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14.2.2 完全平方公式（一） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用． 2．完全平方公式的幾何解釋． （二）能力訓(xùn)練要求 1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力． 2．重視學(xué)生對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力． （三）情感與價(jià)值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神． 教學(xué)重點(diǎn) 完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋，靈活應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn) 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算． 教學(xué)過(guò)程 開(kāi)場(chǎng)白：很高興今天能和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)，說(shuō)明我們很有緣分哦！老師這里給同學(xué)們準(zhǔn)備了一點(diǎn)小小的禮物，今天的課堂我們將開(kāi)展小組競(jìng)爭(zhēng)，看看哪些組收獲多，前四名評(píng)為一等獎(jiǎng)，后四名評(píng)為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品有區(qū)別的哦！ 溫馨提示： 1、耐心聽(tīng)取同學(xué)的講解，有補(bǔ)充意見(jiàn)先舉手再回答； 2、本節(jié)課的問(wèn)題分為必答題和搶答題,搶答題問(wèn)題出示后，先獨(dú)立思考，然后開(kāi)始討論，在老師的示意下再起立，站起來(lái)人數(shù)最多的組將獲得答題資格，老師再?gòu)脑摻M任選一位同學(xué)先回答，其他同學(xué)可以接著補(bǔ)充； 3、獲得必答題或者搶答題的機(jī)會(huì)后，本組要盡可能的全面回答，不留機(jī)會(huì)給其他組的同學(xué). Ⅰ．探究活動(dòng) [師]請(qǐng)同學(xué)們探究下列問(wèn)題： （出示投影片，三個(gè)問(wèn)題逐個(gè)出現(xiàn)） （1）前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)算法則嗎？運(yùn)算的依據(jù)是什么？（點(diǎn)學(xué)生口答，老師板書(shū)符號(hào)敘述.）(第一組必答題) （2） 可以利用公式直接寫(xiě)出結(jié)果，它是在時(shí)的特例. 在中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？（分組進(jìn)行，完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式.公式由學(xué)生自己總結(jié)得出，老師給予及時(shí)的評(píng)價(jià).課堂中給學(xué)生充分思考、展示的時(shí)間.）(搶答題) （3）完全平方公式有哪些特征？請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言描述公式.（學(xué)生分小組討論和展示，老師板書(shū)公式的兩種敘述）(搶答題) [生]（1）文字?jǐn)⑹觯憾囗?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加. 符號(hào)敘述：. 運(yùn)算依據(jù)是乘法分配律. （2）（預(yù)設(shè)）當(dāng)，時(shí)，有；當(dāng)，時(shí)，有;… （3）完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方；右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方．而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍． 文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍． 符號(hào)敘述： [師]對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)的肯定、鼓勵(lì)． [設(shè)計(jì)意圖]完全平方公式是多項(xiàng)式乘法在時(shí)的特例，多項(xiàng)式乘法是完全平方公式的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn).這樣設(shè)計(jì)發(fā)揮教師“先行組織者”的作用，引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上探究特例，切合知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. Ⅱ．幾何解釋 [師]如果表示線段長(zhǎng)，則分別表示正方形的面積，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？(搶答題) [生]（預(yù)設(shè)學(xué)生的回答） 從幾何角度去解釋完全平方差公式． [生甲]先看圖（1），可以看出大正方形的邊長(zhǎng)是a+b． 還可以看出大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和． 陰影部分的正方形邊長(zhǎng)是a，所以它的面積是a2；另一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是b，所以它的面積是b2；另外兩個(gè)矩形的長(zhǎng)都是a，寬都是b，所以每個(gè)矩形的面積都是ab；大正方形的邊長(zhǎng)是a+b，其面積是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+2ab+b2．這正好符合完全平方公式． [生乙] 如圖（2）中，大正方形的邊長(zhǎng)是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長(zhǎng)都是a，寬都是b，所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長(zhǎng)是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長(zhǎng)是（a-b），所以它的面積是（a-b）2．從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．這也正好符合完全平方公式． [設(shè)計(jì)意圖]對(duì)公式進(jìn)行幾何解釋時(shí)設(shè)計(jì)為學(xué)生自己構(gòu)造圖形，雖然探究教學(xué)耗時(shí)多，學(xué)生后面的練習(xí)量會(huì)有所減少，但學(xué)生的探究空間大，學(xué)生靠自己探究出公式，自己提出好的問(wèn)題和研究思路.這樣設(shè)計(jì)，希望學(xué)生的成就感能得到滿足，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣能得到充分的激發(fā). Ⅲ．