《數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念》 教學設計 -----高中人教A版選修2-2 王 海 艷 唐山市第六十二中學 [教材分析] 本章《數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念》是中學課程里數(shù)的概念的最后一次擴展.引入復數(shù)后,不僅可以使學生對數(shù)的概念有一個初步完整的認識,也為進一步學習數(shù)學奠定基礎.教材編寫的線索是：先將復數(shù)看成是有序實數(shù)對,然后學習復數(shù)代數(shù)形式的四則運算,最后介紹復數(shù)的幾何意義.本節(jié)是該章的基礎課、起始課,具有承上啟下的作用. [學情分析] 在學習本節(jié)之前,學生對數(shù)的概念已經擴充到實數(shù),也已清楚各種數(shù)集之間的包含關系等內容,但知識是零碎、分散的,對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認識與理性思考,知識體系還未形成.另一方面學生對方程解的問題會默認為在實數(shù)集中進行,缺乏嚴謹?shù)乃季S習慣. [三維目標] 知識與技能：了解數(shù)系的擴充過程；理解復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以與復數(shù)相等的條件 過程與方法：經歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴充的過程,體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,以與數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求,讓學生學會對事件歸納與認識的方法. 情感、態(tài)度與價值觀： 〔１〕培養(yǎng)學生分類討論、等價轉化等數(shù)學思想和方法； 〔２〕培養(yǎng)學生矛盾轉化、分與合、實與虛等辯證唯物主義觀點； 〔３〕感受人類理性思維的作用. [教學重點]復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以與復數(shù)相等的條件 [教學難點]數(shù)集擴充的必要性和過程 [教學設計] 激發(fā)求知欲 引導分析 形成新知 情境設置 例題分析 反饋練習 方法小結 例題擴展 數(shù)學 應用 整體思路 設計思想 知識來源于實際生活.教學中應注重把教材內容與生活實踐結合起來,加強數(shù)學教學的實踐性.本節(jié)課對知識結構進行創(chuàng)造性地"教學加工",教學方法上則采用"合作－探究"的模式,保證學生對知識的主動獲取,促進學生充分、和諧、自主、個性化發(fā)展. 媒體設計 本節(jié)課是概念課,要避免單一下定義再作練習模式,應努力使課堂元素更豐富,因此借助于多媒體課件配合教學,添加與教學內容匹配的圖片背景,激發(fā)學生的學習興趣；而例習題用媒體展示分析,則可以提高課堂教學效率. 設計特色 （１） 重視數(shù)學的人文價值.〔２〕知識建構采用合作探究模式. [教學過程] 一、創(chuàng)設情境,提出問題 回顧數(shù)的發(fā)展史：數(shù),是數(shù)學中的基本概念.到目前為止,我們學習了哪些數(shù)集？用符號表如何表示？它們之間有怎樣的包含關系？用圖示法可以如何表示〔投影〕 〔設計意圖：數(shù)集與之間關系的回顧,特別是"圖示法"的直觀表示,旨在幫助學生對"數(shù)系的擴充"有個初步感受〕 〔投影〕：自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系變化過程與"圖示法"表示數(shù)集之間的包含關系. 問題：今天的課題是什么？從剛才這張"圖示法"表示數(shù)集之間的包含關系的圖也可以看出數(shù)逐步發(fā)展壯大的過程.將實數(shù)繼續(xù)擴展,是不是就是今天要學的復數(shù)呢？所有的復數(shù)能不能構成新的集合呢？ 〔設計意圖：設置懸念,激發(fā)學生的學習積極性. 〕 二、學生活動,意義建構 互動探究點一　復數(shù)的概念 問題1　為解決方程x2—2=0,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 在有理數(shù)集中,方程無解,為此引入無理數(shù),數(shù)集擴充到實數(shù)集.從使得方程有解的角度來看,每一次數(shù)的概念的擴充有什么特征？〔新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎上"添加"了一種新的數(shù)得來的.〕如何使方程有解呢？ 〔設計意圖：通過一個簡單方程解的情況的"陷阱",培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度,同時通過如何使一系列方程解問題的"誘導",使學生不斷受到數(shù)的概念的擴充的"基本特征"的沖擊,形成思維定勢,從而使引入一個新數(shù)使方程有解的方法水到渠成,自然給出"虛數(shù)單位"的第一個"規(guī)定".