會計學(xué)1高中數(shù)學(xué)必修二高中數(shù)學(xué)必修二 直線的方程直線的方程(2)直線的斜率定義：一條直線的傾斜角 的 叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k= ，傾斜角是90的直線斜率不存在.過兩點的直線的斜率公式經(jīng)過兩點P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1x2)的直線的斜率公式為k= 正切值tan .1212xxyy第1頁/共53頁2.直線方程的五種形式名稱名稱方程方程適用范圍適用范圍點斜式點斜式不含垂直于不含垂直于x x軸的直線軸的直線斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x x軸的直線軸的直線兩點式兩點式不含直線不含直線x x= =x x1 （x x1x x2）和直線和直線y y= =y y1 （y y1y y2）)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy第2頁/共53頁截距式截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線點的直線一般式一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用都適用1byax)0(022BACByAx第3頁/共53頁3.過P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程（1）若x1=x2,且y1y2時，直線垂直于x軸，方程為 ;(2)若x1x2,且y1=y2時，直線垂直于y軸，方程為 ;(3)若x1=x2=0，且y1y2時，直線即為y軸，方程為 ;(4)若x1x2,且y1=y2=0時，直線即為x軸，方程為 .x=x1y=y1x=0y=0第4頁/共53頁4.線段的中點坐標(biāo)公式 若點P1、P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1）， （x2，y2），且線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為（x,y）， 則 ，此公式為線段P1P2的中點 坐標(biāo)公式.222121yyyxxx第5頁/共53頁基礎(chǔ)自測1.過點M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等 于1，則m的值為 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 kMN= =1，m=1.Amm24第6頁/共53頁2.經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角是鈍角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）3第7頁/共53頁解析 對A過兩點的直線斜率對B過兩點的直線斜率對C過兩點的直線斜率對D過兩點的直線斜率過D中兩點的直線的傾斜角是鈍角.答案 D, 076418)4(8k, 0330301k, 010312k. 02104) 1(1k第8頁/共53頁3.下列四個命題中，假命題是 （ ） A.經(jīng)過定點P（x0，y0）的直線不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.經(jīng)過兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)來表示 C.與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方 程 表示 D.經(jīng)過點Q（0，b）的直線都可以表示為y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x軸的直線，故正確；B 正確；C不能表示過原點的直線即截距為0的直 線，故也正確；D不能表示斜率不存在的直線， 不正確.1byaxD第9頁/共53頁4.如果AC0,且BC0,那么直線Ax+By+C=0 不通過 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由題意知ABC0. 直線方程變?yōu)閥=- x- ， AC0，BC0，AB0， 其斜率k=- 0,在y軸上的截距b=- 0, 直線過第一、二、四象限.CBABCBABC第10頁/共53頁5.一條直線經(jīng)過點A（-2，2），并且與兩坐標(biāo)軸 圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 . 解析 設(shè)所求直線的方程為 A（-2，2）在直線上， 又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1， |a|b|=1 , 1byax122ba21第11頁/共53頁 由可得 由（1）解得 方程組（2）無解. 故所求的直線方程為 即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0.21)2(21) 1 (abbaabba或，baba2112或，yxyx121112或第12頁/共53頁題型一 直線的傾斜角【例1】 若 ，則直線2xcos +3y+1=0 的傾斜角的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 2,62,66, 0,6565,2題型分類 深度剖析第13頁/共53頁思維啟迪 從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的范圍，再確定傾斜角范圍.解析 設(shè)直線的傾斜角為 ,則tan =- cos ,又 ，0cos , cos 0即- tan 0,注意到0 , .