第零章 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一 泰勒展開式1 二項(xiàng)式的展開 2 一般函數(shù)的展開 特別:時, 3 二元函數(shù)的展開(x=y=0處) 評注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉(zhuǎn)化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二 常微分方程1 一階非齊次常微分方程： 通解：注：積分時不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2 一個特殊二階微分方程 通解： 注：為由初始條件決定的常量3 二階非齊次常微分方程 通解：；為對應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個特解。 非齊次方程的一個特解（1） 對應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，； *若則，；（2） 若為二次多項(xiàng)式*時，可設(shè)*時，可設(shè)注：以上,A,B,C,D均為常數(shù)，由初始條件決定。三 矢量 1 矢量的標(biāo)積 注：常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢積 四 矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。 令*D=0時，方程組有非零解*D0時，方程只有零解第一章 牛頓力學(xué)的基本定律萬丈高樓從地起。整個力學(xué)大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學(xué)智慧結(jié)晶將飄來他的古樸與幽香。此時矢量言語將盡顯英雄本色，微積分更是風(fēng)光占盡?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】 1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的描述（1） 直線坐標(biāo)系 （2） 平面極坐標(biāo)系（3） 自然坐標(biāo)系 （4） 柱坐標(biāo)系 析 上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時一定要注意矢量順序2 牛頓定律 慣性定律的矢量表述 （1） 直角坐標(biāo)系中（2） 極挫標(biāo)系中（3） 自然坐標(biāo)系中 3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本定理 幾個量的定義：動量 角動量 沖量 力矩 沖量矩 動能 （1） 動量定理 方向上動量守恒：（2） 動量矩定理 （3） 動能定理 4機(jī)戒能守恒定理 T+V=E 析勢函數(shù)V: 穩(wěn)定平衡下的勢函數(shù)：; 此時勢能處極小處 且能量滿足【解題演示】 1 細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率轉(zhuǎn)動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動，O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關(guān)系知： 又因?yàn)椋?故：2 橢圓規(guī)尺AB的兩端點(diǎn)分別沿相互垂直的直線O與Oy滑動，已知B端以勻速c運(yùn)動，如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點(diǎn)的軌道方程、速度及加速度的大小與。解：依題知： 且： 得：又因M點(diǎn)位置： 故有：代入（*）式得：即： 3 一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動，如圖所示。求圓盤邊上任意一點(diǎn)M的速度和加速度（以O(shè)、M點(diǎn)的連線與鉛直線間的夾角表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。 解：設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為（）。則M點(diǎn)坐標(biāo)為（） 故： 4 一半徑為r的圓盤以勻角深度在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無滑動地滾動，如圖所示，求圓盤邊上M點(diǎn)的深度和加速度（用參量，表示）。解：依題知：且O點(diǎn)處：則： 5 已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為：y=bt,a和b都是非零常數(shù)。（1）寫處質(zhì)點(diǎn)軌道的極坐標(biāo)方程；（2）用極坐標(biāo)表示出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解：得： 6 已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，經(jīng)向和橫向的速度分量分別是r和，這里和是常數(shù)。求出質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量. 解：由題知： 且： 故： 7 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動，其速率保持為常量，證明質(zhì)點(diǎn)的速度矢量與加速度矢量正交。證明：設(shè)速度為。則：由于與為正交矢量。即得證。 8一質(zhì)點(diǎn)沿心臟線以恒定速率v運(yùn)動，求出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.解：設(shè) 且有： 解得： 得：則： 9已知質(zhì)點(diǎn)按 運(yùn)動，分別求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的切向和法向分量，經(jīng)向分量和橫向分量。解：（1）極坐標(biāo)系下：由得：且設(shè)：則：得： 則：徑向與橫向的分量分別為，。10質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿一旋輪線運(yùn)動，旋輪線方程為。證明質(zhì)點(diǎn)在方向做等加速運(yùn)動。