第九章 重積分 §1二重積分的概念與性質(zhì) 1． 根據(jù)重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小. 與， 其中積分區(qū)域是： (1)以，，為頂點的三角形區(qū)域； 解：在以，，為頂點的三角形區(qū)域內(nèi)顯然有 故在三角形區(qū)域內(nèi)即， 3 5 1 故 (2)矩形區(qū)域：. 解：矩形區(qū)域：內(nèi)顯然有 故在矩形區(qū)域內(nèi)即， 故 2．利用二重積分的性質(zhì)，估計下列積分的值. （1），其中是矩形區(qū)域：； 解：在矩形區(qū)域：內(nèi)， 故，即： 得 （2），其中. 解：在中， ，即 得 2． 設(shè)是平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)。證明若在上非負(fù)，且，則在上 證明：若不恒為零，則不妨設(shè)有內(nèi)點使得， 由在連續(xù)得， 故對，存在的某個領(lǐng)域，使得有 即在上。故 其中為的面積。 這與矛盾，故在上 §2 二重積分的計算 1．畫出下列積分區(qū)域的草圖，并將區(qū)域分別用不等式表示為型區(qū)域以及型區(qū)域的形式. 1 -1 （1）由直線：圍成； 型區(qū)域 2 型區(qū)域 （2）由曲線圍成； 型區(qū)域 1 2 1 2 型區(qū)域 （3）由圍成； 型區(qū)域,型區(qū)域 （4）. X-型區(qū)域； Y-型區(qū)域，其中， 2．計算下列二重積分 （1），由，所圍成； 解：法一。 法二 1 1 -11 -1 （2），； 解： 3 1 1 -1 （3），由曲線與所圍成； 解： 法二：關(guān)于軸對稱，函數(shù)即關(guān)于是偶函數(shù)。 故，其中 （4）， . 解： 記住公式： （5），由，和所圍成； 1 2 解：； 3．化二重積分為兩種不同積分次序的二次積分，其中積分區(qū)域為： 4 4 （1）由所圍成的閉區(qū)域； 型區(qū)域，故= 型區(qū)域，故= （2）由軸及上半圓周所圍成的閉區(qū)域； 型區(qū)域，故= 型區(qū)域，故= （3）環(huán)形閉區(qū)域：. 型區(qū)域 故= 型區(qū)域 故= 1 1 （的極坐標(biāo)為故） 4．計算下列二次積分 （1）； 解：設(shè)，則 1 2 4 （2）. 解：設(shè)，則 1 2 5．改變下列二次積分的積分次序. （1）； 解：設(shè) = = （2） 6 4 2 解：設(shè) = = 6．如果二重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)與的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域為矩形區(qū)域：，證明二重積分等于兩個定積分的乘積，即 證明：. 7．把二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分，其中積分區(qū)域分別為： 4 （1）； 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = （2）； 1 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = （3）. 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = 8．計算下列二重積分 (1)，其中是圓域在第一象限部分； 分析用極坐標(biāo)表示簡單，且被積函數(shù)為的函數(shù)，選擇極坐標(biāo)計算。 解：，則 (2)，由曲線所圍成的閉區(qū)域； 分析：雖然積分區(qū)域是圓域，但這個圓域用極坐標(biāo)表示較為困難。故直接用極坐標(biāo)不方便。（采用換元法） 解：令則 ， 其中由曲線所圍成的閉區(qū)域。 法一：利用對稱性 法二：利用極坐標(biāo) (3)，其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域. 解：，則 9．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列各題： 1 2 1 2 （1），其中是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域； 解：將寫成型區(qū)域，則 （2），由曲線以及直線圍成； 解：關(guān)于軸對稱，且被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，故。 （注意：若寫成極坐標(biāo)為 1 -1 2 2 ） （3），為矩形區(qū)域：； （提示考慮在定義域中添加輔助曲線，去除絕對值號） 解： D1 D2 a a 計算，令 令 故 10．設(shè)在上連續(xù)，證明： （提示：利用積分的性質(zhì)和題6的結(jié)論） 證明： 其中是如圖的正方形區(qū)域， (最后一個等式是根據(jù)定積分與積分記號無關(guān)) 故 （注：的證明 設(shè)， 同理：， 故） 11．設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且，證明： . （提示：利用定積分與積分變量的符號無關(guān)以及不等式） 證明：由有 其中，又 （根據(jù)定積分與積分記號無關(guān)） 則 §3 三重積分的計算 1． 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是： （用求圍定頂法時，最好結(jié)合圖形） （1） 由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：（若用求圍定頂法）在面圍不成閉區(qū)域，又 則在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域就是圍， 自然頂為 解 故= （2） 由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域； 分析：（若用求圍定頂法）， 在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域就是圍， 自然頂為。 是上半圓錐 解 故= （3） 由曲面及所圍成的閉區(qū)域； 分析：（若用求圍定頂法）， 在面橢圓圍成閉區(qū)域， 故這個區(qū)域就是圍，在時， 故頂為。 解 故 （4） 由曲面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 分析，在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域在第一卦限的區(qū)域就是圍， 自然頂為 解 故 2． 