專題06 一元一次方程及其應用 專題知識回顧 知識點1：一元一次方程的概念1.一元一次方程： 一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。要點詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件： （1）只含有一個未知數(shù)； （2）未知數(shù)的次數(shù)是1次； （3）整式方程注意：方程要化為最簡形式，且一次項系數(shù)不能為零。2.方程的解： 判斷一個數(shù)是否是某方程的解,將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等知識點2：一元一次方程的解法1.方程的同解原理（也叫等式的基本性質）性質1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式。性質2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結果仍是等式。要點詮釋：分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變。2.解一元一次方程的一般步驟： （1）去分母 在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，依據(jù)等式基本性質2，注意防止漏乘（尤其整數(shù)項），注意添括號。（2）去括號 一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，依據(jù)去括號法則、分配律，注意變號，防止漏乘。（3）移項 把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)，依據(jù)等式基本性質1，移項要變號，不移不變號。（4）合并同類項 把方程化成axb(a0)的形式，依據(jù)合并同類項法則，計算要仔細，不要出差錯。（5）系數(shù)化為1 在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解xb/a ,依據(jù)等式基本性質2，計算要仔細，分子分母勿顛倒。要點詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進行簡單應用:a0時，方程有唯一解xb/a ；a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；a=0，b0時，方程無解。知識點3：列一元一次方程解應用題1.列一元一次方程解應用題的一般步驟： （1）審審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關系。（2）設設出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設未知數(shù)（3）列列出方程：設出未知數(shù)后，利用等量關系寫出等式，即列方程。（4）解解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值（5）答檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案，注意帶上單位。2.常見的一些等量關系（1）行程問題： 距離=速度·時間 （2）工程問題： 工作量=工效·工時 （3）比率問題： 部分=全體·比率 （4）順逆流問題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；（5）商品價格問題： 售價=定價·折· ，利潤=售價-成本， ；（6）周長、面積、體積問題：C圓=2R，S圓=R2，C長方形=2(a+b)，S長方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=(R2-r2),V長方體=abc ，V正方體=a3，V圓柱=R2h ，V圓錐=R2h.知識點4：方程與整式、等式的區(qū)別（1）從概念來看：整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。等式：用等號來表示相等關系的式子叫做等式。如2+3=5，mnnm等都叫做等式，而像3a+2b，3 m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數(shù)式。方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如5x311。理解方程的概念必須明確兩點：是等式；含有未知數(shù)。兩者缺一不可。（2）從是否含有等號來看：方程首先是一個等式，它是用“”將兩個代數(shù)式連接起來的等式，而整式僅用運算符號連接起來，不含有等號。（3）從是否含有未知量來看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必須含有未知數(shù)。但整式必不含有等號，不一定含有未知量，分為單項式和多項式。專題典型題考法及解析 【例題1】（經(jīng)典題）解方程：【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程，所以要先去分母，再去括號，最后移項，化系數(shù)為1，從而得到方程的解左右同乘12可得：32x（x1）=8（x1），化簡可得：3x+3=8x8，移項可得：5x=11，解可得x=故原方程的解為x=【例題2】（2019杭州）已知九年級某班30位學生種樹72棵，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，設男生有x人，則（）A2x+3（72x）30B3x+2（72x）30C2x+3（30x）72D3x+2（30x）72【答案】D【解析】設男生有x人，則女生（30x）人，根據(jù)題意可得：3x+2（30x）72【例題3】（2019張家界）田畝比類乘除捷法是我國古代數(shù)學家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多 步【答案】12 【解析】設長為x步，寬為（60x）步，x（60x）864，解得，x136，x224（舍去），當x36時，60x24，長比寬多：362412（步）【例題4】（2019湖北黃石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算術）意思是：同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定兩者步長相等，據(jù)此回答以下問題：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰至于前，兩者幾何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當走路慢的人再走600步時，請問誰在前面，兩人相隔多少步？ （2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【答案】（1）當走路慢的人再走600步時，走路快的人在前面，兩人相隔300步（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人【解析】（1）設當走路慢的人再走600步時，走路快的人的走x步，根據(jù)同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步列方程求解即可。由題意得x：600100：60 x10001000600100300所以當走路慢的人再走600步時，走路快的人在前面，兩人相隔300步（2）設走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根據(jù)同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及問題可列方程求解由題意得y200+yy500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人 專題典型訓練題 一、選擇題1.（2019貴州畢節(jié)）如果3ab2m1與9abm+1是同類項，那么m等于（）A2 B1 C1 D0【答案】A 【解析】根據(jù)同類項的定義得出m的方程解答即可根據(jù)題意可得：2m1m+1，解得：m22.（2019湖南懷化）一元一次方程x20的解是（）Ax2 Bx2 Cx0Dx1【答案】A 【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案x20，解得：x23.（2018江蘇無錫）林地108公頃，旱地54公頃，為保護環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地占林地面積的20%，設把x公頃旱地改為林地，則可列方程( )A. B. C. D. 【答案】B.【解析】根據(jù)題意，旱地改為林地后，旱地面積為公頃，林地面積為公頃，等量關系為“旱地占林地面積的20%”，即. 故選B. 4（2018湖南長沙）某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套設安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是（）A2×1000（26x）=800x B1000（13x）=800xC1000（26x）=2×800x D1000（26x）=800x【答案】C【解析】題目已經(jīng)設出安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則（26x）人生產(chǎn)螺母，由一個螺釘配兩個螺母可知螺母的個數(shù)是螺釘個數(shù)的2倍從而得出等量關系，就可以列出方程由題意得1000（26x）=2×800x，故C答案正確。5（2019襄陽）九章算術是我國古代數(shù)學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設合伙人數(shù)為x人，所列方程正確的是（）A5x457x3B5x+457x+3CD【答案】B 【解析】設合伙人數(shù)為x人，依題意，得：5x+457x+3二、填空題6.（經(jīng)典題）方程（12x）=（3x+1）的解為_.【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程，所以要先去分母，再去括號，最后移項，化系數(shù)為1，從而得到方程的解7（12x）=3×2（3x+1）7+14x=18x+64x=13x=7.（2019貴州黔西南州）某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是 元【答案】2000【解析】一元一次方程的應用。設這種商品的進價是x元，由題意，得（1+40%）x×0.82240解得x20008.（2019湖南湘西）若關于x的方程3xkx+20的解為2，則k的值為 【答案】4【解析】考查一元一次方程的解關于x的方程3xkx+20的解為2，3×22k+20，解得：k49（2018福建）一件服裝的標價為300元，打八折銷售后可獲利60元，則該件服裝的成本價是元【答案】180 【解析】設該件服裝的成本價是x元根據(jù)“利潤=標價×折扣進價”即可得出關于x的一元一次方程，解方程即可得出結論設該件服裝的成本價是x元，依題意得：300×x=60，解得：x=180該件服裝的成本價是180元10.（2018武漢）某商品的進價為每件100元，按標價打八折售出后每件可獲利20元，則該商品的標價為每件 元【答案】150【解析】考點是一元一次方程的應用設該商品的標價為每件為x元，根據(jù)八折出售可獲利20元，可得出方程：80%x100=20，再解答即可解得：x=150答：該商品的標價為每件150元11.（2019貴州省畢節(jié)市）某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是 元【答案】2000.【解析】一元一次方程的應用。設這種商品的進價是x元，根據(jù)提價之后打八折，售價為2240元，列方程解答即可由題意得，（1+40%）x×0.82240解得：x200012.