解：依題意：得：則： 11 一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線運(yùn)動，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦的一端點(diǎn)以速率出發(fā)，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正焦弦的另一端點(diǎn)時的速率。解：建立自然坐標(biāo)系有：且： 積分得：（代入）又因?yàn)椋涸邳c(diǎn)處斜率： 在點(diǎn)處斜率： 故： 即： 12 豎直上拋一小球，設(shè)空氣阻力恒定。證明小球上升的時間比下落返回至原地點(diǎn)的時間短。解：設(shè)空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒，則有：上升時間：上升高度：下落時間：得： 即得證。 13 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)自離地面高度處下落。若空氣阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，比例常數(shù)為C，試討論此質(zhì)點(diǎn)下落過程中的運(yùn)動狀況。解：設(shè)加速度為，速率為，則：得：積分并代入時有： 知：質(zhì)點(diǎn)一直在做向下的變加速運(yùn)動，且加速度越來越小。 14 將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線之間的夾角又為角度時所需時間。解：依牛頓第二運(yùn)動定律有： 積分并代入初始條件：時：解得：當(dāng)再次夾角為時：可解出： 15 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)用一長度為的不可伸長的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質(zhì)量為。開始時，小環(huán)靜止質(zhì)點(diǎn)下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質(zhì)點(diǎn)以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數(shù)至少是，此時繩中的張力為。解：依 得：則：又因?yàn)椋旱茫汗剩?即得證。 16 滑輪上繞有輕繩，繩端與一彈簧的一個端點(diǎn)聯(lián)結(jié)，彈簧的另一端掛一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。當(dāng)滑輪以勻角速率轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點(diǎn)以勻速率下降。若滑輪突然停止轉(zhuǎn)動，試求彈簧的最大伸長及彈簧中的最大張力。已知彈簧作用力為W時的靜止伸長。解：（注：此題中）設(shè)最大伸長為有：依能量守恒： 解得： 則： 17 兩個相同的輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)為，自然長度是，在它們中間豎直地串接一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。彈簧的另外兩端點(diǎn)分別固定于A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，A、B間的高度差是。設(shè)開始時質(zhì)點(diǎn)靜止于AB的中點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。17解：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時勢能在平衡時：得:且運(yùn)動時受力滿足：代入初始條件: 可解得： 18 兩個質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B用一自然長度為的輕質(zhì)彈簧相連，置于一光滑水平桌面上，如圖所示。彈簧的勁度系數(shù)為。兩質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧呈自然長度；而后，質(zhì)點(diǎn)B沿AB方向受到一大小為的恒力作用。分別求處質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動規(guī)律。18解：依受力分析知 +得： 積分得: 代入得：積分得：同理： 積分得：式中。另解：先將AB及彈簧看成一系統(tǒng)，其質(zhì)心做一受恒力的作用，再將A與B 理解成繞質(zhì)心做周期性振動，可得A的運(yùn)動規(guī)律為質(zhì)心運(yùn)動與A振動的合運(yùn)動，B亦然。計算亦很簡單！ 19 一質(zhì)點(diǎn)從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問質(zhì)點(diǎn)滑至何處將脫離圓柱表面？解：將脫離時滑過相應(yīng)角度為，此時滿足：可解得： 20 一鋼絲彎成尖端朝上的擺線：，上面穿有一質(zhì)量為的小環(huán)。今若小環(huán)在鋼絲的最低處獲得大小為的初速度，開始沿擺線滑動。求出當(dāng)小環(huán)的速度與水平線成角度時，小環(huán)的速率。已知小環(huán)與鋼絲的摩擦系數(shù)為。解：小環(huán)運(yùn)動時，依受力分析知： 其對鋼絲的正壓力為 又因?yàn)椋旱茫?代入：得：則損失能量：再依能量守恒： 得： （其中）現(xiàn)進(jìn)行積分： 解出：代入得：代入得： 再將C代入得：故： 21 如圖所示，用細(xì)線將一質(zhì)量為的圓環(huán)懸掛起來，環(huán)上套有兩個質(zhì)量都是的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動。若兩小環(huán)同時從大環(huán)頂部由靜止向兩邊滑動，證明如果，大環(huán)將升起；此時角是多少？解：小環(huán)因重力對的壓力。而小環(huán)運(yùn)動所需向心力必由對的彈力F與重力提供，滿足：（法向）又依能量守恒知：且依兩環(huán)的對稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為： 當(dāng)大環(huán)升起須滿足：故得方程： 故：當(dāng)滿足時，升起時角度滿足解出： 則剛升起時：第二章 有心運(yùn)動和兩體問題斗轉(zhuǎn)星移，粒子變遷，乃至整個宇宙的各種運(yùn)動均受著“上帝”的安排-力的大小與距離平方成反比定律。在此解析幾何的空間曲線將一展風(fēng)情?