考點(diǎn)強(qiáng)化練22圓的有關(guān)概念及性質(zhì)夯實基礎(chǔ)1.(2018·上海)如圖,已知在O中,AB是弦,半徑OCAB,垂足為點(diǎn)D.要使四邊形OACB為菱形,還需添加一個條件,這個條件可以是()A.AD=BDB.OD=CDC.CAD=CBDD.OCA=OCB答案B解析由半徑OCAB,由垂徑定理可知AD=BD,即四邊形OACB中兩條對角線互相垂直,且一條對角線被另一條平分.根據(jù)“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”,可知若添加條件OD=CD,即可說明四邊形OACB為菱形,故選擇B.2.(2018·山東菏澤)如圖,在O中,OCAB,ADC=32°,則OBA的度數(shù)是()A.64°B.58°C.32°D.26°答案D解析OCAB,AC=BC.ADC是AC所對的圓周角,BOC是BC所對的圓心角,BOC=2ADC=64°,OBA=90°-BOC=90°-64°=26°.故選D.3.(2017·湖北黃石)如圖,已知O為四邊形ABCD的外接圓,O為圓心,若BCD=120°,AB=AD=2,則O的半徑長為()A.322B.62C.32D.233答案D解析作直徑BM,連接DM,BD.則BDM=90°.因為C=120°,所以A=60°.又AB=AD=2,所以BD=2,M=60°.在RtBDM中,sinM=BDBM=2BM,得到BM2=233.4.(2018·山東煙臺)如圖,方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度,點(diǎn)O,A,B,C在格點(diǎn)(兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn))上,以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為. 答案(-1,-2)解析如圖,連接AB,BC,分別作AB和BC的中垂線,交于G點(diǎn).由圖知,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-1,-2).5.(2017·江蘇淮安)如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,若A,B,C的度數(shù)之比為435,則D的度數(shù)是°. 答案120解析因為四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,所以A+C=B+D=180°.因為A,B,C的度數(shù)之比為435,所以A,B,C,D的度數(shù)之比為4356.所以D=63+6×180°=120°.6.(2017·湖北襄陽)在半徑為1的O中,弦AB,AC的長分別為1和2,則BAC的度數(shù)為. 答案105°或15°解析如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在BAC的內(nèi)部時,連接OA,過點(diǎn)O作OMAB,ONAC,垂足分別為M,N,則AM=12,AN=22.在RtAOM中,cosMAO=AMAO=12,MAO=60°.在RtAON中,cosNAO=ANAO=22,NAO=45°,BAC=60°+45°=105°.如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在BAC'的外部時,BAC'=60°-45°=15°.7.如圖,在O的內(nèi)接四邊形ABCD中,BCD=120°,CA平分BCD.(1)求證:ABD是等邊三角形;(2)若BD=3,求O的半徑.解(1)BCD=120°,CA平分BCD,ACD=ACB=60°.由圓周角定理得,ADB=ACB=60°,ABD=ACD=60°,ABD是等邊三角形.(2)連接OB,OD,作OHBD于H,則DH=12BD=32,BOD=2BAD=120°,DOH=60°.在RtODH中,OD=DHsinDOH=3,O的半徑為3.8.(改編題)如圖,MN是O的直徑,MN=4,點(diǎn)A在O上,AMN=30°,B為AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一動點(diǎn).(1)利用尺規(guī)作圖,確定當(dāng)PA+PB最小時P點(diǎn)的位置(不寫作法,但要保留作圖痕跡).(2)求PA+PB的最小值.解(1)如圖,點(diǎn)P即為所求.(2)如圖,連接OA,OA',OB.由(1)可得,PA+PB的最小值即為線段A'B的長,點(diǎn)A'和點(diǎn)A關(guān)于MN軸對稱且AMN=30°,AON=A'ON=2AMN=60°.又點(diǎn)B為AN的中點(diǎn),BON=12AON=30°,A'OB=90°.又MN=4,OB=OA'=2.