華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析2011-2013考研解答1. ($12$) 求極限 $dpslim_ntoinftysqrtnsexsqrt4n2+1-sqrtn+1$.解答: $beex bea mbox原極限 &=lim_xto 0sqrtfrac1xsexsqrt4frac1x2-1-sqrtfrac1x-1 &=lim_xto 0 fracsqrt41+x2-sqrt1+xx &=lim_xto 0 sezfrac14(1+x2)-frac34cdot frac12(1+x)-frac12 &=-frac12. eea eeex$ 2. ($12$) 確定函數(shù)項級數(shù) $dpssum_n=1infty fracx2n$ 的收斂域, 并求其和函數(shù).解答: 由 $a_n=1/n$ 知收斂半徑為 $R=1$. 又 $dpssum_n=1infty fracx2n$ 當 $x=-1$ 時收斂, 當 $x=1$ 時發(fā)散, 而收斂域為 $-1,1)$. 另外, 在收斂域范圍內(nèi), $bex sum_n=1infty fracx2n =sum_n=1inftyint_0xtn-1rd t =int_0x sum_n=1infty tn-1rd t =int_0x frac11-trd t=-ln (1-x). eex$ 3. ($12$) 設(shè)函數(shù) $fin C2(bbR)$, 且 $bex f(x+h)+f(x-h)-2f(x)leq 0,quadforall xin bbR,quad forall h>0. eex$ 證明: 對 $forall xinbbR$, 有 $f(x)leq0$.證明: 由 $bex 0geq lim_hto 0fracf(x+h)+f(x-h)-2f(x)h2 =lim_hto 0fracf(x+h)-f(x-h)2h=f(x) eex$ 即知結(jié)論.4. ($12$) 設(shè) $beta>0$ 且 $bex x_1=frac12sex2+fracbeta2,quad x_n+1=frac12sexx_n+fracbetax_n, n=1,2,3,cdots. eex$ 試證數(shù)列 $sedx_n$ 收斂, 并求其極限.證明: (1) $bex x_n=frac12sexx_n-1+fracbetax_n-1 geq sqrtbeta,quad n=2,3,cdots. eex$ (2) 設(shè) $f(x)=(x+beta/x)/2$, 則 $f(x)=(1-beta/x2)/2$, 而當 $xgeq sqrtbeta$ 時, $0leq f(x)<1/2$. 由此, $sedx_n$ 為壓縮數(shù)列, 是收斂的. 令 $x_nto alpha$, 則 $bex alpha=frac12sexalpha+fracbetaalpha ra alpha=sqrtbeta. eex$ 5. ($12$) 求極限 $bex lim_ntoinftyint_-pi/20 cosnxrd x. eex$ 解: 由 $bex sevint_-pi/20 cosnxrd x =sevint_-pi/2-delta+int_-delta0 cosnxrd x leq fracpi2cosndelta+delta,quad (forall 0<deltall 1) eex$ 即知原極限為 $0$. 6. ($12)$ 求極限 $bex lim_xto 0+0fracsinsqrtxsqrt1+xtan x-sqrtcos x. eex$解答: $bex mbox原極限=lim_xto 0+0sqrtfracx1+xtan x-sqrtcos x =sqrtlim_xto 0+0frac1tan x+xsec2x+fracsin x2sqrtcos x=+infty. eex$ 7. ($13$) 設(shè)函數(shù) $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 點可微且在該點的函數(shù)值及微分為零, 定義函數(shù) $bex f(x,y)=seddball g(x,y)sinfrac1x2+y2,&x2+y2neq 0, 0,&x2+y2=0. ea eex$ 試證: $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處可微.證明: 由 $beex bea frac|f(x,y)-f(0,0)|sqrtx2+y2 &=sevfracg(x,y)-g(0,0)sqrtx2+y2sinfrac1x2+y2 &leq sevfracg(x,y)-g(0,0)-g_x(0,0)x-g_y(0,0)ysqrtx2+y2 to 0quad(x2+y2to 0) eea eeex$ 即知結(jié)論. 8. ($13$) 計算曲面積分 $bex iint_S yrd xrd z, eex$ 其中 $S$ 是曲面 $x2+y2+z2=1$ 的上半部分, 并取外側(cè)為正向.