時,b1最大,由平移知CAO=AOC=45°,OC=2,OA=b1=22.同理,將y=-x向下平移為y=-x+b2,當(dāng)y=-x+b2與圓相切時,b2最小,此時b2=-22,當(dāng)y=-x+b與圓相交時,b的取值范圍為-22<b<22.14.D解析 由題意CD與P1相切于點E,P1ECD.又AOD=30°,r=1 cm,在OEP1中,OP1=2 cm.又OP=6 cm,P1P=4 cm,P到達P1需要時間為:4÷1=4(秒).同理,當(dāng)P在直線CD的右側(cè)時,P1P=8 cm,P到達P1需要時間為:8÷1=8(秒),P與直線CD相切時,時間為4或8秒.故選D.15.D解析 如圖,O與l1和l2分別相切于點A和點B,OAl1,OBl2,l1l2,點A,B,O共線,l1和l2的距離=AB=2,所以正確;作NHAM,如圖,則四邊形ABNH為矩形,NH=AB=2.在RtMNH中,1=60°,MN=NHsin60°=433,所以正確;當(dāng)直線MN與O相切時,如圖,則5=2,3=4,l1l2,5+2+3+4=180°,5+3=90°,MON=90°,所以正確;過點O作OCMN于C,如圖,S四邊形ABNM=SOAM+SOMN+SOBN,12×1×AM+12×1×BN+12MN·OC=12(BN+AM)×2,即12(AM+BN)+12MN·OC=AM+BN,AM+BN=433,MN=433,OC=1,而OCMN,直線MN與O相切,所以正確.16.3或43解析 如圖,當(dāng)P與直線CD相切時,設(shè)PC=PM=x.在RtPBM中,PM2=BM2+PB2,x2=42+(8-x)2,x=5,PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.如圖,當(dāng)P與直線AD相切時,設(shè)切點為K,連接PK,則PKAD,四邊形PKDC是矩形.PM=PK=CD=2BM,BM=4,PM=8,在RtPBM中,PB=82-42=43.綜上所述,BP的長為3或43.17.解析 (1)根據(jù)題目中所給的方法由切線長定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根據(jù)勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面積公式計算;(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求證;(3)作AGBC,由三角函數(shù)得AG=AC·sin60°=32(x+m),CG=AC·cos60°=12(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-12(x+m),在RtABG中,根據(jù)勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面積公式計算可得.解:設(shè)ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x.根據(jù)切線長定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)證明:如圖,在RtABC中,根據(jù)勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得x2+(m+n)x=mn.所以SABC=12AC·BC=12(x+m)(x+n)=12x2+(m+n)x+mn=12(mn+mn)=mn.(2)證明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根據(jù)勾股定理的逆定理,得C=90°.(3)如圖,過點A作AGBC,垂足為G.在RtACG中,AG=AC·sin60°=32(x+m),CG=AC·cos60°=12(x+m).所以BG=BC-CG=(x+n)-12(x+m).在RtABG中,根據(jù)勾股定理,得32(x+m)2+(x+n)-12(x+m)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以SABC=12BC·AG=12(x+n)·32(x+m)=34x2+(m+n)x+mn=34(3mn+mn)=3mn.18