〕 問題2　如何理解新引入的數(shù)i? 〔１〕〔2〕實數(shù)可以與 i 進行四則運算,在進行四則運算時,原有的加法與乘法的運算律<包括交換律、結合律和分配律>仍然成立.<3>由于i2＜0與實數(shù)集中a2≥0<a∈R>矛盾,所以實數(shù)集中很多結論在新的數(shù)集中不再成立． 〔學生自學課本,以填空形式完成問題3,問題4〕 問題3　復數(shù)與復數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢？<板書> 形如的數(shù),〔其中〕我們把它們叫做復數(shù).全體復數(shù)所組成的集合叫做復數(shù)集,記作C.復數(shù)通常用字母表示,即其中分別叫做復數(shù)的實部與虛部.這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式. 〔設計意圖：通過對數(shù)與數(shù)之間的運算特征的研究與歸納,建立復數(shù)的基本概念〕 問題4　什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？〔板書〕 〔1〕對于復數(shù)z＝a＋bi<a,b∈R>,當 b≠0 時叫做虛數(shù)； 〔2〕當a=0 , b≠0 時,叫做純虛數(shù)． 試試　請說出下列復數(shù)的實部和虛部,并判斷它們是實數(shù),虛數(shù)還是純虛數(shù)．〔口答〕 ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 〔設計意圖：鞏固復數(shù)的實部與虛部的概念與區(qū)分虛數(shù)、純虛數(shù).〕 問題5實數(shù)是復數(shù)嗎？何時為實數(shù)？復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關系 根據復數(shù)中的取值不同,復數(shù)可以有以下的分類：〔1〕 （２） 復數(shù)集C是實數(shù)集R的真子集 問題6 復數(shù)集,虛數(shù)集,實數(shù)集,純虛數(shù)集之間的關系？〔投影〕 〔設計意圖：鞏固復數(shù)集,虛數(shù)集,實數(shù)集,純虛數(shù)集概念〕 典題訓練1當實數(shù)m為何值時,復數(shù)z＝<m+1>＋<m－1>i為 <1>實數(shù)；<2>虛數(shù)；<3>純虛數(shù) 〔設計意圖：旨在明確復數(shù)的分類這一內容,特別要強調純虛數(shù)的條件〕 探究點二　兩個復數(shù)相等〔學生小組討論探究〕 問題7　兩個復數(shù)能否比較大小？ 問題8　兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？ 復數(shù)可以看成是關于的一次二項式,類比兩個二項式相等的意義,我們規(guī)定：兩個復數(shù)與相等,當且僅當它們的實部與虛部分別相等,記作 〔設計意圖：培養(yǎng)學生合作精神,轉化思想〕 典題訓練2已知x,y均是實數(shù),且滿足<2x－1>＋i＝－y－<3－y>i,求x與y. 〔設計意圖：對復數(shù)相等問題的研究,可讓學生體會、總結復數(shù)問題的一般的處理方法――實數(shù)化〕〔實物投影,與時更正學生錯誤〕 跟蹤訓練　已知＝<x2－2x－3>i<x∈R>,求x的值 〔設計意圖：與時鞏固、檢查課堂效果〕 課堂檢測〔限時5分鐘〕 1．已知復數(shù)z＝a2－<2－b>i的實部和虛部分別是2和3,則實數(shù)a,b的值分別是<　　>A．,1 B．,5C．±,5 D．±,1 2．下列復數(shù)中,滿足方程x2＋2＝0的是<　　> A．±1 B．±IC．±i D．±2i 3．如果z＝m<m＋1>＋<m2－1>i為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為<　　> A．1 B．0C．－1 D．－1或1 4.已知復數(shù)a+bi與3+〔4-k〕i相等,且a+bi的實部和虛部是方程x2-4x+3=0的兩根,試求a,b,k的值. 5．實數(shù)m為何值時,復數(shù)z＝＋<m2＋2m－3>i是<1>實數(shù)；<2>虛數(shù)；<3>純虛數(shù) 〔設計意圖：當堂檢驗學生掌握情況,限時訓練學生時間觀念.〕 課堂小結〔學生總結〕 今天我們與大家一起學習復數(shù)的有關內容.復數(shù)的引入實現(xiàn)了中學階段數(shù)系的最后一次擴充.大家一定體會到了實際需求與數(shù)學內部的矛盾在數(shù)系擴充過程中的作用,但在數(shù)學史上復數(shù)系的建立,卻是經歷了一段曲折而漫長的過程.數(shù)系的不斷擴充體現(xiàn)了人類在數(shù)的認識上的深化,就像人類進入太空實現(xiàn)了對宇宙認識的飛躍一樣,復數(shù)的引入是對數(shù)認識的一次飛躍.我們今天都學到了什么？ 〔設計意圖：再一次鞏固知識點,回答了課前的疑問,達到前呼后應的效果.〕 課后作業(yè) 教材P60 習題3.1 [教后反思] 一、可取之處 〔１〕以人為本,以學生為主體,充分考慮學生的認知規(guī)律.