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7.2 解二元一次方程組 加減消元法 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．用加減消元法解二元一次方程組． 2．進(jìn)一步了解解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想，“化未知為已知”化歸思路． (二)能力訓(xùn)練要求 1．會(huì)用加減消元法解二元一次方程組． 2．根據(jù)不同方程的特點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的基本思路——消元． (三)情感與價(jià)值觀要求 1．進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為已知”的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂． 2．根據(jù)方程組的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)教學(xué)的創(chuàng)新、開拓的意識(shí)． ●教學(xué)重點(diǎn) 1．掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟． 2．能熟練地運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組． ●教學(xué)難點(diǎn) 1．解二元一次方程組的基本思路消元即化“二元”為“一元”的思想． 2．?dāng)?shù)學(xué)研究的“化未知為已知”的化歸思想． ●教學(xué)方法 啟發(fā)——比較——自主探索相結(jié)合． 由一個(gè)引例啟發(fā)學(xué)生除可以利用代入消元法可以消去一個(gè)未知數(shù)，獲得問題的解答．通過觀察比較可以發(fā)現(xiàn)如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，這時(shí)我們就可以依據(jù)等式的性質(zhì)將方程兩邊相加或相減，從而消去一個(gè)未知數(shù)，從而更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主探索解二元一次方程組的加減消元法直至熟練掌握． ●教具準(zhǔn)備 投影片一張：問題串(記作7．2．2 A)． ●教學(xué)過程 Ⅰ．提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課 ［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？ ［生1］解：把②變形，得x=?、? 把③代入①，得 3+5y=21， 解得y=－3． 把y=3代入②，得 x=2． 所以方程組的解為 ［生2］解：由②得5y=2x+11　③ 把5y當(dāng)做整體將③代入①，得 3x+(2x+11)=21 解得x=2 把x=2代入③，得 5y=22+11 y=3 所以原方程的解為 ［師］我們可以發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單．有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了用代入的方法可以消元，從而使“二元”變?yōu)椤耙辉保敲从袥]有別的消元辦法也可以使“二元”變?yōu)椤耙辉保? ［生］我發(fā)現(xiàn)了方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據(jù)等式的性質(zhì)我們可以得到一個(gè)含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y． ［師］很好．這正是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法． Ⅱ．講授新課 ［師］下面我們就用剛才這位同學(xué)的方法解上面的二元一次方程組． 解： 由①+②，得 (3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)， 即3x+2x=10， x=2， 把x=2代入②中，得 y=3． 所以原方程組的解為 ［師生共析］一個(gè)方程組我們用了三種方法，從中可以發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇解法可以起到事半功倍的效果．回憶上一節(jié)的練習(xí)和習(xí)題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個(gè)代表闡述自己的意見． ［生］我們組認(rèn)為課本P192的隨堂練習(xí)的(3)(4)小題用加減消元法簡單． ［師］你們組能派兩位同學(xué)有加減消元法把這兩個(gè)方程組解一下嗎？ ［生］可以． (學(xué)生黑板板演，接著聽其他組討論的結(jié)果) ［生］我們組認(rèn)為習(xí)題7．2．1(2)也可以用加減消元法，我可以到黑板上做． ［生］老師，習(xí)題7．2．1(4)把方程組變形后，得也可以用加減消元法．我在黑板上做． ［師］下面，我們講評(píng)一下剛才這幾位同學(xué)解方程組的方程．(1) (2)這兩個(gè)方程組中，y的系數(shù)都是互為相反數(shù)，因此這兩位同學(xué)都用了用方程組中的兩個(gè)方程相加，從而把y消去，將二元轉(zhuǎn)化為一元，最后解出了方程的解，很好．(3)　　　　 我們觀察此方程y的系數(shù)都是1，因此這位同學(xué)想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2．這位同學(xué)將方程組整理，得由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5．這幾位同學(xué)的解法很好，同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了方程組中如果一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組． ［生］老師，我有一個(gè)問題：習(xí)題7．2的(3)小題，用代入消元法解，較麻煩．用加減消元法解，x、y的系數(shù)不相同也不相反，沒有辦法用加減消元法．是不是還有別的方法． ［師］這個(gè)同學(xué)提的問題太好了．能發(fā)現(xiàn)問題是我們學(xué)習(xí)很重要的一個(gè)方面，同學(xué)們應(yīng)該向他學(xué)習(xí)．接下來，同學(xué)們分組討論，方程組不用代入消元法如何解？ ［生］老師，我們組想出了一個(gè)辦法，能不能用等式的性質(zhì)將這個(gè)方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或相反)呢？ ［生］可以．我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數(shù)不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了． ［生］我不同意．這樣做，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都變成了分?jǐn)?shù)，比代入消元法還麻煩．我覺得應(yīng)該找到y(tǒng)的系數(shù)－2的絕對(duì)值和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以將y消去，得17x=　　 －34，x=－2．把x=－2代入①得，y=－1．所以方程組的解為 ［師］同學(xué)們?yōu)樗恼?，他的想法太精彩了，我們祝賀他．其實(shí)在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不一定二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)剛好是1，或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反．我們遇到的往往就是象習(xí)題7．2．1．(3)題這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的．下面我們看一個(gè)例子． 