課時(shí)訓(xùn)練(二十三)矩形、菱形、正方形(限時(shí):50分鐘)|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.2018·日照 如圖K23-1,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,添加下列條件,不能判定四邊形ABCD是菱形的是()圖K23-1A.AB=ADB.AC=BDC.ACBDD.ABO=CBO2.2018·哈爾濱 如圖K23-2,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BD=8,tanABD=34,則線段AB的長(zhǎng)為()圖K23-2A.7B.27 C.5 D.103.2018·宿遷 如圖K23-3,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,BAD=60°,則OCE的面積是()圖K23-3A.3B.2 C.23D.44.2018·蘭州 如圖K23-4,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BEDF且BE與DF之間的距離為3,則AE的長(zhǎng)度是()圖K23-4A.7 B.38 C.78 D.585.2018·臨沂 如圖K23-5,點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()圖K23-5若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形;若ACBD,則四邊形EFGH為菱形;若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC與BD互相平分;若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直且相等.A.1 B.2 C.3 D.46.2018·株洲 如圖K23-6,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點(diǎn),則PQ的長(zhǎng)度為. 圖K23-67.2018·黔東南州 已知一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為2,較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為23,則這個(gè)菱形的面積是. 8.2018·廣州 如圖K23-7,若菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(3,0),(-2,0),點(diǎn)D在y軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是. 圖K23-79.2018·南通 如圖K23-8,在ABC中,AD,CD分別平分BAC和ACB,AECD,CEAD.若從三個(gè)條件:AB=AC;AB=BC;AC=BC中選擇一個(gè)作為已知條件,則能使四邊形ADCE為菱形的是(填序號(hào)). 圖K23-810.2018·舟山 如圖K23-9,等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F在矩形ABCD的邊BC,CD上,且CEF=45°.求證:矩形ABCD是正方形.圖K23-911.2018·湘西州 如圖K23-10,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE,CE.圖K23-10(1)求證:ADEBCE;(2)若AB=6,AD=4,求CDE的周長(zhǎng).12.2018·南京 如圖K23-11,在四邊形ABCD中,BC=CD,C=2BAD.O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且OA=OB=OD.求證:圖K23-11(1)BOD=C;(2)四邊形OBCD是菱形.|拓展提升|13.2018·自貢 如圖K23-12,在ABC中,AC=BC=2,AB=1,將它沿AB翻折得到ABD,則四邊形ADBC的形狀是;點(diǎn)P,E,F分別為線段AB,AD,DB上的任意點(diǎn),則PE+PF的最小值是. 圖K23-1214.2018·武漢 以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則BEC的度數(shù)是. 15.2018·玉林 如圖K23-13,在ABCD中,DC>AD,四個(gè)角的平分線AE,DE,BF,CF的交點(diǎn)分別是E,F,過點(diǎn)E,F分別作DC與AB間的垂線段MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別是M,N與M',N',連接EF.圖K23-13(1)求證:四邊形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長(zhǎng).參考答案1.B2.C解析 由菱形性質(zhì)可知BO=DO=4,AOB=90°,由tanABD=34,可知AO=3,由勾股定理得AB=5.3.A解析 根據(jù)菱形ABCD的周長(zhǎng)為16可知AB=BC=CD=DA=4,再根據(jù)BAD=60°得:BD=4,即BO=DO=2,根據(jù)勾股定理得CO=23,從而求得SCOD=23,根據(jù)OE是中線得SOCE=12SCOD=3,故選A.4.C解析 設(shè)AE=x,則BE=9+x2,由S四邊形BEDF=3BE=3DE,所以BE=DE.