考點強化練16等腰三角形基礎達標一、選擇題1.(2018四川達州)若實數(shù)m,n滿足|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長,則ABC的周長是()A.12B.10C.8D.6答案B解析由題意得m-2=0,n-4=0,m=2,n=4,又m,n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長,若腰為2,底為4,此時不能構成三角形,舍去,若腰為4,底為2,則周長為4+4+2=10.故選B.2.(2018山東淄博)如圖,在RtABC中,CM平分ACB交AB于點M,過點M作MNBC交AC于點N,且MN平分AMC,若AN=1,則BC的長為()A.4B.6C.43D.8答案B解析在RtABC中,CM平分ACB交AB于點M,過點M作MNBC交AC于點N,且MN平分AMC,AMN=NMC=B,NCM=BCM=NMC,ACB=2B,NM=NC,B=30°,AN=1,MN=2,AC=AN+NC=3,BC=6.3.(2018江蘇揚州)在RtABC中,ACB=90°,CDAB于點D,CE平分ACD交AB于點E,則下列結論一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC答案C解析ACB=90°,CDAB,ACD+BCD=90°,ACD+A=90°,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.4.(2018湖南常德)如圖,已知BD是ABC的角平分線,ED是BC的垂直平分線,BAC=90°,AD=3,則CE的長為()A.6B.5C.4D.33答案D解析ED是BC的垂直平分線,DB=DC,C=DBC,BD是ABC的角平分線,ABD=DBC,C=DBC=ABD=30°,BD=2AD=6,CE=CD×cosC=33,故選D.5.等腰三角形補充下列條件后,仍不一定成為等邊三角形的是()A.有一個內角是60°B.有一個外角是120°C.有兩個角相等D.腰與底邊相等答案C二、填空題6.(2018江蘇徐州)邊長為a的正三角形的面積等于. 答案34a2解析過點A作ADBC于點D,ADBC,BD=CD=12a,AD=AC2-CD2=32a,面積則是:12a·32a=34a2.7.(2018湖南婁底)如圖,在ABC中,AB=AC,ADBC于點D,DEAB于點E,BFAC于點F,DE=3cm,則BF=cm. 答案6解析在RtADB與RtADC中,AB=AC,AD=AD,RtADBRtADC,SABC=2SABD=2×12AB·DE=AB·DE=3AB,SABC=12AC·BF,12AC·BF=3AB,AC=AB,12BF=3,BF=6.二、解答題8.(2018江蘇徐州)已知如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求證:A=C.證明連接AC,AB=BC,AD=CD,BAC=BCA,DAC=DCA,BAC+DAC=BCA+DCA,即A=C.9.如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E.求證:CBE=BAD.證明證法1:AB=AC,ABC是等腰三角形,AD是BC邊上的中線,ADBC,BAD=CAD,CAD+C=90°,BEAC,CBE+C=90°,CBE=CAD,CBE=BAD.證法2:AB=AC,ABC=C,又AD是BC邊上的中線,ADBC,BAD+ABC=90°,BEAC,CBE+C=90°,CBE=BAD.導學號1381405210.如圖所示,等邊三角形ABC和等邊三角形DCE在直線BCE的同一側,AE交CD于點P,BD交AC于點Q,求證PQC為等邊三角形.證明在等邊三角形ABC和等邊三角形DCE中,BC=AC,DC=EC,ACB=DCE=60°,所以ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,在BCD和ACE中,BC=AC,BCD=ACE,CD=CE,所以BCDACE(SAS),所以1=2,因為ACB=DCE=60°,所以ACD=180°-ACB-DCE=60°,所以BCQ=ACP,在BCQ和ACP中,1=2,BC=AC,BCQ=ACP,所以BCQACP,所以CQ=CP,又因為QCP=60°,所以PQC為等邊三角形.能力提升一、選擇題1.(2018浙江湖州)如圖,AD,CE分別是ABC的中線和角平分線.若AB=AC,CAD=20°,則ACE的度數(shù)是()A.20°B.35°C.40°D.70°答案B解析AD是ABC的中線,AB=AC,CAD=20°,CAB=2CAD=40°,B=ACB=12(180°-CAB)=70°.CE是ABC的角平分線,ACE=12ACB=35°.故選B.二、填空題2.(2018江蘇淮安)如圖,在RtABC中,C=90°,AC=3,BC=5,分別以點A,B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧交點分別為點P,Q,過P,Q兩點作直線交BC于點D,則CD的長是. 答案85解析連接AD.PQ垂直平分線段AB,DA=DB,設DA=DB=x,在RtACD中,C=90°,AD2=AC2+CD2,x2=32+(5-x)2,解得x=175,CD=BC-DB=5-175=85,故答案為85.3.(2018黑龍江)如圖,已知等邊三角形ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個等邊三角形AB1C1;再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個等邊三角形AB2C2;再以等邊三角形AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個等邊三角形AB3C3;,記三角形B1CB2的面積為S1,三角形B2C1B3的面積為S2,三角形B3C2B4的面積為S3,如此下去,則Sn=. 答案334n解析等邊三角形ABC的邊長為2,AB1BC,BB1=1,AB=2,根據(jù)勾股定理得AB1=3,第一個等邊三角形AB1C1的面積為34×(3)2=3341;等邊三角形AB1C1的邊長為3,AB2B1C1,B1B2=32,AB1=3,根據(jù)勾股定理得AB2=32,第二個等邊三角形AB2C2的面積為34×322=3342;依此類推,第n個等邊三角形ABnCn的面積為334n.4.(2018四川南充)如圖,在ABC中,DEBC,BF平分ABC,交DE的延長線于點F.若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=. 答案23解析DEBC,F=FBC,BF平分ABC,DBF=FBC,F=DBF,DB=DF,DEBC,ADEABC,ADAD+DB=DEBC,即11+2=DE4,解得DE=43,DF=DB=2,EF=DF-DE=2-43=23.三、解答題5.如圖,等邊三角形ABC中,點D,E,F分別同時從點A,B,C出發(fā),以相同的速度在AB,BC,CA上運動,連接DE,EF,DF.(1)證明:DEF是等邊三角形;(2)在運動過程中,當CEF是直角三角形時,試求SDEFSABC的值.(1)證明ABC是等邊三角形,A=B=C=60°,AB=BC=CA,AD=BE=CF,BD=EC=AF,在ADF,BED和CFE中AD=BE=CF,A=B=C,BD=CE=AF,ADFBEDCFE,DE=EF=FD,DEF是等邊三角形.(2)解ABC和DEF是等邊三角形,DEFABC,EFAC,BDE=CEF=30°,BE=12BD,即BE=13BC,CE=23BC,EF=EC·sin60°=23BC·32=33BC,SDEFSABC=EFBC2=332=13.導學號138140539