（2019湖南株洲）九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走 步才能追到速度慢的人【答案】250【解析】設走路快的人追上走路慢的人所用時間為t，根據(jù)二者的速度差×時間路程，即可求出t值，再將其代入路程速度×時間，即可求出結論根據(jù)題意得：（10060）t100，解得：t2.5， 100t100×2.5250所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人13.（2019貴州畢節(jié)）某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是 元【答案】2000【解析】設這種商品的進價是x元，根據(jù)提價之后打八折，售價為2240元，列方程解答即可由題意得，（1+40%）x×0.82240解得：x200014.（2019湖南湘西州）若關于x的方程3xkx+20的解為2，則k的值為 【答案】4【解析】關于x的方程3xkx+20的解為2，3×22k+20，解得：k415.（2019湖南岳陽）我國古代的數(shù)學名著九章算術中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布尺 【答案】 【解析】設第一天織布x尺，則第二天織布2x尺，第三天織布4x尺，第四天織布8x尺，第五天織布16x尺，根據(jù)題意可得： x+2x+4x+8x+16x5，解得：x，即該女子第一天織布尺三、解答題16.（經(jīng)典題）解方程（1）4x=3（2x）；（2）【答案】見解析?！窘馕觥浚?）去括號得：4x=63x，移項得：x+3x=64，合并得：2x=2，系數(shù)化為1得：x=1（2）去分母得：5（x1）2（x+1）=2，去括號得：5x52x2=2，移項得：5x2x=2+5+2，合并得：3x=9，系數(shù)化1得：x=317（經(jīng)典題）解方程（1）4（x1）3（20x）=5（x2）；（2）x=2【答案】見解析?！窘馕觥浚?）去括號得：4x460+3x=5x10移項得：4x+3x5x=4+6010合并得：2x=54系數(shù)化為1得：x=27；（2）去分母得：6x3（x1）=122（x+2）去括號得：6x3x+3=122x4移項得：6x3x+2x=1243合并得：5x=5系數(shù)化為1得：x=118.（2019湖南岳陽）岳陽市整治農(nóng)村“空心房”新模式，獲評全國改革開放40年地方改革創(chuàng)新40案例據(jù)了解，我市某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)“空心房”進行整治，騰退土地1200畝用于復耕和改造，其中復耕土地面積比改造土地面積多600畝（1）求復耕土地和改造土地面積各為多少畝？（2）該地區(qū)對需改造的土地進行合理規(guī)劃，因地制宜建設若干花卉園和休閑小廣場，要求休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的，求休閑小廣場總面積最多為多少畝？【答案】見解析?！窘馕觥浚?）設改造土地面積是x畝，則復耕土地面積是（600+x）畝根據(jù)“復耕土地面積+改造土地面積1200畝”列出方程并解答；由題意，得x+（600+x）1200,解得x300則600+x900 所以改造土地面積是300畝，則復耕土地面積是900畝。（2）設休閑小廣場總面積是y畝，則花卉園總面積是（300y）畝，根據(jù)“休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的”列出不等式并解答 由題意，得y（300y）解得 y75故休閑小廣場總面積最多為75畝 所以休閑小廣場總面積最多為75畝19.（2019甘肅）中國古代入民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中孫子算經(jīng)中有個問題，原文：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？【答案】共有39人，15輛車【解析】設共有x人，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結果根據(jù)題意得：+2，去分母得：2x+123x27，解得：x39，15，則共有39人，15輛車 20（2019張家界）某社區(qū)購買甲、乙兩種樹苗進行綠化，已知甲種樹苗每棵30元，乙種樹苗每棵20元，且乙種樹苗棵數(shù)比甲種樹苗棵數(shù)的2倍少40棵，購買兩種樹苗的總金額為9000元（1）求購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購買甲、乙兩種樹苗共10棵，總費用不超過230元，求可能的購買方案？【答案】見解析?！窘馕觥浚?）設購買甲種樹苗x棵，購買乙種樹苗（2x40）棵，由題意可得，30x+20（2x40）9000，70x9800，x140，購買甲種樹苗140棵，乙種樹苗240棵。（2）設購買甲樹苗y棵。乙樹苗（10-y）棵，根據(jù)題意得：30y+20（10-y）23010y30 y3購買方案2：購買甲樹苗2棵，乙樹苗8棵；購買方案3：購買甲樹苗1棵，乙樹苗9棵；購買方案4：購買甲樹苗0棵，乙樹苗10棵。21.(2019安徽)為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當?shù)卣疀Q定修建一條高速公路其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？ 【答案】甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天【解析】設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x2）米根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間由題意，得2x+（x+x2）26，解得x7，所以乙工程隊每天掘進5米，（天） 所以甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天11