即9+x2=4-x,解得x=78.5.A解析 點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),EH=12BD=FG,EHBDFG,四邊形EFGH是平行四邊形.由AC=BD可得EH=EF,四邊形EFGH為菱形,錯(cuò)誤;由ACBD,可得EHEF,四邊形EFGH為矩形,錯(cuò)誤;由四邊形EFGH是平行四邊形,無法得到AC與BD互相平分,錯(cuò)誤;由四邊形EFGH是正方形,可得到AC與BD互相垂直且相等,正確.故選A.6.52解析 四邊形ABCD是矩形,BD=AC=10,OD=12BD,OD=5,P,Q分別為AO,AD的中點(diǎn),PQ=12OD=52.7.23解析 如圖,在菱形ABCD中,AB=2,AC=23,則AO=3,AOB=90°,由勾股定理得OB=1.則BD=2,S菱形ABCD=12AC·BD=12×23×2=23.8.(-5,4)解析 由A,B的坐標(biāo)分別為(3,0),(-2,0)可得AO=3,AB=5.由菱形ABCD四邊相等可得CD=AD=AB=5,在RtAOD中,由勾股定理可得OD=AD2-AO2=4,所以C(-5,4).9.解析 AD,CD分別平分BAC和ACB,DAC=12BAC,DCA=12BCA.AECD,CEAD,四邊形ADCE為平行四邊形.要使四邊形ADCE為菱形,則需要條件AD=CD,需要條件DAC=DCA.需要條件BAC=BCA.需要條件AB=BC.10.證明:四邊形ABCD是矩形,B=D=C=90°.AEF是等邊三角形,AE=AF,AEF=AFE=60°.又CEF=45°,CFE=CEF=45°,AFD=AEB=180°-45°-60°=75°,ABEADF(AAS),AB=AD,矩形ABCD是正方形.11.解:(1)證明:在矩形ABCD中,AD=BC,A=B=90°.E是AB的中點(diǎn),AE=BE.在ADE與BCE中,AD=BC,A=B,AE=BE,ADEBCE(SAS).(2)由(1)知:ADEBCE,則DE=EC.在RtADE中,AD=4,AE=12AB=3,由勾股定理知,DE=AD2+AE2=42+32=5,CDE的周長(zhǎng)=2DE+DC=2DE+AB=2×5+6=16.12.證明:(1)OA=OB=OD,點(diǎn)A,B,D在以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓上.BOD=2BAD.又C=2BAD,BOD=C.(2)如圖,連接OC.OB=OD,CB=CD,OC=OC,OBCODC.BOC=DOC,BCO=DCO.BOD=BOC+DOC,BCD=BCO+DCO,BOC=12BOD,BCO=12BCD.又BOD=BCD.BOC=BCO,BO=BC.又OB=OD,BC=CD,OB=BC=CD=DO,四邊形OBCD是菱形.13.菱形154解析 AD=BD=AC=BC,四邊形ADBC是菱形.作E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E',根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)E'在AC上,連接E'F交AB于點(diǎn)P,PE+PF=PE'+PF=E'F,當(dāng)E'F是AC,BD之間的距離時(shí),E'F為最小.過點(diǎn)B作BHAC于點(diǎn)H,設(shè)AH=x,則CH=2-x,由AB2-AH2=BH2=BC2-CH2,得1-x2=4-(2-x)2,解得x=14,BH=1-(14) 2=154.PE+PF的最小值為154.14.30°或150°解析 分兩種情況:(1)如圖,等邊三角形ADE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí),連接CE,BE,則CDE=CDA-ADE=90°-60°=30°,CD=DE,DCE=75°,ECB=15°,同理可以得到EBC=15°,BEC=150°.(2)如圖,等邊三角形ADE在正方形ABCD外部時(shí),連接CE,BE,則CDE=CDA+ADE=90°+60°=150°,CD=DE,CED=15°,同理AEB=15°,BEC=AED-CED-AEB=60°-15°-15°=30°.15.解:(1)證明:過點(diǎn)E,F分別作AD,BC的垂線,垂足分別是G,H.3=4,1=2,EGAD,EMCD,EM'AB,EG=ME,EG=EM',EG=ME=EM'=12MM',同理可證:FH=NF=N'F=12NN'.CDAB,MM'CD,NN'CD,MM'=NN',ME=NF=EG=FH.MM'NN',四邊形EFNM是平行四邊形,又MM'CD,四邊形EFNM是矩形.(2)DCAB,CDA+DAB=180°,3=12CDA,2=12DAB,3+2=90°.DEA=90°.在RtDEA中,AE=4,DE=3,AD=32+42=5.四邊形ABCD是平行四邊形,DAB=DCB,又2=12DAB,5=12DCB,2=5,由(1)知GE=NF,在GEA和NFC中,2=5,EGA=FNC=90°,GE=NF,GEANFC,AG=CN.在RtDME和RtDGE中,DE=DE,ME=EG,RtDMERtDGE,DG=DM,DM+CN=DG+AG=AD=5,MN=CD-DM-CN=9-5=4.四邊形EFNM是矩形,EF=MN=4.12