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1、 黑龍江省哈爾濱市木蘭高級中學高中物理 經(jīng)典復習資料 功能問題中的等效思維 1. 等效研究對象 例1. 如圖1（a）所示，半徑為R的定滑輪不計質(zhì)量，不計輪軸的摩擦，滑輪上掛一條長為L的鐵鏈（L>10R），兩邊垂下相等的長度，由于輕微的干擾，使滑輪轉(zhuǎn)動，且鐵鏈與滑輪無相對滑動，當滑輪轉(zhuǎn)過90°時，其角速度多大？ 圖1 分析：滑輪轉(zhuǎn)動而帶動鐵鏈，滑輪邊緣的線速度等于鐵鏈移動的瞬時速度。對于鐵鏈，只有重力做功，符合機械能守恒定律。此過程中鐵鏈隨滑輪轉(zhuǎn)過的長度： 如圖1（b）所示，整條鐵鏈的動能可看作是由原部分移至位置，其重力勢能的減少轉(zhuǎn)變而來的，而之外的其余部分可認為對整條鐵

2、鏈動能的變化無貢獻。 設單位長度鐵鏈的質(zhì)量為m，則對鐵鏈，根據(jù)機械能守恒定律有： 得鐵鏈的速度 因 故滑輪在此時刻的角速度 以上解法不僅巧用等效研究對象，而且運用機械能守恒定律的另一種表達式，避開了參考平面的選擇，簡化了解題過程。 2. 等效物理過程 例1. 一質(zhì)量為m的小球，從高為h處由靜止釋放，落地后彈回，因與地面碰撞有機械能損失，小球每次回跳的高度總等于其下落高度的，試問，若要使小球第一次回跳時跳到原高度，則當小球開始下落時應對它做多少功？（不計空氣阻力） 分析：根據(jù)小球從h高處下落，回跳到高處，易得出小球與地面碰撞時損失的機械能。要使小球回跳到h高處，有

3、同學誤認為對它做的功應等于上述損失的機械能。而實際情況是，由于對小球做了功，使小球落地時的速度增大，小球與地面碰撞時損失的機械能也隨之增大，故小球不能回跳到h高處。 正確的解法是： 將小球開始下落時對它做功等效為小球從高處由靜止釋放，且小球落地后回跳的高度恰為。根據(jù)題意，有： 此過程中損失的機械能 由功能關系，開始對小球必須做功 由以上各式得： 3. 等效研究對象和等效物理過程 例3. 面積很大的水池，池深為H，上面浮著一正方體木塊，木塊邊長為a，密度為水的，質(zhì)量為m。開始時木塊靜止，有一半沒入水中，如圖2（a）所示，現(xiàn)用力F將木塊緩慢地壓到池底，不計摩擦，求：

4、 圖2 （1）從木塊剛好完全沒入水中到停止在池底的過程中，池水勢能的改變量； （2）從開始到木塊剛好完全沒入水的過程中，力F所做的功。 分析：（1）從木塊剛好完全沒入水中到停止在池底的過程，可看作是在池底與木塊等體積的“水塊”與剛沒入水中的木塊交換了位置。因此，池水勢能的改變量就等于這部分水重力勢能的增加量，即 （2）木塊被緩慢下壓入水的過程中，木塊所受的浮力為變力，因而力F也為變力。為避開變力做功的直接計算，研究木塊和整個池水系統(tǒng)，由于木塊所受的浮力及其反作用力為內(nèi)力，且這一對內(nèi)力的總功為零，因此木塊和池水系統(tǒng)機械能的增量就等于推力F所做的功。因為池水面積很大，不計水面升高，

5、故池水重力勢能的增量可由圖2（c）中陰影部分的水全部移至水面來求得。于是由功能關系可得： 其中 代入上式得： 本題也可以用平均力對木塊做功來求解： 當木塊沒入水中的深度為x時，有 顯然推力F與木塊沒入水中的深度x為線性關系，因此，全過程中推力對木塊做功： 聯(lián)立解得： 例4. 噴水機噴出的豎直向上的水柱高度，空中有水，空氣阻力不計，則噴水機的功率約為多少？（g取，水的密度） 分析：噴水機對水做功，使水以某一速度噴出，形成水柱。噴水機對水做功僅在水噴出之前，其后只有重力做功。忽略一切阻力影響，水的上升過程可看作豎直上拋運動，下落過程可看作自由落體運動，因此，形成穩(wěn)定水柱的時間： 每2s時間內(nèi)噴水機連續(xù)噴出的水的體積與空中水柱體積相等。因此，噴水機在2s內(nèi)對水做功等效于噴水機的動力把水柱中所有的水都經(jīng)歷了舉至最高點這一過程，因而噴水機的功率： 本題還可由動能定理來求解： 設噴水機的功率為P，經(jīng)時間△t，噴出水的質(zhì)量為，水的出口速度。 由動能定理：，得： 其中為單位時間內(nèi)噴出的水量，顯然有： 其中m為空中水柱的總質(zhì)量，t為形成穩(wěn)定水柱的時間。因此噴水機的功率： 5