答案 B322,62333323365第14頁/共53頁探究提高 （1）求一個角的范圍，是先求這個角某一個函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍.（2）在已知兩個變量之間的關(guān)系式要求其中一個變量的范圍，常常是用放縮法消去一個變量得到另一個變量的范圍，解決本題時，可以利用余弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的 是消去變量 得到。第15頁/共53頁知能遷移1 直線xsin -y+1=0的傾斜角的變化范圍是 （ ）A. B.(0,)C. D.解析 直線xsin -y+1=0的斜率是k=sin ,又-1sin 1，-1k1，當(dāng)0k1時，傾斜角的范圍是 ；當(dāng)-1k0時，傾斜角的范圍是 .2, 04,4,434, 0D4, 0,43第16頁/共53頁題型二 直線的斜率【例2】 已知直線l過點P（-1，2），且與以A（-2，-3），B（3，0）為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍. 分別求出PA、PB的斜率，直線l處于直線PA、PB之間，根據(jù)斜率的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合即可求.解 方法一 如圖所示，直線PA的斜率直線PB的斜率, 5)2(1)3(2PAk思維啟迪第17頁/共53頁當(dāng)直線l繞著點P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時，它的斜率變化范圍是5，+）；當(dāng)直線l繞著點P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時，它的斜率的變化范圍是直線l的斜率的取值范圍是方法二 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.A、B兩點在直線的兩側(cè)或其中一點在直線l上，（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）0，.21) 1(320PBk21,., 521,第18頁/共53頁即（k-5）（4k+2）0，k5或k- .即直線l的斜率k的取值范圍是 5，+）. 方法一 運用了數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時，需根據(jù)正切函數(shù)y=tan 的單調(diào)性求k的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達到快捷解題的目的.方法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)使問題得以解決.2121,探究提高第19頁/共53頁知能遷移2 已知點A（1，3），B（-2，-1）.若直線l：y=k（x-2）+1與線段AB相交，則k的取值范圍是 （ ）A.k B.k-2C.k 或k-2 D.-2k解析 由已知直線l恒過定點P（2，1），如圖.若l與線段AB相交，則kPAkkPB，kPA=-2，kPB= ，-2k .212121D2121第20頁/共53頁題型三 求直線的方程【例3】 求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點A（-1，-3），且傾斜角等于直線y= 3x的傾斜角的2倍. 選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要的條件求出即可.解 （1）方法一 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點（0，0）和（3，2），l的方程為y= x，即2x-3y=0.32思維啟迪第21頁/共53頁若a0，則設(shè)l的方程為l過點（3，2），a=5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k,由已知3- =2-3k，解得k=-1或k= ,直線l的方程為y-2=-（x-3）或y-2= (x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0., 1ayax, 123aak2k23232第22頁/共53頁（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為 ，則所求直線的傾斜角為2 . tan =3,tan 2 =又直線經(jīng)過點A（-1，-3），因此所求直線方程為y+3=- (x+1),即3x+4y+15=0.43tan1tan2243第23頁/共53頁探究提高 在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.第24頁/共53頁知能遷移3 求下列直線l的方程：（1）過點A（0，2），它的傾斜角的正弦值是 ；（2）過點A（2，1），它的傾斜角是直線l1：3x+4y+5=0的傾斜角的一半；（3）過點A（2，1）和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點.解 （1）設(shè)直線l的傾斜角為 ，則sin = ,tan = ,由斜截式得y= x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.53534343第25頁/共53頁（2）設(shè)直線l和l1的傾斜角分別為 、 ，則解得tan =3或tan =- （舍去）.由點斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.（3）解方程組即兩條直線的交點為（-5，-4）.由兩點式得即5x-7y-3=0.,tan1tan243,43tan,2, 022則又31. 