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】1有心力和有心運(yùn)動 （1） 有心運(yùn)動的三個特征：平面運(yùn)動 動量守恒() 機(jī)械能守恒()（2） 運(yùn)動微分方程 可導(dǎo)出： 析是一個恒量，解題時應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運(yùn)用會使你絕處逢生，可謂是柳暗花明又一村的大門。2 距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動可由比內(nèi)公式導(dǎo)出： （為由初始條件決定的常量）近日點(diǎn)： 遠(yuǎn)日點(diǎn)：且 可得半長軸長： 析用來求，進(jìn)而得出運(yùn)動規(guī)律，即便是開普勒三定律亦是須臾即得。4 距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動（粒子散射）的雙曲線模型 （）可導(dǎo)出： 散射角： 盧瑟福散射公式：（式中散射截面：，立體角：將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式）4 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道的討論（1） 圓軌道的穩(wěn)定條件 （等效勢能：）再利用可導(dǎo)出： （）（2） 軌道的軌跡曲線 析通過與0的關(guān)系，即可判斷天體運(yùn)動的軌跡曲線【解題演示】 1 質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)速度的大小為，這里是常數(shù)。已知時，速度與矢量間夾角為。求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。解: 且又因?yàn)?故上式轉(zhuǎn)化成 積分并代入初始條件得 即： 2 木星軌道的半長軸長度是5.2天文單位（1個天文單位為 ）。求出（1）木星繞太陽運(yùn)動的周期；（2）木星的平均軌道速率。已知地球的平均軌道速率是。解：（1）依開普勒第三定律: 木星與地球的周期聯(lián)系為：（注:為1.0天文單位） （2）則: 順便證明開普勒第二第三定律:（1） 單位時間內(nèi)掃過的面積 （2） 周期： 3 月球的質(zhì)量和半徑分別是和，其中 分別是地球的質(zhì)量和半徑。試求（1）月球表面處的重力加速度；（2）若在月球表面發(fā)射火箭，使之脫離月球，則火箭的發(fā)射速度至少是多少？解：（1）（2）脫離月球初動能：得： 4 如果質(zhì)點(diǎn)受到的有心力為，式中及都是常數(shù)，并且。試證其軌道方程可寫為：，式中，為積分常數(shù)，。4證明:依比內(nèi)方程得:積分得: 式中: ,A為積分常數(shù) 5 一質(zhì)點(diǎn)受遵循萬有引力定律的有心力作用,作橢圓運(yùn)動.和 是過橢圓中心一直徑的兩端,分別是質(zhì)點(diǎn)在和處的速率.證明.(為短半軸處的速率)證明:即： 6 設(shè)地球的半徑為,質(zhì)量是.證明人造衛(wèi)星在地球引力場中以橢圓軌道運(yùn)動的速率由下試表示:.其中, 是質(zhì)點(diǎn)能脫離地球的逃逸速度,即第二宇宙速度;是衛(wèi)星軌道半長軸的長度.證明:在半徑為處:得： （）7太陽繞銀河系中心運(yùn)動,其軌道運(yùn)動速度約為,離銀河系中心的距離為30 000光年.以太陽質(zhì)量為單位,估計一下銀河系的總質(zhì)量.解:設(shè)銀河系的質(zhì)量幾乎全部集中在核心上。依代入 得： 8 一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為,在有心引力作用下運(yùn)動.試問質(zhì)點(diǎn)的能量E及角動量的大小L分別為何值時,質(zhì)點(diǎn)將按軌道 運(yùn)動?這里 均為已知常數(shù).解：（1）依比內(nèi)公式有： 得：積分得： 即：由于時,軌道在處開口,是拋物線型,故 。（2） 得：又因?yàn)?得：故須滿足： 得：此時: 9 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受兩體諧振勢的有心力作用.初始時質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓軌道運(yùn)動.（1）求出質(zhì)點(diǎn)圓軌道運(yùn)動的速度.（2）如果質(zhì)點(diǎn)在軌道平面內(nèi)受到一與速度成角的大小為 的沖量作用,求質(zhì)點(diǎn)在此后的運(yùn)動中離力心的最大和最小距離.（3）當(dāng)和時,從物理上對你所得的結(jié)果分別作出解釋.解：（1） 因?yàn)?故有: 積分得：（3） 由質(zhì)點(diǎn)和諧振動系統(tǒng)組成的系統(tǒng)能量守恒,當(dāng)受到?jīng)_量I之后 此時：當(dāng)運(yùn)動到極點(diǎn)處但有： 整理得方程： 可解出： 得： （3） 時：此時:沖量的作用使速度在同方向變?yōu)?倍,由于此處，故此處為一極點(diǎn)： 。到達(dá)另一極點(diǎn)處,恢復(fù)到切向，且得：時：同理,沖量作用使（后瞬間）,故此處為一極點(diǎn)到電達(dá)一極點(diǎn)時,恢復(fù)切向,且：得：10一彗星在近日點(diǎn)處離太陽的距離是地球軌道半徑的一半（假設(shè)地球作圓軌道運(yùn)動），在該處彗星的速率是地球軌道速率的二倍。試從守恒定理出發(fā)。（1）求出慧星軌道與地球軌道相交處慧星的速率（2）問此慧星的軌道是橢圓，拋物線還是又曲線？為什么？（3）它能脫離太陽系嗎？解：（1）設(shè)地球繞日軌道半徑為R,速率為,此慧星質(zhì)量為,速率為,有：得：（2）此慧星的能量 即：其軌道是拋物線（3）在拋物線型軌道中：即能脫離太陽系。11由于核電荷部分地被原子中的電子所屏蔽，屏蔽庫侖勢為，其中。Z為原子序數(shù)。試討論電子在上述勢場中作圓軌道運(yùn)動時的穩(wěn)定條件。解：電子運(yùn)動時的等效勢能 穩(wěn)定條件：得： 得：解出 （注: 無意義）12地球軌道的偏心率。今若沿其半短軸將橢圓軌道分割為兩半，證明地還需在這兩個半軌道運(yùn)行的時間分別為：，計算一下它們相差多少天？證明:（幾何法,開普勒第二定律）,分割點(diǎn)到日心連線與弧線圍成面積 相差 13質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在有心斥力場中運(yùn)動，式中是力心到質(zhì)點(diǎn)的距離。