輕松寒假，快樂復(fù)習(xí)30天第10天空間角及距離（非向量法）思路點睛一求二面角的平面角的基本方法：1.定義法（點P在棱上）2.三垂線定理法（點P在一個半平面上），此法關(guān)鍵是找出線面（二面角中的某個）垂直，再過線上的點做棱的垂線。3.垂面法（點P在二面角內(nèi)）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條射線所成的角，即為二面角的平面角。（或棱不出現(xiàn)，僅有一個交點出現(xiàn)時，過該交點存在兩平面的公共垂面，公共垂面與原來兩平面形成的角為二面角的平面角）4.射影面積法:5.補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。6.向量法（下節(jié)作業(yè)）二求空間距離的常用方法：直接法、轉(zhuǎn)化法、體積法、找垂面法、向量法。三注意事項：一定要注意各角的范圍，兩條異面直線所成的角；線面角;斜線與平面所成角）；二面角。典型試題1已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為ABCD【答案】C【解析】試題分析：如圖：在正四棱錐中，連接AC與BD相交于一點O，連結(jié)OE，由于是的中點，所以O(shè)E/SD，故AEO即為直線所成的角；易知AOE是直角，又側(cè)棱長與底面邊長都相等，設(shè)棱長為2，則A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=;故選C2正方體，棱長為4，點到截面的距離為（）ABCD【答案】B【解析】試題分析：點到截面的距離為正方體的對角線的，即.3在長方體中，若分別為線段，的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）ABCD【答案】C【解析】試題分析：取的中點G，連接EG、FG、，容易證明為直線與平面所成角，設(shè)AB=a，則，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案選C.4.正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則下列命題中，錯誤的是()AOABC是正三棱錐B直線OB平面ACDC直線AD與OB所成的夾角為45°D二面角DOBA為45°【答案】B【解析】構(gòu)造圖形，把此正四面體放在正方體中?？梢耘袛郃，C，D為真命題，直線OB與平面ACD相交，所以B為假命題5在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a<b，E、F分別是AD、BC的中點，以EF為折痕把四邊形EFCD折起，當(dāng)時，二面角CEFB的平面角的余弦值等于（）A0BCD【答案】C【解析】由圖可知，CE=BE=，當(dāng)時，CB=。為所求平面角，由余弦定理得cos。選C。6在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角為【答案】【解析】試題分析：由題意可得：在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角即為AC和AB所成角，所以是.7到正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點：有且只有1個；有且只有2個；有且只有3個；有無數(shù)個其中正確答案的序號是_【答案】【解析】注意到正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線B1D上的每一點到直線AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線距離相等的點有無數(shù)個，其中正確答案的序號是.8已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，則點B到平面EFG的距離為【答案】【解析】設(shè)B到面EFG的距離為h，由于，所以另一方面，所以，得即為B到平面GEF的距離。9.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為的菱形，BCD600，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA=2.（1）平面PBE與平面PAB的位置關(guān)系是（2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（銳角）的大小為【答案】（1）垂直；（2）【解析】解：延長相交于點，連結(jié).過點作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因為,所以.在等腰中,取的中點,連接.則.連結(jié).由三垂線定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面角（銳角）在等腰中,在中,所以，在中，故平面和平面所成的二面角的平面角（銳角）的大小是10.（能力提高）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于_【答案】16【解析】設(shè)兩圓的公共弦AB的中點為D，則KDDA，ODDA，ODK即為圓O和和圓K所在平面所成二面角的平面角，所以O(shè)DK60°.由于O為球心，故OK垂直圓K所在平面，所以O(shè)KKD.在直角三角形ODK中，sin60°，即OD×，設(shè)球的半徑為r，則DOr，所以r，所以r2，所以球的表面積為4r216.11.如圖，在三棱錐中，ACBDP（）求證：；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c到平面的距離【答案】（）見解析；（）；（）【解析】解法一：（）取中點，連結(jié)，平面平面，（）ACBEP，又，又，即，且，平面取中點連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小為（）ACBDPH由（）知平面，平面平面過作，垂足為平面平面，平面的長即為點到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中，點到平面的距離為解法二：（）取中點，連結(jié)，平面平面，（）ACBEP，又，又，即，且，平面取中點連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是在平面內(nèi)的射影，于是可求得：,則,設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為（）ACBDPH由（）知平面，平面平面過作，垂足為平面平面，平面的長即為點到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中，點到平面的距離為真題摘編（2013高考真題）如圖，正三棱柱中，是中點ABCEB1A1C1（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的大小【答案】（1）見解析；（2）45°【解析】（1）證明：如圖，是正三棱柱，ABC是正三角形，E是AC中點，.又，平面（2）解：如圖，作，于G，連CG.平面，F(xiàn)G是CG在平面上的射影.根據(jù)三垂線定理得，CGF是二面角的平面角，設(shè)，則.在中，.在中，,在中，,.二面角的大小是45°.County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, prehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work