如直擊課題以與后面的從實際需求與數(shù)學內部矛盾兩個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴充的基本特征,都是從學生的角度出發(fā),幫助學生解決頭腦中的疑問,同時注重發(fā)揮學生的主觀能動性,讓學生參與方法的總結、知識的歸納,真正讓學生成為課堂的"主人". 〔２〕重視問題的設置.無論是課題的提示,還是知識的生成、規(guī)律的總結,都能以一個個的問題為切入點,設置好適當?shù)奶荻?讓學生在體驗成功中提升能力. 〔３〕注重數(shù)學的人文價值.本節(jié)課一開始并未直接給出虛數(shù)的定義,再用機械重復的運算去鞏固知識,而是通過對數(shù)系擴充過程的回顧,讓學生感受人類理性思維在數(shù)學發(fā)展中作用,認識到數(shù)學發(fā)展既有來自外部的實際需求也有來自數(shù)學內部的邏輯規(guī)律,幫助學生更好地體會數(shù)學理論產生與發(fā)展的過程,形成正確的數(shù)學觀. 二、待改進之處 〔１〕問題設置不夠生動.如何使問題更能激發(fā)學生的課堂積極性. 〔２〕培養(yǎng)學生的學習能力,特別是自主學習的能力,做得不夠.課前我已經準備了一些數(shù)學發(fā)展史的材料,這些材料如果能讓學生自己去搜集,那么學生對這一部分知識會有更深刻的了解,但迫于平時自主學習的時間較少,扼殺了學生的能力. §3.1.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念導學案 [教學目標]1．了解引進虛數(shù)單位i的必要性,了解數(shù)集的擴充過程. 2．理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念. 3．掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法,理解復數(shù)相等的充要條件． [教學重點]掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法,理解復數(shù)相等的充要條件． [教學過程] 一、課前準備 〔預習教材P60~ P62,找出疑惑之處〕 復習：實數(shù)系、數(shù)系的擴充脈絡是： →→→, 用集合符號表示為： 二、新課導學 互動探究點一　復數(shù)的概念 問題1為解決方程x2＝2,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數(shù)系中無根的問題呢？ 問題2如何理解新引入的數(shù)i? 問題3　復數(shù)與復數(shù)集定義是什么？怎樣表示它們呢？ 問題4　什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)？ 試一試：　請說出下列復數(shù)的實部和虛部,并判斷它們是實數(shù),虛數(shù)還是純虛數(shù)． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 問題5復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關系 問題6 復數(shù)集,虛數(shù)集,實數(shù)集,純虛數(shù)集之間的關系？ 典題訓練1：　當實數(shù)m為何值時,復數(shù)z＝<m+1>＋<m－1>i為 <1>實數(shù)；<2>虛數(shù)；<3>純虛數(shù)． 跟蹤訓練：　當實數(shù)m為何值時,復數(shù)z＝＋<m2－2m>i為 <1>實數(shù)；<2>虛數(shù)；<3>純虛數(shù)． 互動探究點二：　兩個復數(shù)相等 問題7　兩個復數(shù)能否比較大?。? 問題8　兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？ 典題訓練2：已知x,y均是實數(shù),且滿足<2x－1>＋i＝－y－<3－y>i,求x與y. 跟蹤訓練　已知＝<x2－2x－3>i<x∈R>,求x的值． 三、課堂小結： 1.虛數(shù)單位i的引入 2.復數(shù)有關概念： 復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)的實部、虛部 ； 虛數(shù)、純虛數(shù) ； 復數(shù)相等的充要條件 四、考一考,你過關了嗎 1．已知復數(shù)z＝a2－<2－b>i的實部和虛部分別是2和3,則實數(shù)a,b的值分別<　　> A．,1 B．,5 C．±,5 D．±,1 2．下列復數(shù)中,滿足方程x2＋2＝0的是<　　> A．±1 B．±i C．±i D．±2i 3．如果z＝m<m＋1>＋<m2－1>i為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為<　　> A．1 B．0 C．－1 D．－1或1 4．已知復數(shù)與相等,且的實部、虛部分別是- 4x+3 =0 方程的兩根,試求：的值. 5　實數(shù)m為何值時,復數(shù)z＝＋<m2＋2m－3>i是<1>實數(shù)；<2>虛數(shù)； <3>純虛數(shù) 5 / 5