河北省邯鄲四中2013屆高考數(shù)學復(fù)習兩直線的位置關(guān)系典型例題 典型例題一例1 已知，求點的坐標，使四邊形為等腰梯形分析：利用等腰梯形所具備的性質(zhì)“兩底互相平行且兩腰長相等”進行解題解：如圖，設(shè)，若，則，即由、解得若，則即由、式解得故點的坐標為或說明：(1)把哪兩條邊作為梯形的底是討論的標準，解此題時注意不要漏解(2)在遇到兩直線平行問題時，一定要注意直線斜率不存在的情況此題中、的斜率都存在，故不可能出現(xiàn)斜率不存在的情況典型例題二例2當為何值時，直線與直線互相垂直？分析：分類討論，利用兩直線垂直的充要條件進行求解或利用結(jié)論“設(shè)直線和的方程分別是，則的充要條件是”（其證明可借助向量知識完成）解題解法一：由題意，直線(1)若，即，此時直線，顯然垂直；(2)若，即時，直線與直線不垂直；(3)若，且，則直線、斜率、存在，當時，即，.綜上可知，當或時，直線解法二：由于直線，所以，解得故當或時，直線說明：對于本題，容易出現(xiàn)忽視斜率存在性而引發(fā)的解題錯誤，如先認可兩直線、的斜率分別為、，則，由，得，即解上述方程為從而得到當時，直線與互相垂直上述解題的失誤在于機械地套用兩直線垂直（斜率形式）的充要條件，忽視了斜率存在的大前提，因而失去對另一種斜率不存在時兩直線垂直的考慮，出現(xiàn)了以偏概全的錯誤典型例題三例3 已知直線經(jīng)過點，且被兩平行直線和截得的線段之長為5，求直線的方程分析：(1)如圖，利用點斜式方程，分別與、聯(lián)立，求得兩交點、的坐標（用表示），再利用可求出的值，從而求得的方程(2)利用、之間的距離及與夾角的關(guān)系求解(3)設(shè)直線與、分別相交于、，則可通過求出、的值，確定直線的斜率（或傾斜角），從而求得直線的方程解法一：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時與、的交點分別為和，截得的線段的長，符合題意，若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為解方程組得，解方程組得由，得解之，得，即欲求的直線方程為綜上可知，所求的方程為或解法二：由題意，直線、之間的距離為，且直線被平等直線、所截得的線段的長為5（如上圖），設(shè)直線與直線的夾角為，則，故由直線的傾斜角為135°，知直線的傾斜角為0°或90°，又由直線過點，故直線的方程為或解法三：設(shè)直線與、分別相交、，則：，兩式相減，得又聯(lián)立、，可得或由上可知，直線的傾斜角分別為0°或90°故所求直線方程為或說明：本題容易產(chǎn)生的誤解是默認直線的斜率存在，這樣由解法一就只能得到，從而遺漏了斜率不存在的情形一般地，求過一定點，且被兩已知平行直線截得的線段為定長的直線，當小于兩平行直線之間距離時無解；當時有唯一解；當時，有且只有兩解另外，本題的三種解法中，解法二采取先求出夾角后，再求直線的斜率或傾斜角，從方法上看較為簡單；而解法三注意了利用整體思想處理問題，在一定程度上也簡化了運算過程典型例題四例4 已知點，點在坐標軸上，且，則滿足條件的點的個數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：點在坐標軸上，可有兩種情況，即在軸或軸上，點的坐標可設(shè)為或由題意，直線與直線垂直，其斜率乘積為1，可分別求得或2，或4，所以滿足條件的點的坐標為（0，0），（2，0），（0，4）說明：本題還可以有另外兩種解法：一種是利用勾股定理，另一種是直角三角形斜邊與軸交點恰為斜邊中點，則由到、距離相等的性質(zhì)可解本題易錯，可能只解一個坐標軸；可能解方程時漏解；也可能看到、各有兩解而誤以為有四點典型例題五例5 已知的一個定點是，、的平分線分別是，求直線的方程分析：利用角平分線的軸對稱性質(zhì)，求出關(guān)于，的對稱點，它們顯然在直線上解：關(guān)于，的對稱點分別是和，且這兩點都在直線上，由兩點式求得直線方程為典型例題六例6 