在RtA'OB中,由勾股定理得A'B=22+22=22.PA+PB的最小值是22.提升能力9.(2018·四川雅安)如圖,AB,CE是圓O的直徑,且AB=4,BD=DC=CA,點(diǎn)M是AB上一動點(diǎn),下列結(jié)論:CED=12BOD;DMCE;CM+DM的最小值為4;設(shè)OM為x,則SOMC=3x,上述結(jié)論中,正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個導(dǎo)學(xué)號16734131答案B解析因為BD=DC,所以COD=BOD,所以CED=12BOD,正確;M是直徑AB上一動點(diǎn),而CE是固定的,因此DMCE不一定成立,錯誤;因為DEAB,所以D和E關(guān)于AB對稱,因此CM+DM的最小值在M和O重合時取到,即為CE的長.因為AB=4,所以CE=AB=4,正確;連接AC,因為BD=DC=CA,所以COA=60°,則AOC為等邊三角形,邊長為2,過C作CNAO于N,則CN=3,在COM中,OM為底,CN為OM邊上的高,所以SCOM=32x,故錯誤.故選B.10.(2018·江蘇無錫)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AB=17,CD=10,A=90°,cos B=35,求AD的長.解如圖所示,延長AD,BC交于點(diǎn)E,四邊形ABCD內(nèi)接于O,A=90°,EDC=B,ECD=A=90°,ECDEAB,CDAB=ECEA.cosEDC=cosB=35,CDED=35.CD=10,10ED=35,ED=503.EC=ED2-CD2=(503) 2-102=403.1017=403503+AD,AD=6.11.(2017·湖北武漢)如圖,ABC內(nèi)接于O,AB=AC,CO的延長線交AB于點(diǎn)D.備用圖(1)求證:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=35,求AC和CD的長.(1)證明連接OB,AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,即AO平分BAC.(2)解如圖,過點(diǎn)D作DKAO于K,延長AO交BC于H.由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6.BH=CH=12BC=3,COH=12BOC,BAC=12BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90°,sinCOH=HCOC=35,CH=3,CO=AO=5.OH=4.AH=AO+OH=4+5=9,tanCOH=tanDOK=34.在RtACH中,AHC=90°,AH=9,CH=3,tanCAH=CHAH=13,AC=310,由(1)知COH=BOH,tanBAH=tanCAH=13,設(shè)DK=3a,在RtADK中,tanBAH=13,AK=9a.在RtDOK中,tanDOK=34,OK=4a,DO=5a.AO=OK+AK=13a=5.a=513,DO=5a=2513,CD=OC+OD=5+2513=9013,AC=310,CD=9013.創(chuàng)新拓展12.(2018·貴州遵義)如圖,AB是半圓O的直徑,C是AB延長線上的點(diǎn),AC的垂直平分線交半圓于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接DA,DC,已知半圓O的半徑為3,BC=2.(1)求AD的長;(2)點(diǎn)P是線段AC上一動點(diǎn),連接DP,做DPF=DAC,PF交線段CD于點(diǎn)F,當(dāng)DPF為等腰三角形時,求AP的長.解(1)如圖1,連接OD,因為半徑為3,所以O(shè)A=OB=OD=3.因為BC=2,所以AC=8.因為DE垂直平分AC,所以DA=DC,AE=4,DEO=90°,OE=1,在RtDOE中,DE=DO2-OE2=22,在RtADE中,AD=AE2+DE2=26.圖1(2)因為PDF為等腰三角形,因此分類討論:當(dāng)DP=DF時,如圖2,點(diǎn)A與點(diǎn)P重合,則AP=0.圖2當(dāng)PD=PF時,如圖3,因為DPF=DAC=C,PDF=CDP,所以PDFCDP,因為PD=PF,所以CP=CD,所以CP=26,AP=AC-PC=8-26.圖3當(dāng)FP=FD時,如圖4,因為FDP和DAC都是等腰三角形,DPF=DAC,所以FDP=DPF=DAC=C,所以,設(shè)DP=PC=x,則EP=4-x,在RtDEP中,DE2+EP2=DP2,得(22)2+(4-x)2=x2,得x=3,則AP=5.圖4綜上所述,當(dāng)DPF為等腰三角形時,AP的長可能為0,8-26,5.導(dǎo)學(xué)號167341329