45, 0232, 032y，xyxyx得,252141xy第26頁/共53頁題型四 直線方程的應(yīng)用【例4】 （12分）過點P（2，1）的直線l交x軸、y 軸正半軸于A、B兩點，求使： （1）AOB面積最小時l的方程； （2）|PA|PB|最小時l的方程. 先求出AB所在的直線方程，再求出A， B兩點的坐標(biāo)，表示出ABO的面積，然后利用 相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值.思維啟迪第27頁/共53頁解 方法一 設(shè)直線的方程為當(dāng)且僅當(dāng) ,即a=4,b=2時，SAOB取最小值4， 4分此時直線l的方程為 6分. 421. 8, 112122) 1 (. 112),1, 2( 1abSabbababababyaxAOB由已知可得1分3分2112ba. 042, 124yxyx即第28頁/共53頁當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時，|PA|PB|取最小值4.此時直線l的方程為x+y-3=0. 12分. ) 1(4)2(24)1( 1)2()1 ()02()01 ()2(, 2) 1)(2(, 02, 112)2(222222bababaPBPAbabaabba變形得得由8分10分第29頁/共53頁方法二 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于當(dāng)且僅當(dāng)-4k=- ,即k=- 時取最小值，此時直線l的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分. 4)44(21)1()4(421)21)(12(21) 1 ().21 , 0()0 ,12(kkkkSkBkAAOB、k121211分3分第30頁/共53頁（2）|PA|PB|= 10分當(dāng)且僅當(dāng) =4k2,即k=-1時取得最小值,此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法，本題所要求的直線過定點，設(shè)直線方程的點斜式，由另一條件確定斜率，思路順理成章，而方法一和方法二聯(lián)系已知條件與相關(guān)知識新穎獨特，需要較高的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.22441)1(kk, 484422kk24k探究提高第31頁/共53頁知能遷移4 已知直線l:kx-y+1+2k=0 (kR).（1）證明：直線l過定點；（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.（1）證明 直線l的方程是：k（x+2)+(1-y)=0,無論k取何值，直線總經(jīng)過定點（-2，1）.,12,0102yxyx解之得令第32頁/共53頁（2）解 由方程知,當(dāng)k0時直線在x軸上的截距為 ,在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有 解之得k0;當(dāng)k=0時，直線為y=1,符合題意，故k0.kk21,121221kkk第33頁/共53頁（3）解 由l的方程，得依題意得).21 , 0(),0 ,21(kBkkA. 0, 021, 021kkkk解得. 042:, 4,21,140”“, 4)422(21)414(21)21 (2121212121min2yxlSkkkkkkkkkkkOBOAS此時即且成立的條件是第34頁/共53頁方法與技巧1.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值 范圍，熟記斜率公式：k= ，該公式 與兩點順序無關(guān)，已知兩點坐標(biāo)（x1x2）時， 根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點的直線的斜率.當(dāng)x1=x2，y1y2時，直線的斜率不存在，此時直 線的傾斜角為90.1212xxyy思想方法 感悟提高第35頁/共53頁2.求斜率可用k=tan （ 90），其中 為傾 斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分 割，牢記：“斜率變化分兩段，90是分界，遇 到斜率要謹記，存在與否需討論”.3.求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方 程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系 數(shù)法.4.重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線 上設(shè)一任意點P（x，y），再找出x，y的一次關(guān) 系式，例如求直線關(guān)于點對稱的直線方程、求直 線關(guān)于直線對稱的直線方程就可用軌跡法來求.第36頁/共53頁失誤與防范1.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在； 每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存 在斜率.2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍； 二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量為 （-B，A）不可記錯，但同時注意方向向量是不 唯一的.4.利用三種直線方程求直線方程時，要注意這三 種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求 出垂直于x軸的直線方程.第37頁/共53頁一、選擇題1. 直線l經(jīng)過A（2，1）、 B（1，m2） （mR）兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是 （ ） A.0， ） B. C. D. 