提分專練(三)　一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合 1.[2018·懷化]函數(shù)y=kx-3與y=kx(k≠0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是 (　　) 圖T3-1 2.[2019·涼山州]如圖T3-2,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=4x的圖象相交于A,C兩點(diǎn),過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)B,連接BC,則△ABC的面積等于 (　　) 圖T3-2 A.8 B.6 C.4 D.2 3.[2019·鹽城]如圖T3-3,一次函數(shù)y=x+1的圖象交y軸于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點(diǎn)B(m,2). (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式; (2)求△AOB的面積. 圖T3-3 4.[2019·自貢]如圖T3-4,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=mx(m≠0)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3,5),B(a,-3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C. (1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; (2)在y軸上找一點(diǎn)P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo); (3)直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍. 圖T3-4 5.[2019·廣州]如圖T3-5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P(-1,2),AB⊥x軸于點(diǎn)E,正比例函數(shù)y=mx的圖象與反比例函數(shù)y=n-3x的圖象相交于A,P兩點(diǎn). (1)求m,n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo); 圖T3-5 (2)求證:△CPD∽△AEO; (3)求sin∠CDB的值. 6.[2019·天水]如圖T3-6,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=4x的圖象交于A(m,4),B(2,n)兩點(diǎn),與坐標(biāo)軸分別交于M,N兩點(diǎn). (1)求一次函數(shù)的解析式; (2)根據(jù)圖象直接寫出kx+b-4x>0中x的取值范圍; (3)求△AOB的面積. 圖T3-6 7.[2018·株洲]如圖T3-7,已知函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象與一次函數(shù)y=mx+5(m<0)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,連接AO,其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0,△AOD的面積為2. (1)求k的值及x0=4時(shí)m的值; (2)記[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如:[1.4]=1,[2]=2,設(shè)t=OD·DC,若-32<m<-54,求[m2·t]的值. 圖T3-7 【參考答案】 1.B 2.C　[解析]設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為m,4m,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為-m,-4m,∴S△ABC=S△OBC+S△OAB=12m×4m+12×|-m|×-4m=4,故選C. 3.解:(1)∵一次函數(shù)y=x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(m,2), ∴2=m+1, 解得m=1,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2), ∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上, ∴k=2, ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2x(x>0). (2)易得點(diǎn)A(0,1),∴OA=1, 過點(diǎn)B作BC⊥y軸,垂足為點(diǎn)C, 則BC就是△AOB的高,BC=1, ∴S△AOB=12OA×BC=12×1×1=12. 4.解:(1)將A(3,5)的坐標(biāo)代入y2=mx得,5=m3, ∴m=15. ∴反比例函數(shù)的解析式為y2=15x. 當(dāng)y2=-3時(shí),-3=15x,∴x=-5, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-5,-3). 將A(3,5),B(-5,-3)的坐標(biāo)代入y1=kx+b得, 3k+b=5,-5k+b=-3,解得k=1,b=2. ∴一次函數(shù)的解析式為y1=x+2. (2)令y1=0,則x+2=0,解得x=-2. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0). 設(shè)一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)D. 令x=0,則y1=2. ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2). 連接PB,PC, 當(dāng)B,C和P不共線時(shí),由三角形三邊關(guān)系知,PB-PC<BC; 當(dāng)B,C和P共線時(shí),PB-PC=BC, ∴PB-PC≤BC. 由勾股定理可知, BC=(-5+2)2+(-3-0)2=32. ∴當(dāng)P與D重合,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)時(shí),PB-PC取最大值,最大值為32. (3)當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍為x>3或-5<x<0. 5.解:(1)將點(diǎn)P(-1,2)的坐標(biāo)代入y=mx, 得:2=-m, 解得m=-2, ∴正比例函數(shù)解析式為y=-2x; 將點(diǎn)P(-1,2)的坐標(biāo)代入y=n-3x, 得:2=-(n-3),解得:n=1, ∴反比例函數(shù)解析式為y=-2x. 解方程組y=-2x,y=-2x, 得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2, ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2). (2)證明:∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AB∥CD, ∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP, 即∠DCP=∠OAE. ∵AB⊥x軸, ∴∠AEO=∠CPD=90°, ∴△CPD∽△AEO. (3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2), ∴AE=2,OE=1,AO=AE2+OE2=5. ∵△CPD∽△AEO, ∴∠CDP=∠AOE, ∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255. 6.解:(1)∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=4x的圖象上, ∴4m=4,解得m=1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4), ∵點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y=4x的圖象上, ∴42=n,解得n=2, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2), 又∵點(diǎn)A,B在y=kx+b的圖象上,∴k+b=4,2k+b=2,解得k=-2,b=6, ∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6. (2)根據(jù)圖象得:kx+b-4x>0時(shí),x的取值范圍為x<0或1<x<2. (3)∵直線y=-2x+6與x軸的交點(diǎn)為N, ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0), S△AOB=S△AON-S△BON=12×3×4-12×3×2=3. 7.解:(1)∵S△AOD=2,∴k=4, ∴y=4x. ∵x0=4, ∴y=44=1, ∴A(4,1). 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=mx+5(m<0), 得m=-1. (2)由一次函數(shù)y=mx+5(m<0)可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為-5m,0, ∴OC=-5m. 將Ax0,4x0代入y=mx+5(m<0), 得mx0+5=4x0,∴mx02+5x0=4. ∵OD=x0,OC=-5m, ∴CD=OC-OD=-5m-x0. ∵t=OD·CD, ∴t=x0-5m-x0=-5mx0+x02=-4m, ∴[m2·t]=-m2·4m=[-4m]. ∵-32<m<-54, ∴5<-4m<6, ∴[-4m]=5. 7