解答: 由 Stokes 公式, $bex iint_S yrd xrd z =-iiint_x2+y2+z2leq1atop zgeq 0 rd xrd yrd z =-frac2pi3. eex$ 9. ($13$) 計算曲線積分 $bex int_Cfracxrd y-yrd xx2+y2, eex$ 其中 $C$ 是以 $(0,1)$ 為圓心, $R(Rneq 1)$ 為半徑的圓周, 方向為逆時針.解答: 由 Green 公式知當 $R<1$ 時原積分為 $0$; 當 $R>1$ 時, $beex bea mbox原積分 &=int_x2+y2=ve2fracxrd y-yrd xx2+y2quad(0<vell 1) &=frac1ve2int_x2+y2=ve2xrd y-yrd x &=frac1ve2cdot 2iiint_x2+y2leq ve2rd xrd y &=2pi. eea eeex$ 10. ($13)$ 計算曲面積分 $bex iint_vSa fracrd Ssqrtx2+y2+(z+2)2, eex$ 其中 $vSa$ 是以原點 $(0,0,0)$ 為圓心, $2$ 為半徑的球面被 $z=sqrtx2+y2$ 所截的上部分.解答: 設(shè) $bex x=2sinphicos,quad y=2sin phisintheta,quad z=2cos phi,quad 0leq phileq pi,quad 0leq thetaleq 2pi, eex$ 則 $bex rd S=sqrtEG-F2rd phird theta =4sin phird phird theta. eex$ 于是 $beex bea mbox原積分 &=4int_02pird theta int_0pifracsin phisqrt4sin2phi+(2cosphi+2)2rd phi &=frac4pisqrt2int_0pi fracsin phisqrt1+cosphird phi &=frac4pisqrt2 sezsevv-2sqrt1+cosphi_0pi &=8pi. eea eeex$ 11. ($13$) 設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $a,b$ 上連續(xù), 且有唯一的最大值點 $x_0in a,b$. 試證: 若 $x_nin a,b$ 滿足 $dpslim_ntoinftyf(x_n)=f(x_0)$, 則 $dpslim_ntoinftyx_n=x_0$.證明: 用反證法. 若 $beelabel246.11:1 exists ve_0>0, exists sedn_k,st |x_n_k-x_0|geq ve_0. eee$ 則由 Weierstrass 聚點定理知 $beelabel246.11:2 exists sedn_k_i,st x_n_k_ito bar x_0. eee$ 由 $f$ 的連續(xù)性, $f(x_n_k_i)to f(bar x_0)$. 再據(jù)題設(shè)及 $f(bar x_0)=f(x_0)$ 知 $bar x_0=x_0$. 于是當 $k=k_i$ 時的 eqref246.11:1 與 eqref246.11:2 矛盾. 故有結(jié)論. 12. ($13$) 設(shè)函數(shù) $f(x,y)$ 在閉區(qū)間 $|x-x_0|leq a, |y-y_0|leq b$ 上連續(xù), 函數(shù)列 $sedphi_n(x)$ 在閉區(qū)間 $x_0-a,x_0+a$ 上一致收斂于函數(shù) $phi(x)$, 且對任意的 $n$ 及 $forall xin x_0-a,x_0+a$ 有 $|phi_n(x)-y_0|leq b$. 試證: $bex lim_ntoinftyint_x_0x f(t,phi_n(t)rd t =int_x_0x f(t,phi(t)rd t. eex$證明: 由積分號下取極限, 僅需證明 $bex f(x,phi_n(x)rightrightarrows f(x,phi(x). eex$ 事實上, 由 $f$ 的連續(xù)性及一致連續(xù)性, $bex forall ve>0, exists delta>0, forall |x-x|<delta, |y-y|<delta, |f(x,y)-f(x,y)|<ve. eex$ 對該 $delta>0$, 由 $phi_nrightrightarrows phi$ 知 $bex exists N, forall n>N, forall xin x_0-a,x_0+a, |phi_n(x)-phi(x)|<delta. eex$ 于是 $bex |x-x|=0<delta, |phi_n(x)-phi(x)|<deltara |f(x,phi_n(x)-f(x,phi(x)|<ve. eex$