解析 k= =1-m21,又k=tan ,0 , 所以l的傾斜角的取值范圍為定時檢測D,434, 04, 0,24, 02112m.）24, 0，第38頁/共53頁2.直線l1:3x-y+1=0，直線l2過點（1，0），且它的 傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為 （ ） A.y=6x+1 B.y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直線l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2過點（1，0）即可求得直線方程.4343D,43tan1tan22第39頁/共53頁3.若直線（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x軸上的 截距為1,則實數(shù)m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 當(dāng)2m2+m-30時, 在x軸上截距為 =1,即2m2-3m-2=0， m=2或m= .21D32142mmm2121第40頁/共53頁4.直線x+(a2+1)y+1=0 (aR)的傾斜角的取值范圍 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- -1,故k-1，0）， 由圖象知傾斜角 ,故選B.4, 0,43),2(4, 0),432,4B112a,43第41頁/共53頁5.直線ax+y+1=0與連結(jié)A（2，3）、B（-3，2）的 線段相交，則a的取值范圍是 （ ） A.-1，2 B.（-，-1）2，+） C.-2，1 D.（-，-21，+） 解析 直線ax+y+1=0過定點C（0，-1），當(dāng)直 線處在AC與BC之間時，必與線段AB相交，應(yīng)滿 足-a 或-a ，即a-2或a1.D213312第42頁/共53頁6.已知直線x=2及x=4與函數(shù)y=log2x圖象的交點分別 為A，B，與函數(shù)y=lg x圖象的交點分別為C，D， 則直線AB與CD （ ） A.相交，且交點在第象限 B.相交，且交點在第象限 C.相交，且交點在第象限 D.相交，且交點在坐標(biāo)原點 解析 易知A（2，1），B（4，2），原點 O（0，0）， kOA=kOB= .直線AB過原點. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD= 直線CD過原點，且與AB相交，故選D.D21.2122g1第43頁/共53頁二、填空題7.過兩點A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直線l的傾斜角為45，則m的值為 . 解析 由題意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+23-m-m2,m-1且m ,m=-2. , 13223222mmmmm21-2第44頁/共53頁8.若經(jīng)過點P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直線的傾 斜角為銳角，則實數(shù)a的取值范圍是 . 解析 由條件知直線的斜率存在，由公式得 因為傾斜角為銳角，所以k0， 解得a1或a-2. 所以a的取值范圍是a|a1或a-2.,21aak（-,-2）(1,+)第45頁/共53頁9.直線y= x關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是 . 解析 在所求直線上任取一點坐標(biāo)為（x,y），設(shè) 關(guān)于直線x=1對稱點的坐標(biāo)是（x0，y0）， 整理得：x+2y-2=0.（也可以用點斜式求解） 21,200yyxx則x+2y-2=0),2(21,2100 xyxy即第46頁/共53頁三、解答題10.已知線段PQ兩端點的 坐標(biāo)分別為（-1，1）、 （2，2），若直線l:x+ my+m=0與線段PQ有交點， 求m的范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0 恒過A（0，-1）點. kAP= =-2， 1011. 02132, 21231,232021mmmmkAQ且或則第47頁/共53頁又m=0時直線x+my+m=0與線段PQ有交點，所求m的范圍是 m .方法二 過P、Q兩點的直線方程為y-1=即 代入x+my+m=0,整理得： ,由已知-1 2,解得：- m .3221).1(1212x37mmx37mm3221,3431xy第48頁/共53頁11.已知ABC中，A（1，-4），B（6，6）， C（-2，0）.求： （1）ABC的平行于BC邊的中位線的一般式方 程和截距式方程； （2）BC邊的中線的一般式方程，并化為截距式 方程. 解（1）平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點 的連線. 因為線段AB、AC中點坐標(biāo)為 所以這條直線的方程為),2,21(),1 ,27(,212721212xy第49頁/共53頁整理得：6x-8y-13=0，化為截距式方程為（2）因為BC邊上的中點為（2，3），所以BC邊上的中線方程為 即7x-y-11=0,化為截距式方程為. 1813613yx,121434xy. 111711yx第50頁/共53頁12.已知兩點A（-1，2），B（m，3）. （1）求直線AB的方程； （2）已知實數(shù)m 求直線AB的傾 斜角 的取值范圍. 解 （1）當(dāng)m=-1時，直線AB的方程為x=-1, 當(dāng)m-1時，直線AB的方程為,13, 133).1(112xmy第51頁/共53頁（2）當(dāng)m=-1時， = ;當(dāng)m-1時，m+1 （0， ，綜合知，直線AB的傾斜角20 ,333.32,22,6,333,(11mk.32,6 返回 第52頁/共53頁