解方程組 分析：未知數(shù)的系數(shù)沒有絕對(duì)值是1的，也沒有哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反．我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對(duì)值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①3，②2，便可將①②的x的系數(shù)化為相同． 解：①3得6x+9y=36?、? ②2，得6x+8y=34?、? ③－④，得y=2． 將y=2代入①，得x=3． 所以原方程組的解是 ［師］我們根據(jù)上面幾個(gè)方程組的解法，接下來討論下面兩個(gè)問題： 出示投影片(7．2．2 A) (1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？ (2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？ (由學(xué)生分組討論、總結(jié)) ［師生共析］(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”． (2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟． 第一步：在所解的方程組中的兩個(gè)方程，如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊分別相減，消去這個(gè)未知數(shù)． 第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù))，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元． 第三步：對(duì)于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)等)．通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮． Ⅲ．隨堂練習(xí) 課本用加減消元法解下列方程組： 1．解： ①+②，得16x=－16 x=－1 把x=－1代入①，得 y=－5 所以原方程的解為 ②－①，得6y=－18 y=－3 把y=－3代入①，得 x=－2 所以原方程組的解為 ①－②2得5t=15 t=3 把t=3代入②，得 s=－1 所以原方程組的解為 ①2－②3，得－11x=33 x=－3 把x=－3代入①得y=－4 所以原方程組的解為 注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一． Ⅳ．課時(shí)小結(jié) 關(guān)于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們?nèi)繉W(xué)完了．比較這兩種解法我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，化“二元”為“一元”． Ⅴ．課后作業(yè) 1．課本習(xí)題7．3 2．閱讀讀一讀你知道計(jì)算機(jī)是如何解方程組嗎． Ⅵ．活動(dòng)與探究 解三元一次方程組： 過程：解二元一次方程組的實(shí)質(zhì)是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，由“二元”變?yōu)椤耙辉?，于是我們?lián)想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元”消為“二元”，不就是我們剛學(xué)過的二元一次方程組嗎．我們觀察這個(gè)方程組②中不含未知數(shù)z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個(gè)和②一樣只含x，y的二元一次方程④，將②和④聯(lián)立成二元一次方程組．也就將三元一次方程組消元，由“三元”變?yōu)椤岸保? 結(jié)果：解：由①－③得 －x+2y=8?、? 聯(lián)立②、④得 由②+④得y=9 把y=9代入②，得x=10 把x=10、y=9代入①得z=7 所以三元一次方程組的解為： ●板書設(shè)計(jì) 解二元一次方程組(二) 一、學(xué)生板演 解法一：代入消元法 解法二：(加減消元法) 解法三：(整體代入法) 二、加減消元法的思路和步驟 三、例題(用加減消元法求解) 四、課時(shí)小結(jié) ●備課資料 一、參考例題 ［例1］解方程組： 分析：這個(gè)方程組比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡，然后再觀察系數(shù)的特點(diǎn)，利用加減消元法或代入消元法求解． 解：化簡方程組，得 ③2+④3，得19x=38 x=2 把x=2代入③，得y=2 所以原方程組的解為 評(píng)注：當(dāng)方程組比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)通過去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)等，使之化為的形式(同類項(xiàng)對(duì)齊)，為消元?jiǎng)?chuàng)造條件． ［例2］解方程組 分析：可以仿例1將方程化簡，也可根據(jù)方程組的特點(diǎn)考慮把(x+y)、(x－y)看成一個(gè)整體，這樣會(huì)給計(jì)算帶來方便． 解法一：原方程化簡為： ②3－④，得32y=－64，y=－2 把y=－2代入④，得x=5 所以原方程組的解為 解法二：把(x+y)、(x－y)看成整體 ①－②3得x+y=3?、? 把③代入②，得2(x－y)－53=－1 即x－y=7?、? 由③、④聯(lián)立方程組，得 解得 評(píng)注：在解法二中突出了方程的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“整體”思想． ［例3］已知方程組的解適合x+y=8，求a的值． 分析一：把方程組成的解用含a的代數(shù)式表示出來，再代入x+y=8，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a． 分析二；將方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，將新得到的方程與x+y=8組成方程組解方程組即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a，便可求出a的值． 解法一： ①2，得6x+10y=2a+4?、? ②3，得6x+9y=3a?、? ③－④，得y=4－a， 把y=4－a代入②，得 2x+3(4－a)=a 解得x=2a－6 所以代入x+y=8，得 (2a+6)+(4－a)=8 解得a=10 解法二： 把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2， 整理，得x+2y=2?、? 把方程③與x+y=8組成方程組， ③－④，得y=－6 把y=－6代入④，得x=14 所以 把代入②中 a=214+3(－6)=10 所以a=10 評(píng)注：順利解決此題的關(guān)鍵是理解二元一次方程組的解和二元一次方程的解的概念；二是靈活運(yùn)用加減法或代入法解二元一次方程組． 二、參考練習(xí) 1．填空題 (1)已知3ay+4b3x－1與－3a2x－2b1－2y是同類項(xiàng)，則x=_________，y=_________． (2)若(5x+2y－12)2+｜3x+2y－6｜=0，則2x+4y=_________． (3)若3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，則=_________． (4)在代數(shù)式mx+n中，當(dāng)x=3時(shí)，它的值是4，當(dāng)x=4時(shí)，它的值是7，則m=_________，n=_________． 答案：(1)2?。?　(2)0　(3)1　(4)3?。? 2．選擇題 (1)用加減消元法解方程組時(shí)，有以下四種結(jié)果，其中正確變形是 ① ② ③　 ④ A．只有①和②　 B．只有③和④ C．只有①和③ D．只有②和④ (2)已知?jiǎng)tx－y的值是 A．1 B．0 C．－1 D．不能確定 (3)方程組的解x和y的值相等，則k的值等于 A．9 B．10 C．11 D．12 答案：(1)B　(2)A　(3)C 3．用加減消元法解方程組： (1) (2) (3)x+2y= (4) 答案：(1) (2) (3) (4)