計算下列三重積分： （1），是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）為頂點的四面體； 解：點（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）確定的平面為 （2），是由曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域； 分析：在面不圍成閉區(qū)域，又，則 在面圍成閉區(qū)域，它就是圍。顯然為頂 解：，故 （3），為第一卦限內(nèi)的球面及三個坐標(biāo)面所圍成的閉區(qū)域； 分析：若采用球坐標(biāo)被積函數(shù)在球坐標(biāo)下表達(dá)式復(fù)雜，由與區(qū)域朝投影的投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示簡單，故對三重積分可采用柱坐標(biāo)。由，故極坐標(biāo)為 解：的采用柱坐標(biāo)為， 又故 （4），是由平面以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域； （提示：此題積分區(qū)域不易畫出，可根據(jù)給定區(qū)域的邊界曲面方程，直接確定積分變量的上、下限.若先對變量積分，與有關(guān)的曲面為和，故，其它變量類似.） 分析：，在在面圍成閉區(qū)域，故該閉區(qū)域是圍，顯然為頂 解：，故： （最后一個等號利用定積分的對稱性） （5），是由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：被積函數(shù)僅是的函數(shù)，且是圓域。故采用先二后一的方法。 解：是型， 其中是圓域的面積 3．如果三重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)、的函數(shù)以及的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域為長方體：，證明三重積分等于三個定積分的乘積，即 證明：由為長方體：， 4．利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分： （1），是由曲面及所圍成的閉區(qū)域； 分析：由， 即圍成的區(qū)域是圍，頂為 由：可得的柱坐標(biāo)： 。 解：的柱坐標(biāo)： ， 又由得 = （2），是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：由，即圍成的區(qū)域是圍， 頂為 由：可得的柱坐標(biāo)： 解：的柱坐標(biāo)：， 又得 5．利用球面坐標(biāo)計算下列三重積分 （1），是由曲面所圍成的閉區(qū)域； 解：由， 的球坐標(biāo)為，得 （2），是由和，所圍成的閉區(qū)域. 解：由， 的球坐標(biāo)為，得 6．選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分 （1），為柱面及平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域； 解： 的柱坐標(biāo)：， 由：得故： （2），是由與所圍成的閉區(qū)域； 解： （3） ； （提示：可考慮利用三重積分的對稱性） 接：關(guān)于面對稱，被積函數(shù)，即關(guān)于是奇函數(shù)。故 §4 重積分的應(yīng)用 1． 利用三重積分，計算下列曲面所圍成的立體的體積： （1）及； 解：由得，即， 故在面投影為：，故 （2）及； 解：由得，即， 故在面投影為：故 （3）及； 解：由得，即， 故在面投影為：，故 （4），及. 解：：是以為頂以為底的曲頂柱體。 2：在半徑為的球上打一半徑為的圓柱形穿心孔，孔中心軸為球直徑，求穿孔后球體剩余部分的體積.設(shè)孔壁高為，證明此體積僅與的值有關(guān). （提示：先建立空間直角坐標(biāo)系.） 解：以球心為原點，三條相互垂直的直徑所在直線為坐標(biāo)軸。 設(shè)挖掉部分的體積為，記，則 又，故， 所以剩余部分體積，僅與高度有關(guān)。 3求下列曲面的面積. （1） 球面含在柱面內(nèi)部的曲面面積； 解：設(shè)球面含在柱面在上面部分為，則 ，其中是面上所圍區(qū)域。 =，故 （2） 錐面被柱面所割下部分的曲面面積； 解：由得，故錐面被柱面所割下部分的曲面記為投影為在圍成區(qū)域記為，即 。 故 （3） 底圓半徑相等的兩個直交圓柱面及所圍立體的表面積. D y = 0 x SS= 0 R R x z y 0 解：在第一卦限顯然，故， 其中，為在所圍區(qū)域在第一卦限部分。 4：求平面圖形的形心，其中：.（注意是橢圓的第一卦限部分） 解： 5設(shè)密度為的均勻薄片所占區(qū)域為，求轉(zhuǎn)動慣量. ，其中為區(qū)域的第一卦限部分 6：密度為的均勻物體占有的閉區(qū)域由曲面和平面所圍成. （1） 求物體的體積； （2） 求物體的重心； （3） 求物體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量. 解：（1）閉區(qū)域是以曲面為頂，以區(qū)域為底的曲頂柱體， 其中由在圍成。故 （2）由對稱性可知道。 （3） 第九章 自測題 1．設(shè)把化為極坐標(biāo)形式的二次積分. 解： （這里理解為兩個圓域的公共部分） 2交換積分順序： （1）； 解：記， 故 （2）. 解：記， 故 3證明： （提示：交換積分次序.） 證明：記，。故： == 4．設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，求的極限.（提示：在極坐標(biāo)系下，將積分 轉(zhuǎn)化為關(guān)于的積分變限函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則.） 解： = 5．由與圍成的閉區(qū)域，計算. (提示：利用對稱性可簡化計算.) 解：關(guān)于面和面對稱，故 = （其中為在平面上 所圍區(qū)域） 6．計算三次積分 解：記，，則 = = 7．求曲面上點（1，1，3）處的切平面與曲面所圍立體的體積. 解：曲面上點（1，1，3）處的法向量為（2，2，-1）， 故切平面為 由得， 故在投影為在所圍區(qū)域記為 的頂為，故 = 令則變?yōu)?，其中由在圍? 8．設(shè)，是第一卦限中滿足的有界閉區(qū)域，試討論時的極限，有極限時，求出極限. （提示：在球坐標(biāo)系下，先計算出三重積分，再討論極限.） 解：由，，得 故當(dāng)時，；當(dāng)時， 9．設(shè)連續(xù)，，函數(shù) 其中及，求. （提示：在球坐標(biāo)系下，先將三重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于的積分變限函數(shù)，再求極限.） 解：由，，，得：