求經(jīng)過兩條直線和的交點，并且垂直于直線的直線的方程解一：解得兩直線和的交點為（，），由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進而所求直線方程為解二：設(shè)所求直線方程為，將所求交點坐標（，）代入方程得，所以所求直線方程為解三：所求直線過點（，），且與直線垂直，所以，所求直線方程為 即 解四：設(shè)所求直線得方程為 即 （1） 由于該直線與已知直線垂直 則 解得 代入（1）得所求直線方程為典型例題七例7 已知定點（3，1），在直線和上分別求點和點，使的周長最短，并求出最短周長CAxCNOyBM圖1分析：由連接兩點的線中，直線段最短，利用對稱，把折線轉(zhuǎn)化為直線，即轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離解：如圖1，設(shè)點關(guān)于直線和的對稱點分別為， 又周長最小值是： 由兩點式可得方程為： 而且易求得：（，），（，0），此時，周長最短，周長為典型例題八例8 已知實數(shù)，滿足，求證：解：本題的幾何意義是：直線上的點（，）與定點的距離的平方不小于因為直線外一點與直線上任一點連線中，垂線段距離最短，而垂線段的長度即距離，所以，即說明：本題應(yīng)為不等式的題目，難度較大，證明方法也較多，但用解析幾何的方法解決顯得輕松簡捷，深刻地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想典型例題九 例9 在平面直角坐標系中，點在上，試在軸的正半周上求一點，使取得最大值分析：要使最大，只需最大，而是直線到直線的角（此處即為夾角），利用公式可以解決問題xCOBAy圖2解：如圖2，設(shè)點，于是直線、的斜率分別為：， 當且僅當即，點的坐標為（，0），由可知為銳角，所以此時有最大值說明：本題綜合性強，是三角、不等式和解析幾何知識的交匯點另外本題也是足球射門最大角問題的推廣為了更好地理解問題，可以演示用“幾何畫板”制作的課件.典型例題十例10直線，求關(guān)于直線對稱的直線的方程分析：本題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類利用直線方程的不同形式求解；另一類采用消元思想進行求解解法一：由得與的交點為，顯見也在上設(shè)的斜率為，又的斜率為-2，的斜率為，則，解得故的直線方程為即解法二：在直線上取一點，又設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則解得故由兩點式可求得直線的方程為解法三：設(shè)直線上一動點關(guān)于直線的對稱點為，則解得，顯然在上，即，也即這便是所求的直線的方程解法四：設(shè)直線上一動點，則關(guān)于的對稱點在直線上，可設(shè)的坐標為，則即消去，得，即此所求的直線的方程說明：在解法一中，應(yīng)注意正確運用“到角公式”，明確由哪條直線到哪條直線的角在具體解題時，最好能準確畫出圖形，直觀地得出關(guān)系式在解法四中，脫去絕對值符號時，運用了平面區(qū)域的知識否則，若從表面上可得到兩種結(jié)果，這顯然很難準確地得出直線的方程本題的四種不同的解法，體現(xiàn)了求直線方程的不同的思想方法，具有一定的綜合性除此之外，從本題的不同解法中可以看出，只有對坐標法有了充分的理解與認識，并具有較強的數(shù)形結(jié)合意識，才有可能駕馭本題，從而在解法選擇的空間上，真正做到游刃有余，左右逢源典型例題十一例11不論取什么實數(shù)，直線都經(jīng)過一個定點，并求出這個定點分析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母，給任何一個實數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以為參數(shù)的直線系方程要證明這個直線系的直線都過一定點，就是證明它是一個共點的直線系，我們可以給出的兩個特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