為常數(shù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離力心很遠(yuǎn)時，質(zhì)點(diǎn)的速度為，瞄準(zhǔn)距離是。試求質(zhì)點(diǎn)與力心間可能達(dá)到的最近距離d。解：依能量與動量守恒可得： 可解得：14試求出上題中質(zhì)點(diǎn)受力心散射后的散射角，并求出微分散射截面。解:依題知,散射舅跡為雙曲線,從（8）題知： 且。是取距離最近時力心與雙曲線焦點(diǎn)連線。 又知：時即： 得：又由于散射截面，且由上式可得：則: 得：即 微分散射截面: 15在光滑水平桌面上，兩個質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn)由一不可伸長的繩聯(lián)結(jié)，繩穿過固定在水平桌面上的光滑小環(huán)，如圖所示。若與小環(huán)相距時獲得垂直于繩的初速度，試寫出質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程，并解出它的運(yùn)動軌道方程。解:由于小環(huán)光滑,則: 故比內(nèi)方程可寫為： 得： 即： 又因?yàn)闀r，得：（ 注:此處 ）16質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)A，軒于光滑的水平桌面上運(yùn)動，如圖所示。此質(zhì)點(diǎn)系有一根輕繩，繩子穿過桌面O處的光滑小孔下垂，并掛有一同樣質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離小孔距離為處，沿垂直于繩子方向以初速率射出，證明質(zhì)點(diǎn)在此后運(yùn)動離O點(diǎn)距離必在d到3d之間。16解:設(shè)繩對的拉力為，距孔為，有 可得 代入：得： （注：）積分得：代入初始條件 得：故: 可解出 ， （無意義，舍） 即得證。此題用拉氏方法更簡單。 第三章 非慣性參考系 不識廬山真面目，只緣身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁榮，也許在這里可以略見一斑。春光無限，請君且放千里目，別忘了矢量語言在此將大放益彩?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】1 相對運(yùn)動 析僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。（1） 平動非慣性系 () 即：（2） 旋轉(zhuǎn)非慣性系 ()2 地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)（以地心為參考點(diǎn)）寫成分量形式為：析坐標(biāo)系選取物質(zhì)在地面上一定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向南方，y軸指向東方，鉛直方向?yàn)?z軸方向。 為旋轉(zhuǎn)非慣性系 在 條件下忽略 與 所得。正因如此，地球上的物體運(yùn)動均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來的科氏力 的作用，也正是它導(dǎo)致了氣旋，反氣旋，熱帶風(fēng)暴，信風(fēng)，河岸右側(cè)沖刷嚴(yán)重，自由落體，傅科擺等多姿多彩的自然現(xiàn)象。注自由落體偏東的推導(dǎo)時，取 =0，且須應(yīng)用級數(shù)展開，對小量作近似【解題演示】1 一船蓬高4米，在雨中航行時，它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m的甲板；但當(dāng)停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m 處，如果雨點(diǎn)的速率是8米每秒，求船航行時的速率？解：取湖面為慣性坐標(biāo)系，如右圖所示建立坐標(biāo)系 依幾何關(guān)系，設(shè)雨點(diǎn)相對湖面速度為 船相對雨點(diǎn)的速度為 則：船相對湖面的航行速度則:u=82. 河的寬度為，水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的流速為0，河中心處水的流速為。河中一小船內(nèi)的人，以相對于水流恒定的速率，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行軌道和抵達(dá)對巖的地點(diǎn)。解：如右圖所示，建立xoy慣性系，且依題意可知人的位置（x,y）滿足： 由得：y=ut分別代入，并聯(lián)立得: 到達(dá)對岸時,代入得: 3. 一圓盤以勻角速度繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)點(diǎn)M沿圓盤上的弦，以恒定的相對速度運(yùn)動，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為，求在以地面為參考系時，質(zhì)點(diǎn)M的速度和加速度（表示成質(zhì)點(diǎn)M離弦中點(diǎn)的距離的函數(shù)）.解:設(shè)的速度,加速度分別為和,依題意知: 4一飛機(jī)在赤道上空以速率水平飛行?？紤]到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別在下列情形下求出飛機(jī)相對于慣性坐標(biāo)系（不隨地球轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系）的速率：(1)向北飛行；(2)向西飛行；(3)向東飛行。已知地球半徑為.解:以飛機(jī)為坐標(biāo)原點(diǎn),以向東為方向,向南為方向,豎直向上為方向,相對于地心(設(shè)為慣性系)的速度為:則:三種情況相對于地心的速度分別為: (1) 則: (2) 則: (3) 則:5一楔子，頂角為，以勻加速度沿水平方向加速度運(yùn)動。質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質(zhì)點(diǎn)相對于楔子的加速度及質(zhì)點(diǎn)對楔子的壓力. 解:依 得: 又因?yàn)樵谄絼臃菓T性中:. 得: 則楔子對斜面的壓力 6一纜車，以大小為,與地平線成角的勻加速度上升。纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解:以纜車為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖則,物體滿足： ，則：知：又因?yàn)椋?則：即:向后方偏離7一單擺擺長為，懸掛點(diǎn)在水平線上作簡諧振動：。