第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列研熱點（聚焦突破）類型一 等差、等比數(shù)列的基本運算例1(2012年高考山東卷)在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m，92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm.解析(1)因為an是一個等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，所以a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a13×9，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9m<an<92m，則9m8<9n<92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).跟蹤訓(xùn)練1(2012年皖北四市聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a14，公比為q，前n項和為Sn，若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列，則q()A2B2C3 D3解析：因為數(shù)列Sn2是等比數(shù)列，所以(S12)(S32)(S22)2，即6(64q4q2)(64q)2，即q(q3)0，q0，q3.答案：C2(2012年高考廣東卷)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_解析：利用等差數(shù)列的通項公式求解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a3a4，得12d(1d)24，d24，d±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，d2.an1(n1)×22n1.答案：2n1類型二 等差、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義證明an1an(nN*)為常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2)例2(2012年高考陜西卷)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的公比；(2)證明：對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3.由a10，q0得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)證明：證法一對任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1·(2)0，所以對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列證法二對任意kN，2Sk，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列an和bn滿足a1m，an1ann，bnan.(1)當(dāng)m1時，求證：對于任意的實數(shù)，數(shù)列an一定不是等差數(shù)列；(2)當(dāng)時，試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列解析：(1)證明：當(dāng)m1時，a11，a21，a3(1)222.假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，由a1a32a2，得232(1)，即210，3<0，方程無實根故對于任意的實數(shù)，數(shù)列an一定不是等差數(shù)列(2)當(dāng)時，an1ann，bnan.bn1an1(ann)an(an)bn，b1a1m.當(dāng)m時，數(shù)列bn是以m為首項，為公比的等比數(shù)列；當(dāng)m時，數(shù)列bn不是等比數(shù)列類型三 等差等比數(shù)列的性質(zhì)例3(1)(2012年高考福建卷)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4(2)(2012年高考廣東卷)若等比數(shù)列an滿足a2a4，則a1aa5_解析(1)解法一利用基本量法求解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得解得 d2.解法二利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解在等差數(shù)列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解數(shù)列an為等比數(shù)列，a2·a4a，a1·a5a.a1aa5a.答案(1)B(2)跟蹤訓(xùn)練(2012年高考安徽卷)公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5C6 D7解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式求解a3·a1116，a16.又等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.故選B.答案：B析典題（預(yù)測高考）高考真題【真題】(2012年高考天津卷)已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明：Tn8an1bn1(nN*，n2)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)得Tn2×25×228×23(3n1)×2n，2Tn2×225×23(3n4)×2n(3n1)×2n1.由，得Tn2×23×223×233×2n(3n1)×2n1(3n1)×2n12(3n4)×2n18，即Tn8(3n4)×2n1.而當(dāng)n2時，an1bn1(3n4)×2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.【名師點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、數(shù)列求和等知識，本題(2)中，解題的關(guān)鍵是利用錯位相減求和法準(zhǔn)確求出Tn，否則不會得出結(jié)論考情展望高考對等差、等比數(shù)列基本運算的考查一是在選擇、填空中考查，二是在解答題中求通項時進行考查，難度較低，注意方程思想與整體思想的運用名師押題【押題】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a35，S15225.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)設(shè)bn2an2n，求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an首項為a1，公差為d，由題意，得解得an2n1.(2)bn2an2n·4n2n，Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n·4nn2n.7