點即是直線系中任何直線都過的定點另一思路是由于方程對任意的都成立，那么就以為未知數(shù)，整理為關(guān)于的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個解的條件求得定點的坐標解法一：對于方程，令，得；令，得解方程組得兩直線的交點為將點代入已知直線方程左邊，得：這表明不論為什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點解法二：將已知方程以為未知數(shù)，整理為：由于取值的任意性，有，解得，所以所給的直線不論取什么實數(shù)，都經(jīng)過一個定點說明：(1)曲線過定點，即與參數(shù)無關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(2)分別令參數(shù)為兩個特殊值，得方程組求出點的坐標，代入原方程滿足，則此點為定點典型例題十二例12一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框旋置桌上，斜靠展出已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A角為()鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距、()，學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？分析：建立如圖所示的直角坐標系，為鏡框邊，為畫的寬度，為下邊緣上的一點，則可將問題轉(zhuǎn)化為：已知，在軸的正方向向上求一點，使取最大值因為視角最大時，從理論上講，看畫的效果最佳（不考慮其他因素）解：設(shè)點坐標為()，從三角函數(shù)定義知、兩點坐標分別為、，于是直線、的斜率分別為，于是，即由于是銳角，且在上，則：，當且僅當，即時，等號成立，此時取最大值，對應(yīng)的點為，因此，學生距離鏡框下緣處時，視角最大，即看畫效果最佳說明：解決本題有兩點至關(guān)重要：一是建立恰當?shù)淖鴺讼?，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉(zhuǎn)化成求的最大值如果坐標系選擇不當，或選擇求的最大值，都將使問題變得復(fù)雜起來本題是一個非常實際的數(shù)學應(yīng)用問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及三角知識的結(jié)合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力典型例題十三例13知實數(shù)，滿足，求的最小值分析：本題可使用減少變量法和數(shù)形結(jié)合法兩種方法：可看成點與之間的距離解：(法1)由得()，則，的最小值是2.(法2)實數(shù)，滿足，點在直線上而可看成點與點之間的距離(如圖所示)顯然的最小值就是點到直線的距離：，的最小值為2說明：利用幾何意義，可以使復(fù)雜問題簡單化形如的式子即可看成是兩點間的距離，從而結(jié)合圖形解決典型例題十四例14直線是中的平分線所在的直線，且，的坐標分別為，求頂點的坐標并判斷的形狀分析：“角平分線”就意味著角相等，故可考慮使用直線的“到角”公式將“角相等”列成一個表達式解：(法1)由題意畫出草圖（如圖所示）點在直線上，設(shè)，則，由圖易知到的角等于到的角，因此這兩個角的正切也相等，解得的坐標為，是直角三角形(法2)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則必在直線上以下先求由對稱性可得解得，直線的方程為，即由得，是直角三角形說明：(1)在解法1中設(shè)點坐標時，由于在直線上，故可設(shè)，而不設(shè)，這樣可減少未知數(shù)的個數(shù)(2)注意解法2中求點關(guān)于的對稱點的求法：原理是線段被直線垂直平分典型例題十五例15兩條直線，求分別滿足下列條件的的值(1) 