這里是懸掛點(diǎn)離開水平線上的固定點(diǎn)O的距離，如圖所示。開始時擺錘沿鉛直下垂，相對于的速度為零。證明單擺此后的微小振動規(guī)律為 解:以擺錘為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖,則：C相對于點(diǎn)運(yùn)動狀況： （利用：）再利用微振動，并令有： 可解得: 并代入初始條件得：， 故:積分并代入,得: 8一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為，其上套有一質(zhì)量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運(yùn)動，求小環(huán)相對于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對小環(huán)的作用力大小。已知初始時刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角，小環(huán)的相對速率.解:設(shè)與沿直線向方向的夾角為。如右圖所示，以小環(huán)質(zhì)心為參考原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則在方向上：即 得 積分得：在方向保持力平衡,則支持力 9一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉(zhuǎn)動。有一質(zhì)量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對速率向圓盤的邊緣走動。試分別利用（1）地面慣性系；（2）圓盤非慣性系，討論圓盤對人的作用力解：（1）以地面慣性參考系討論,設(shè)人走的半徑為，切向?yàn)?則有： （2）以圓盤非慣性討論： 則：10一半徑為豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)動。在此圓環(huán)上套有一質(zhì)量為的小環(huán)，自處相對于圓環(huán)無初帶地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的位置為何值時，它的滑動將開始反向？這是是圓環(huán)的圓心與小環(huán)的連線跟轉(zhuǎn)軸之間的夾角。解:同（8）題： 在方向上有：得：積分并代入 得：當(dāng)開始反向時,， 代入上式解得： 11一內(nèi)壁光滑的管子，在水平面內(nèi)繞通過其端點(diǎn)O的鉛直軸，以恒定的角速度轉(zhuǎn)動。管內(nèi)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，用一自然長度為，勁度系數(shù)為的彈簧和管子的端點(diǎn)O相連，設(shè)初始時質(zhì)點(diǎn)到O的距離為且。求質(zhì)點(diǎn)在管中的運(yùn)動方程及它對管壁的壓力。解：以O(shè)為原點(diǎn),如右圖建立直角坐標(biāo)系,則有： 得: 又因?yàn)椋汗剩涸诜较蛴校?（其中：）解方程并代入得： 再由，式得： 故：12質(zhì)量為的小環(huán)，套在半徑為的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞其圓周上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運(yùn)動微分方程（以小環(huán)相對于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過的角度為參量寫出），設(shè)圓圈對小環(huán)的作用力大小以表示，并可略去小環(huán)重力。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系,則： 則： 又因?yàn)椋?，在方向投影?得切線方向：在方向投影：得在法線方向：13一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，位于光滑的水平平臺上，此平臺以勻角速度繞通過平臺上一定點(diǎn)O的鉛直軸轉(zhuǎn)動。若質(zhì)點(diǎn)受到O點(diǎn)的吸引力作用，這里是質(zhì)點(diǎn)相對于O點(diǎn)的徑矢。試證明：質(zhì)點(diǎn)在任何起始條件下，將繞O點(diǎn)以角速度作圓周軌道運(yùn)動。證明:（注：此題與12題過程與條件基本相同）如右圖建立坐標(biāo)系： 則： 因?yàn)? ， 且：得: ， 即: 將繞以角速度作圓周軌道運(yùn)動。14一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點(diǎn)向下，以勻角速率繞豎直軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動時的運(yùn)動微分方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為，這里為常數(shù)。解：如右圖建立直解坐標(biāo)系,則： 則： 其中：， ， 且則： 代入得： 15在北緯處，一質(zhì)點(diǎn)以初速率豎直上拋，到達(dá)高度為時又落回地面?？紤]地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計空氣的阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地位置與上拋點(diǎn)之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？解：依地球上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程： 初始條件為對式進(jìn)行第一次積分代入得：積分得：代入初始條件得： 落地時：代入上式得： （） 故偏西。16在北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈，炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，證明炮彈地點(diǎn)的橫向偏離為 。解：（此題與上題解題基本相同）初始條件變?yōu)椋簩M(jìn)行積分代入得：積分并代入初始條件得： 代入得：代入 得：當(dāng)落地時： 并代入上式得：即橫向偏離： 第四章 質(zhì)點(diǎn)組動力學(xué)以彼之道，還施彼身。單身獨(dú)影自是無風(fēng)不起浪,無論是親朋相會,還是冤家聚頭,定有故事流傳.代數(shù)方程在此將笑傲江湖. 