章末總結(jié)知識點一四種命題間的關(guān)系命題是能夠判斷真假、用文字或符號表述的語句一個命題與它的逆命題、否命題之間的關(guān)系是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個命題是等價的；原命題的逆命題和否命題也是互為逆否命題例1判斷下列命題的真假(1)若xAB，則xB的逆命題與逆否命題；(2)若0<x<5，則|x2|<3的否命題與逆否命題；(3)設a、b為非零向量，如果ab，則ab0的逆命題和否命題知識點二充要條件及其應用充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，綜合考察數(shù)學各部分知識，是高考的熱點，判斷方法有以下幾種：(1)定義法(2)傳遞法：對于較復雜的關(guān)系，常用推出符號進行傳遞，根據(jù)這些符號所組成的圖示就可以得出結(jié)論互為逆否的兩個命題具有等價性，運用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題加以判斷(3)等價命題法：對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用原命題與其逆否命題是等價命題的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化(4)集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學問題可以用范圍解兩個命題之間的關(guān)系，這時如果能運用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系例2若p：2<a<0,0<b<1；q：關(guān)于x的方程x2axb0有兩個小于1的正根，則p是q的什么條件？例3設p：實數(shù)x滿足x24ax3a2<0，a<0.q：實數(shù)x滿足x2x60或x22x8>0.且綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍知識點三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應用對于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用真值表判定真假利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點之一例4判斷下列命題的真假(1)對于任意x，若x30，則x30；(2)若x3或x5，則(x3)(x6)0.例5設命題p：函數(shù)f(x)lg的定義域為R；命題q：不等式<1ax對一切正實數(shù)均成立如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍知識點四全稱命題與存在性命題全稱命題與存在性命題的判斷以及含一個量詞的命題的否定是高考的一個重點，多以客觀題出現(xiàn)全稱命題要對一個范圍內(nèi)的所有對象成立，要否定一個全稱命題，只要找到一個反例就行存在性命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個滿足條件的對象即可全稱命題的否定是存在性命題，應含存在量詞存在性命題的否定是全稱命題，應含全稱量詞例6寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)32；(2)5>4；(3)對任意實數(shù)x，x>0；(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)例7已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，并說明理由(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式mf(x0)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍章末總結(jié)重點解讀例1解(1)若xAB，則xB是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若xB，則xAB，為真命題(2)0<x<5，2<x2<3，0|x2|<3.原命題為真，故其逆否命題為真否命題：若x0或x5，則|x2|3.例如當x，<3.故否命題為假(3)原命題：a，b為非零向量，abab0為真命題逆命題：若a，b為非零向量，ab0ab為真命題否命題：設a，b為非零向量，a不垂直bab0也為真例2解若a1，b，則a24b<0，關(guān)于x的方程x2axb0無實根，故pq.若關(guān)于x的方程x2axb0有兩個小于1的正根，不妨設這兩個根為x1、x2，且0<x1x2<1，則x1x2a，x1x2b.于是0<a<2,0<b<1，即2<a<0,0<b<1，故qp.所以，p是q的必要不充分條件例3解設Ax|px|x24ax3a2<0，a<0x|3a<x<a，a<0Bx|qx|x2x60或x22x8>0x|x<4或x2綈p是綈q的必要不充分條件，q是p的必要不充分條件AB，或，解得a<0或a4.故實數(shù)a的取值范圍為(，4.例4解(1)x30，有x30，命題為真；(2)當x5時，(x3)(x6)0，命題為假例5解p：由ax2xa>0恒成立得，a>2.q：由<1ax對一切正實數(shù)均成立，令t>1，則x，t<1a，2(t1)<a(t21)對一切t>1均成立2<a(t1)，a>，a1.p或q為真，p且q為假，p與q一真一假若p真q假，a>2且a<1不存在若p假q真，則a2且a1，1a2.故a的取值范圍為1a2.例6解(1)32，真命題；(2)54，假命題；(3)存在一個實數(shù)x，x0，真命題；(4)所有質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，假命題例7解(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對于任意xR恒成立，只需m>4即可故存在實數(shù)m，使不等式mf(x)>0對于任意xR恒成立，此時，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個實數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所以，所求實數(shù)m的取值范圍是(4，)