與相交； (2) 與平行； (3) 與重合；(4) 與垂直； (5) 與夾角為分析：可先從平行的條件(化為)著手解：由得，解得，由得(1)當且時，與相交；(2)當時，；(3)當時，與重合；(4)當，即，時，；(5) ，由條件有將，代入上式并化簡得，；，當或-5或3時與夾角為說明：由解得或，此時兩直線可能平行也可能重合，可將的值代入原方程中驗證是平行還是重合當時兩直線一定相交，此時應(yīng)是且典型例題十六例16點，和，求過點且與點，距離相等的直線方程分析：可以用待定系數(shù)法先設(shè)出直線方程，再求之；也可從幾何意義上考察這樣的直線具有的特征解：(法1)設(shè)所求直線方程為，即，由點、到直線的距離相等得：化簡得，則有：或，即或方程無解方程無解表明這樣的不存在，但過點，所以直線方程為，它與，的距離都是3所求直線方程為或(法2)設(shè)所求直線為，由于過點且與，距離相等，所以有兩種情況，如下圖：(1)當，在同側(cè)時，有，此時可求得的方程為，即；(2)當，在異側(cè)時，必過中點，此時的方程為所求直線的方程為或說明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉，即斜率不存在的情況所以無論解什么題目，只要圖形容易畫出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代數(shù)法、幾何法配合來解典型例題十七例17經(jīng)過點且與直線平行的直線的方程分析：已知直線與直線平行，故的斜率可求，又過已知點，利用點斜式可得到的方程另外由于與已知直線平行，利用平行直線系方程，再由已知點，也可確定的方程解法一：由已知直線，知其斜率又由與直線平行，所以直線的斜率又由直線經(jīng)過已知點，所以利用點斜式得到直線的方程為：，即解法二：因為直線平行于直線，所以可設(shè)直線的方程為又點在直線上，所以，解得故直線的方程為說明：解法二使用的是平行直線系，并用了待定系數(shù)法來解典型例題十八例18過點且與直線垂直的直線的方程分析：已知直線與直線垂直，故的斜率可求，又過已知點，利用點斜式可得到的方程另外由于與已知直線垂直，利用垂直直線系方程，再由已知點，也可確定的方程解法一：由直線，知其斜率又由與直線垂直，所以直線的斜率又因過已知點，利用點斜式得到直線的方程為，即解法二：由直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為：又由直線經(jīng)過已知點，有解得因此直線的方程為說明：此題的解二中使用垂直直線系方程，并使用了待定系數(shù)法典型例題十九例19知直線經(jīng)過兩條直線與的交點，且與直線的夾角為，求直線的方程分析：先求與的交點，再列兩條直線夾角公式，利用與夾角為，求得的斜率也可使用過兩直線交點的直線系方程的方法省去求交點的過程，直接利用夾角公式求解解法一：由方程組解得直線與的交點于是，所求直線的方程為又由已知直線的斜率，而且與的夾角為，故由兩直線夾角正切公式，得，即有，當時，解得；當時，解得故所求的直線的方程為或，即或解法二：由已知直線經(jīng)過兩條直線與的交點，則可設(shè)直線的方程為，（*）即又由與的夾角為，的方程為，有，即，也即，從而，解得，代入（*）式，可得直線的方程為或說明：此題用到兩直線的夾角公式，注意夾角公式與到角公式的區(qū)別。解法二還用到了過兩相交直線的交點的直線系方程，用它可以省去求交點的過程，但不一定這樣的運算就簡單，還要根據(jù)具體題目選擇合適的方法。