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1 質(zhì)點(diǎn)組（1） 質(zhì)心： 對于連續(xù)體: （2） 內(nèi)力與外力: 且內(nèi)力滿足: 2 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動的動量、角動量、動能（1） 動量 （2） 角動量 （3） 動能 3 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動的基本定理（1） 動量定理：質(zhì)心定理：（2） 角動量定理： （3） 動能定理：對質(zhì)心：4 開放的質(zhì)點(diǎn)組： 或<析>此章中許多等式的推導(dǎo)多用到分部積分與等量代換.在本章的習(xí)題解答中多用到動量定理,角動量定理與機(jī)械能守恒定理的聯(lián)立方程組,有時質(zhì)心定理的橫空出世會救你于水深火熱之中.【解題演示】1在一半徑為的圓圈上截取一段長為的圓弧，求出這段圓弧的質(zhì)心位置。解：如右圖所示建立坐標(biāo)系 。則：設(shè) 有：則質(zhì)心位置為，距頂點(diǎn)的位置為2求出半徑為的勻質(zhì)半球的質(zhì)心位置。解：如右圖所示，取一截面元與底面相距，則其質(zhì)量： 則：質(zhì)心與底面距離 3兩只質(zhì)量均為的冰船，靜止地放在光滑的冰面上。一質(zhì)量為的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。設(shè)所有的運(yùn)動都在一條直線上。求兩船最后的速度之比。解：人在兩船運(yùn)動為人與船組成系統(tǒng)的內(nèi)部作用，故此系統(tǒng)動量守恒，有： 得：4一船以速度前進(jìn)，船上某人以相對速度向船頭拋出一質(zhì)量為的鐵球。已知船和人的總質(zhì)量是。求人拋擲鐵所作的功。解：同上題。動量守恒得： 得：系統(tǒng)前后能量變化： 即：人做功5一質(zhì)量為的粒子爆炸成質(zhì)量相同的三小塊。其中兩塊的飛行方向相互垂直。它們的速率分別是和。求出第三塊的速度和動量的大小。解：設(shè)三塊的速度分別為 且：則依動量守恒 ：得：則：6重量為的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一與它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平邊長分別為和。小楔子自大楔子頂部靜止下滑，求小楔子完全下滑到水平面時，大小楔子完全下滑到水平面時，大小楔子分別移動了多少距離？解：依圖設(shè)大小楔子水平位移分別為 且依水平方向動量守恒： 對其積分得：且有代入上式得：7一炮彈以仰角發(fā)射，速率為，當(dāng)炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時，爆炸成質(zhì)量分別為和的兩塊彈片。已知火藥爆炸的能量是。爆炸后的瞬時，兩彈片仍沿原方向飛行。求兩彈片落地時相隔的距離。解：炮彈從空中降下的時間，在最高點(diǎn)處沿飛行方向動量守恒。 設(shè)炸后的速率分別為。則有： 可解得： 則：8重量為的人，手里拿著一個重量為的物體，以與地平線成角度的速度向前跳出。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時，將手中的物體以速率向后拋去。問拋出物體后，人向前跳的距離增加多少？解：（同理）設(shè)拋去后，人的速率變?yōu)?，由于最高處水平方向動量守恒得：解得：故人向前增加的距離：9質(zhì)量為的物體沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的質(zhì)量為傾角為，置于光滑水平面上。求（1）物體水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈對物體的反作用力和水平面對劈的反作用力。解：如右圖所示，建立各方向矢量，設(shè)劈與物體間的與反作用力為，則：則物體相對于尖劈的水平加速度：在方向上，物體受與的作用：依幾何關(guān)系：解得：代入式可得：水平面對劈的反作用力 10質(zhì)量為，半徑為的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿此半球面下滑。設(shè)質(zhì)點(diǎn)跟球心的連線與鉛直軸之間的夾角為。已知初始時系統(tǒng)是靜止的，求當(dāng)時，的值。解：如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)相對于半球的速度滿足： 在水平方向動量守恒，聯(lián)立能量守恒得 可解得：則：11質(zhì)量為的小珠A能在一水平光滑的滑軌上滑動。另有一質(zhì)量也是的質(zhì)點(diǎn)B用無彈性的輕繩與A聯(lián)結(jié)，質(zhì)點(diǎn)B可以鉛垂平面內(nèi)擺動。已知繩長為。初始時系統(tǒng)靜止，繩與鉛直線間的夾角為。證明：當(dāng)夾角時，有解：證明，如右圖所示。知：水平方向動量守恒：得： 又依能量守恒：代入得：得：12在光滑水平桌面上，有兩個質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)，用長為的不可伸長的輕繩聯(lián)結(jié)。今在其中一個質(zhì)點(diǎn)上作用與繩垂直的沖量求證此后這兩個質(zhì)點(diǎn)分別作圓滾線運(yùn)動，且它們的能量之比為，其中為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時間。證明：如右圖。由于水平光滑，依質(zhì)心定理與解動量守恒得： 得： 分析可知：則：即兩質(zhì)點(diǎn)間的能量之比為。13質(zhì)量為的小環(huán)，穿在質(zhì)量為的光滑圓圈上，此體系靜止地平放在光滑的水平桌面上。今若突然使小環(huán)沿圓圈的切線方向有一速度。試證明圓圈將不發(fā)生轉(zhuǎn)動，而圓心則繞體系的持贈作等速圓周運(yùn)動。證明：設(shè)圓圈半徑為，以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如右圖所示，且依質(zhì)心定理有。由于沖量作用在圓圈切線方向，故：。即質(zhì)心不動。當(dāng)繞轉(zhuǎn)過時，有：并代入得：得：即圓圈中心C作圓周運(yùn)動。由于小環(huán)動時不受切向力作用，故：而： 得：即得：為勻速圓周運(yùn)動，而依動量守恒知圓圈無轉(zhuǎn)動。14 一長為的勻質(zhì)鏈條，縣掛于釘在墻上的光滑釘子上。開始時，掛在釘子兩邊的鏈條長度相同，處在平衡狀態(tài)，后因微小擾動，鏈條自一邊滑下。耱在鏈條完全脫離釘子的時刻，鏈條的速度大小。