公式應(yīng)用 類型一 直接應(yīng)用 例1 用完全平方公式計(jì)算：（出示投影片） ① ② ③ ④ [師生]分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡(jiǎn)．（第④小題引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法計(jì)算，深刻理解，靈活應(yīng)用兩個(gè)公式.分別請(qǐng)四位舉手的學(xué)生口答，老師板書(shū).） [師]通過(guò)這幾個(gè)題目的計(jì)算，對(duì)于用完全平方公式計(jì)算，你有什么體會(huì)？是否還有新的發(fā)現(xiàn)？ [生]（預(yù)設(shè)） 用完全平方公式計(jì)算關(guān)鍵要掌握公式特征：即公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方；右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方．而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍． 發(fā)現(xiàn)：①公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式． ② [師]適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)的肯定、鼓勵(lì)． 練習(xí)1 應(yīng)用完全平方公式計(jì)算：（課本P110.1．出示投影片）（第二組必答題） ① ② ③ ④ 練習(xí)由學(xué)生獨(dú)立完成，并隨機(jī)點(diǎn)四位同學(xué)上臺(tái)板演，師生集體評(píng)價(jià). 類型二 靈活應(yīng)用 例2 簡(jiǎn)便計(jì)算：（出示投影片）（第三組必答題） ① ② [師]通過(guò)這兩個(gè)題目的計(jì)算，你有什么體會(huì)？ 練習(xí)2 （1）簡(jiǎn)便計(jì)算：（補(bǔ)充題．出示投影片） （第四組必答題） ① ② 練習(xí)由學(xué)生獨(dú)立完成，并隨機(jī)點(diǎn)兩位同學(xué)上臺(tái)板演，師生集體評(píng)價(jià). （2）將面積為的正方形邊長(zhǎng)均增加，則正方形的面積增加了（ ）（《原創(chuàng)》P60.7, 教材上有同類型的練習(xí)題，P112.5.）（第五組必答題） A. B. C. D. （3） 如圖，從邊長(zhǎng)為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形>，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則該長(zhǎng)方形的面積是（ ）(《原創(chuàng)》P60.10.)（第六組必答題） A. B. C. D. 類型三 拓展應(yīng)用 例3 已知，，則. (《原創(chuàng)》P60.8,教材上有同類型的練習(xí)題，P112.7.)（第七組必答題） 練習(xí)3 已知，，求和的值. (《原創(chuàng)》P61.14.)（第八組必答題） [設(shè)計(jì)意圖]根據(jù)教材和學(xué)生正在使用的配套練習(xí)冊(cè)的題型、難度，以及授課班級(jí)學(xué)生的接受能力（該校初二有24個(gè)班，該班為實(shí)驗(yàn)班），設(shè)計(jì)四個(gè)類型的新知應(yīng)用題目，由對(duì)公式的基本應(yīng)用到靈活應(yīng)用，由單純數(shù)學(xué)練習(xí)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，這樣由淺入深，既加深對(duì)新知的理解與運(yùn)用，又為學(xué)生完成課后作業(yè)起很好的引導(dǎo)作用.根據(jù)課堂實(shí)際情況機(jī)動(dòng)調(diào)節(jié)題量，類型四可以安排在小結(jié)后面或者下一個(gè)課時(shí). Ⅳ．課堂小結(jié)（搶答題） （1） 請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題. （2） 請(qǐng)你總結(jié)一下這節(jié)課討論問(wèn)題的基本過(guò)程.(從一般到特殊，考察特例.) （3） 你能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問(wèn)題？ [設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生反思該課公式的探索過(guò)程，有利于學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；鼓勵(lì)學(xué)生探究特例，有的學(xué)生提出推廣次數(shù)，研究，……有的學(xué)生提出推廣字母的個(gè)數(shù)，研究，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.同時(shí)，向?qū)W生滲透了從一般到特殊、歸納的思想，教給學(xué)生數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的“基本套路”——考察特例. Ⅴ．課堂檢測(cè)（搶答題） （以下5個(gè)題目為學(xué)生練習(xí)冊(cè)《原創(chuàng)》P60.1、2、3、9、16.） 1. 計(jì)算：；. 2. 計(jì)算：；. 3. 填空：（1）； （2）. 4. (《原創(chuàng)》P60第9題）用如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要A類卡片________張，B類卡片________張，C類卡片________張. B類 C類 A類 a a a b b b 5. (《原創(chuàng)》P60.16）已知，求的值. [設(shè)計(jì)意圖]從學(xué)生手中的練習(xí)冊(cè)中找題目，這是我常用的方法. 因?yàn)槲覀冞x擇配備給學(xué)生的練習(xí)冊(cè)往往題量是比較大的，如果全部留作課外作業(yè)，學(xué)生負(fù)擔(dān)很重，有些練習(xí)也沒(méi)有必要反復(fù)那么多次.這樣既能給學(xué)生減負(fù)，讓學(xué)生體會(huì)到老師對(duì)他的關(guān)愛(ài)，又能讓學(xué)生看到老師選擇的這本練習(xí)冊(cè)的作用之大和之好，體會(huì)老師對(duì)工作的負(fù)責(zé)，也能感染學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí). VI. 課后作業(yè) 1. 課本P112習(xí)題14.2第2、5、7題． 2.《原創(chuàng)》P60-P61剩余的9個(gè)題（第4、5、6、8、11、12、13、15、17題） [設(shè)計(jì)意圖]題目類似例題，層層遞進(jìn)，也有高于課堂的思考題.學(xué)生通過(guò)獨(dú)立完成課后作業(yè)，進(jìn)一步提升對(duì)本節(jié)新知識(shí)的理解與應(yīng)用，真正形成學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的能力.作業(yè)的情況則直接反饋給老師學(xué)生的掌握情況，有利于老師開(kāi)展后續(xù)教學(xué).