典型例題二十例20直線，一束光線過點，以的傾斜角投射到上，經(jīng)反射，求反射線所在直線的方程分析：此題解法很多如圖，入射線與交于點，則點的坐標易得求反射線的方程只缺少一個條件，尋求這個條件的主要思路有：思路一：已知的傾斜角為，入射線的傾斜解為，可由三角形外角定理得到反射線的傾斜角思路二：如圖，由光線的反射定律可知，到的角等于到反射線的角，可得到反射線的斜率思路三：由光的反射性質(zhì)，可知反射線所在直線除經(jīng)過點外，還經(jīng)過點關(guān)于的對稱點，求得的坐標，反射線方程也可求得思路四：由直線為入射線和反射線所在直線交角的平分線，上任意一點到入射線和反射線的距離相等，也可求得反射線的斜率思路五：可求得，直線為，入射線和反射線關(guān)于對稱，利用反函數(shù)性質(zhì)，由入射線的方程可以求出反射線的方程解法一：由已知入射線的傾斜角為，其斜率為，又入射線過點，所以入射線所在直線的方程為：解方程組得交點又因的傾斜角為，入射線的傾斜角，所以入射線與的夾角為于是據(jù)外角定理，即反射線所在直線的斜率為故反射線所在直線的方程為，即：解法二：由已知可得，設(shè)反射線的斜率為，則由入射線到的角等于到反射線的角，可得，即解得以下求出點坐標，再由點斜式得反射線所在直線的方程（略）解法三：由已知得入射線所在直線方程為，再與直線的方程聯(lián)立得交點利用關(guān)于直線對稱點的知識，求得點關(guān)于的對稱點又由反射線所在直線過與兩點，它的方程為，即：解法四：可求得入射線所在直線方程為，即，入射線與交點為于是可設(shè)反射線所在直線的方程為：，即由于直線為入射線與反射線夾角的平分線，則上的任一點到它們的距離相等，于是在上取點，有：所以，即故，（等于入射線斜率，舍去）于是反射線的方程為：，即解法五：由點，得直線的方程為又因入射線與反射線所在直線關(guān)于對稱，點關(guān)于直線對稱的點的坐標為由于反射線所在直線經(jīng)過與兩點，所以它的方程為：，即典型例題二十一例21已知直線，試求：(1)點關(guān)于直線的對稱點坐標；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；(3)直線關(guān)于點的對稱直線方程分析：對稱問題可分為四種類型：點關(guān)于點的對稱點；點關(guān)于直線的對稱點；直線關(guān)于直線的對稱直線；直線關(guān)于點的對稱直線對于利用中點坐標公式即可對于需利用“垂直”“平分”兩個條件若在對稱中心（軸），及一個曲線方程已知的條件下給出，則通常采取坐標轉(zhuǎn)移法，其次對于對稱軸（中心）是特殊直線，如：坐標軸、直線，采取特殊代換法，應(yīng)熟練掌握解：(1)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在對稱軸上，且解之得：即坐標為(2)直線關(guān)于直線對稱的直線為，則上任一點關(guān)于的對稱點一定在直線上，反之也成立由得把代入方程并整理，得：即直線的方程為(3)設(shè)直線關(guān)于點的對稱直線為，則直線上任一點關(guān)于點的對稱點一定在直線上，反之也成立由得將代入直線的方程得：直線的方程為說明：本題是求有關(guān)對稱點、對稱直線的問題，主要用到中點坐標公式和直線垂直的斜率關(guān)系典型例題二十二例22已知直線和兩點、(1)在上求一點，使最小；(2)在上求一點，使最大分析：較直接的思路是：用兩點間的距離公式求出的表達式，再求它的最小值這樣計算量太大也不可行我們可以求出關(guān)于直線的對稱點，從而將轉(zhuǎn)化為，從而當、三點共線時，才最小，對于最大也可以利用這樣的方法解：(1)如圖，設(shè)關(guān)于的對稱點為則，的的是，與的交點是，故所求的點為(2)如下圖，是方程，即代入的方程，得直線與的交點，故所求的點為說明：本例利用求對稱點的方法巧妙地求出了所求點的坐標典型例題二十四例24 已知點，和直線，求一點使，且點到的距離等于2分析：為使（如圖），點必在線段的垂直平分線上，又點到直線的距離為2，所以點又在距離為2的平行于的直線上，求這兩條直線的交點即得所求點解：設(shè)點的坐標為，的中點的坐標為又的斜率的垂直平分線方程為，即而在直線上又已知點到的距離為2點必在于平行且距離為2的直線上，設(shè)直線方程為，由兩條平行直線之間的距離公式得：或點在直線或上或由得：，或，點或為所求的點說明：在平面幾何中，常用交軌法作圖得點的位置，而在解析幾何中，則是將直線用方程來表示，用求方程組的解的方式來求得點的坐標這是解析法的重要應(yīng)用，也是其方便之處24