解：依機(jī)械能守恒可得： ，故：15長為的勻質(zhì)鏈條，伸直地平放在光滑水平桌面上，鏈條與桌面的邊緣垂直。初始時，鏈條的一半從桌面下垂，鏈條的一半從桌面下垂，但處在靜止?fàn)顟B(tài)。求此鏈條的的末端滑到桌子邊緣時，鏈條的速度大小。解：同上題：，得： 16質(zhì)量為面積為的圓盤，盤心受一與平面垂直的恒力的作用，同時有一股體密度為的塵土以恒定的速度迎面而來，與盤面相遇的塵土皆粘于盤面上。已知圓盤的初速度為零。求時刻圓盤的速度及圓盤移動過的距離。解：取方向?yàn)?，即：，則依變質(zhì)量動力方程： 得：而：求導(dǎo)得：將代入得：可化為：積分并代入初始條件得：再積分得（并代入時，）：代入式可得： 第五章 剛體力學(xué)解題演示如上圖所示.第六章 分析力學(xué)滾滾長江東逝水，浪花淘盡英雄。達(dá)朗貝爾，拉格朗日，哈密頓等許多前賢相聚于此“力學(xué)論劍”，其“沖擊波”使非線性問題也不攻自破。長江后浪推前浪，你也許在此可以更加“得意忘形。微分方程將叱咤風(fēng)云。要點(diǎn)分析與總結(jié)1虛功原理：（平衡時）理想條件下，力學(xué)系的平衡條件是各質(zhì) 點(diǎn)上的主動力所作的虛功之和為零： 用廣義坐標(biāo)來表述： 2達(dá)朗貝爾原理（動力學(xué)下的虛功原理）： 析，均是在時間未變化（）時所設(shè)想的量，而廣義坐標(biāo)可以是角度，長度或其它的獨(dú)立的坐標(biāo)變量。3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏數(shù) 方程為： 若拉氏數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)，則：即 循環(huán)積分： 4微振動非線性系統(tǒng)在小角度近似下，對拉氏方程的應(yīng)用5哈密頓函數(shù)與正則方程（1） 哈密頓函數(shù) 式中為廣義坐標(biāo)動量（2） 正則方程 若哈氏函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)，則：即：循環(huán)積分 在穩(wěn)定條件下（H中不顯含），則有能量積分：6泊松括號 7哈密頓原理與正則變換（1）哈密頓原理保守力系下：定義：為主函數(shù)（3） 正則變換通過某種變數(shù)的變換，找到新的函數(shù)，使正則方程的形式不變（相當(dāng)于坐標(biāo)變換）。新的正則變量： 正則變換的條件： 依上亦可得： 為母函數(shù)，當(dāng) ，不顯含時，以上條件等于：析：正則變換妙在不解方程而使問題出解?！暗靡馔巍钡綐O點(diǎn)了。解題演示1 一長為質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，斜靠在固定的半球形碗的邊緣，一端置于碗內(nèi)，如圖。已知碗是光滑的，半徑為；棒在碗內(nèi)的長度為 。用虛功原理證明棒的全長為。解：如右圖所示，取定。依幾何關(guān)系知：依余弦定理：知：桿的勢能：因靜平衡，應(yīng)用虛功原理得：得：兩邊平方并代入可解得：2 用繩子等距離地在定點(diǎn)O處懸掛兩個相同的勻質(zhì)球，兩球之上另放置一相同的球體，如圖。已知分別懸掛兩球的繩長都是。用虛功原理求出角與角之間的關(guān)系。 解：依受力分析知且： 則：依虛功原理達(dá)到平衡時有： 可得： 3 用輕質(zhì)橡皮圈捆扎三個置于光滑水平桌面上的相同球體，捆扎的高度與還需心的高度相同。將第四個同樣的球體置于三球之上。由虛功原理求出橡皮圈中的張力。已知每個球體的重量為。解：如右圖所示。取三個桌面上球的球心所在面，及四球心立體結(jié)構(gòu)可分析得：皮周長：依虛功原理：則依： 代入： 得：4 一彈性繩圈，它的自然長度為，彈性系數(shù)為，單位長度質(zhì)量（線密度）為。將此彈性圈套在一半徑為的光滑球面上，彈性圈因自重而下滑。用虛功原理法語出平衡時彈性繩圈對球心所張的角度為應(yīng)滿足的方程。解：易知：繩伸長量 以O(shè)為參照點(diǎn)，高度為： 化簡得：5 一半徑為的半球形碗內(nèi)裝有兩個質(zhì)量分別為和的球體，它們的半徑同為（）。用虛功原理求出這兩個球體在碗中平衡時它們的連心線與水平線間的夾角解：如右圖所示，以o為參照點(diǎn)，取， 與水平線角為。則有： 則： 代入 得： 6 一輕桿長為，一端光滑鉸鏈于固定點(diǎn)O，另一端點(diǎn)及中點(diǎn)分別焊接有質(zhì)量為和的小球。桿可在鉛直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)擺動。寫出此力學(xué) 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，并求出其作微小擺動時的周期。解：以O(shè)為參照點(diǎn)，取桿與豎直方向夾角為。則有： 拉氏函數(shù)： 解拉氏方程：微振動，取近似， 得： 積分： （A，B為積分常數(shù)）則：7 一半徑為質(zhì)量為的圓柱形轱轆，其軸線沿水平方向。轱轆上繞有長為的輕繩，繩的自由端系一質(zhì)量為的重物。初始時繩子完全繞在轱轆上，體系靜止。爾后重物下落帶動轱轆轉(zhuǎn)動。寫出此力學(xué)系列化的拉格朗日函數(shù)，并求出繩子完全釋放時轱轆轉(zhuǎn)動角速度的大小。解：如右圖，取為轉(zhuǎn)過的角度，為下降的距離。有：。取O為參照點(diǎn)： 則： 得： 積分得：當(dāng)完全釋放（）時：8 上題中，如果繩子具有彈性，彈性勢能為，為繩子的伸長證明重物的運(yùn)動為維持恒定的加速運(yùn)動上附加一角頻率為的振動。其中。求出此種振動的振幅。設(shè)初始時繩子完全繞在轱轆上，體系靜止，爾后釋放解：參數(shù)同上題，則可得:;則： 可得：即： 積分得： 式中 故： 即得恒定加速度值：振動角頻率： 振幅：9 力學(xué)系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤，半徑為質(zhì)量為。懸掛的重物質(zhì)量分別為和，且。初始時系統(tǒng)靜止（1）導(dǎo)出此力學(xué)系列化的運(yùn)動微分方程；（2）分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離之間的關(guān)系。解：如右圖。依幾何關(guān)系知：得：取作廣義坐標(biāo)有： 可得： 可得：即得系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程：再對其進(jìn)行第一積分：可積得：10 一質(zhì)量為，半徑為的小圓住體，置于一半徑為R的大圓柱面的內(nèi)側(cè)作純滾動。