8.3平面向量的分解定理翁旭宇一、教學目標 1理解和掌握平面向量的分解定理；2掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不平行向量來表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；3根據(jù)學生已有的物理知識經(jīng)驗，在熟悉的問題情景中，體會研究向量分解的必要性。4經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會化歸思想。二、教學重點及難點 ：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程；分解唯一性的說明。三、教學過程設計（一）、 設置情景，引入課題（1）觀察前面我們學過向量的加法，知道兩個向量可以合成一個向量，反過來，一個向量是否可以分解成兩個向量呢？下面讓我們來看一個實例：實例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和 F2 .思考：從這個實例我們看到了什么？答：一個向量可以分成兩個不同方向的向量.（2）復習正交分解，并抽象為數(shù)學模型（二）、探索探究，主動建構(gòu)概括討論，提出新問題：如果向量是同一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，是該平面內(nèi)的一個非零向量，是否能用向量表示向量？ 數(shù)學實驗1實驗設計：(1)實驗目的：通過實驗讓學生探究：給定平面內(nèi)的兩個不平行向量，對于給定的非零向量是否能分解成方向上的兩個向量，且分解是否是唯一的？(2)實驗步驟：a.以四位同學為一組，給每一位同學一個圖，上面有兩個不平行向量和；b.每個同學先獨立作圖；c.小組對照，比較所分解的兩向量的長度和方向是否相同.并得出結(jié)論.(3)實驗報告：(由學生發(fā)言)可以分解，且分解的長度和方向唯一的.師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學式子把和的關系表示出來？生：是不平行向量，是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取一點O（1）作；（2）過C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點M；（3）過C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點N；（4）四邊形為平行四邊形，由向量平行的充要條件可知存在實數(shù)，使得，則.對于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個不平行向量，那么對于任意的向量是否也可以得到同樣的結(jié)論呢？下面讓我們來做一個實驗.數(shù)學實驗2實驗設計：(1)實驗目的：通過幾何畫板向量分解動畫，讓學生體會對于任意向量都可以分解成給定的兩個不平行向量，且分解是唯一的.(2)實驗步驟： a.利用幾何畫板畫出兩個不平行向量，畫出一個任意向量(該向量可以任意拖動終點來改變)； b.學生從拖動中體會其向量的任意性.（一些特殊位置，） (3)實驗報告：3探究結(jié)果幾何角度：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個不平行向量的線性組合，即，且分解是唯一的.代數(shù)角度：說明唯一性：說明：（1）當時，（2）當時，假設，則有=.由于不平行，故，即.4概括得出定理：平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.注意：（1）基底不共線；（2）將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；（3）基底給定時，分解形式唯一，是被，唯一確定的數(shù)量（通過實驗的制作，學生的動手作圖能力得到提高，通過學生對實驗結(jié)果的討論，學生的抽象概括能力，語言表達能力得到訓練.） （三）例題分析例1（教材P66例2）如圖：平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且 ，分別用表示和.解： 在平行四邊形ABCD中，注：（1）把作為一組基，用向量表示平面內(nèi)的任何一個向量 （2）平行四邊形法則簡化為三角形法則。練習：學生完成教材后面練習P67 （2）思考：由例1和練習（2）平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？思考題（教材P67例 3）已知是不平行的兩個向量，是實數(shù)，且，用表示.解： （四）、課堂小結(jié)：（1）平面向量的分解定理. 對分解定理的理解：基底為兩個不平行向量，向量的任意性，實數(shù)對的存在性和唯一性；（2）從基的角度認識幾何圖形。（五）、作業(yè)布置練習冊P37 A組3，4 ，5 B組2，3 w.w.gkstk www.