寫出小圓柱體的拉格朗日函數(shù)，并求出在最低點(diǎn)附近小圓柱體作微小振動時的周期解：以O(shè)為參照點(diǎn)： 則： 得：即：11 一質(zhì)量為，半徑為的小圓柱體，放在半徑為的另一大圓柱體上，大圓柱體則置于粗糙的水平面上。兩柱體的軸相互平等，質(zhì)心在同一豎直平面內(nèi)，初始時力學(xué)系統(tǒng)靜止。若以初始時大圓柱體的質(zhì)心為固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，證明此后的任意時刻小圓柱體的質(zhì)心坐標(biāo)為 解：由于純滾動則：得： 有： 則：得： 所以： 點(diǎn)評：其實(shí)此類題用能量變分法有時更簡單（對或關(guān)于變量的變分為零）。此題中：。12 小球1和小球2的質(zhì)量分別為和，用繩子相連，繩子穿過光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上運(yùn)動，小球2則垂直懸掛在桌面下。寫出此力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)和所有的第一積分。設(shè)繩長為。解：設(shè)到孔的距離為。以孔為參照點(diǎn)有： （此式中用到） （1）L中不含積分，循環(huán)積分：（2）能量表達(dá)式中不含，能量積分： 13 長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，兩端分別用長都為的輕繩垂直懸掛。今若突然將其中一根繩子剪斷，用拉格朗格日方程求出棒下落的運(yùn)動微分方程。解：參量及坐標(biāo)如右圖所示。則： 故： 得拉氏方程：微分方程為：14 一半徑為，質(zhì)量為的圓環(huán)，用三根長度都為的無彈性輕繩在等弧點(diǎn)處水平懸掛，成一扭擺，如圖所示。求此扭擺繞中心鉛直軸扭轉(zhuǎn)的微振動周期T。解：易分析得： （用到） 得： 15 如圖所示的耦合擺，若兩擺錘的質(zhì)量不同，分別為和。求此耦合擺的本征頻率。初始條件為時，僅第一個擺有微小偏移，求第二個擺可能達(dá)到的最大擺幅。當(dāng)?shù)诙€擺的擺動最大時，第一個擺的擺幅是否為零？解： 經(jīng)泰勒展開：關(guān)于與的拉氏方程為：令 代入得： ，有解的條件：可解出：且：。則與通解為： 式中代入時，可解出： 且令：則：第二個擺的最大擺幅： 此時：則有：16 擺長為，擺捶質(zhì)量為的兩個相同單擺串接成為一個雙擺，如圖。求此雙擺在鉛直平面內(nèi)作微振動時的各個本征頻率。解：易知： （，如右圖）則： 可得拉氏方程：設(shè)：可得：有非零解條件：易得：所有本征頻率為： 17 兩質(zhì)量為和另一個質(zhì)量為的球體用兩根勁度系數(shù)都為的輕質(zhì)彈簧沿一直線串接，如圖.求出體系的微振動本征頻率解:取彈簧所在方向建立坐標(biāo)系，且取參量如右圖。有： 依振動特點(diǎn)，取簡正坐標(biāo)：代入上式得： 得拉氏方程： 設(shè)得： 方程有非零解的條件：可解得： 18 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在一光滑錐面的內(nèi)壁上運(yùn)動。錐體的半頂角為，錐體口朝上。以質(zhì)點(diǎn)離錐體頂點(diǎn)的距離及圍繞錐體軸線轉(zhuǎn)動的角度為廣義坐標(biāo)，寫出質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函數(shù)；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞錐體軸轉(zhuǎn)動的角速度為多大時，可以繞軸作穩(wěn)定的圓周運(yùn)動？解：此系統(tǒng)為保守系，參照如右圖所示。則： 定義廣義動量：得： 則： 得： 聯(lián)： 當(dāng)穩(wěn)定時：，此時：代入：可解得： 19 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在三維勢場中運(yùn)動。以球坐標(biāo)，和為質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，寫出此質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函數(shù)。哪些廣義坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)？并寫出相應(yīng)的循環(huán)積分。解：如右圖取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，取參數(shù)如圖.則: 則:哈密頓函數(shù)為:廣義動量坐標(biāo):得： 代入H得：上式中不含，故為循環(huán)坐標(biāo)故： 20 寫出對稱陀螺絲繞其頂點(diǎn)O作定點(diǎn)運(yùn)動的哈密頓量。設(shè)陀螺關(guān)于對稱軸及橫軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為I,.質(zhì)心離項(xiàng)點(diǎn)的距離為.解:依題參數(shù)如右圖則有:則: 可得: 則：21 力學(xué)量A，B和C都是體系正則變量的函數(shù)，證明它們的泊松括號存在如下關(guān)系： ； 解：證明：（1） （2） （3） 22 證明，任何正則變量的函數(shù)，存在如下關(guān)系： 證明：（1） 得： （2） 得：23 證明一質(zhì)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位矢，動量和角動量的直角坐標(biāo)分量存在如下關(guān)系： ； ； ； ； ； ： 證明：可得：（1） （2） （3） 24 試問變換是正則變換嗎？ 解：因?yàn)椋簞t：即：是正則變換25 取母函數(shù)，求出正則變換關(guān)系。 解： 26 試證變換為一正則變換。 證明： 27 證明，變換關(guān)系為一正則變換。 證明：依，可得： 28 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)豎直上拋，寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的哈密頓函數(shù)。利用母函數(shù)作正則變換，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。其中為質(zhì)點(diǎn)上拋的距離，為“新廣義坐標(biāo)”；在初始時刻。解： 則： 得： 定義新的哈氏函數(shù)得： 則有： 積分得： （A，B為常數(shù)） 代入原哈氏函數(shù)得：代入時。 即可得：