1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（名師：楊峻峰）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)從對(duì)稱性出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì).會(huì)選擇合適的誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 牢固掌握五組誘導(dǎo)公式.2. 理解和掌握公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)及恒等證明.3. 通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析歸納能力.4.滲透把未知轉(zhuǎn)化為已知以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 熟練、準(zhǔn)確地運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)及證明.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)相關(guān)角終邊的幾何對(duì)稱關(guān)系及誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶及符號(hào)判斷.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1. 閱讀教材第23頁(yè)至第27頁(yè)，填空：（1）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱；（2）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 x軸 對(duì)稱；（3）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 y軸 對(duì)稱；（4）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 直線yx 對(duì)稱；（5）誘導(dǎo)公式：公式二：，；公式三：，；公式四：，；公式五：，；公式六：，2預(yù)習(xí)自測(cè)1.下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）A.利用誘導(dǎo)公式二可以把第三象限的三角函數(shù)化為第一象限的三角函數(shù).B.利用誘導(dǎo)公式三可以把負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù).C. .D.若為第四象限角，則.答案：C.（二）課堂設(shè)計(jì)1知識(shí)回顧（1）任意角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？在角的終邊上任取一點(diǎn)，則，.當(dāng)為角的終邊和單位圓的交點(diǎn)時(shí)，有sin=y，cos=x，.（2）誘導(dǎo)公式一：（3）終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一.利用公式一可以把絕對(duì)值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到360(0到)內(nèi)的角的三角函數(shù)值. 對(duì)于任何一個(gè)內(nèi)的角，以下四種情況有且只有一種成立：（其中為銳角）所以，我們研究，與的同名三角函數(shù)即可.2問(wèn)題探究探究一 角與角之間的關(guān)系活動(dòng) 結(jié)合圖象，探究角與角終邊之間的關(guān)系結(jié)合圖象思考：銳角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？任意角與呢？引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論：無(wú)論為銳角還是任意角，的終邊都是的終邊的反向延長(zhǎng)線；角的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.活動(dòng) 結(jié)合定義，辨析角與角三角函數(shù)之間的關(guān)系設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱可知，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.由三角函數(shù)的定義得：，；，.從而，我們得到誘導(dǎo)公式二：，.探究二 角、與角之間的關(guān)系活動(dòng) 結(jié)合圖象，探究角、與角終邊之間的關(guān)系結(jié)合圖象思考：任意角、的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論：任意角的終邊與任意角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱；任意角角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱.活動(dòng) 類比探究一，辨析角、與角三角函數(shù)之間的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生類比探究一的方法，得到：公式三：，.公式四：，.探究三 理解公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征活動(dòng) 互動(dòng)交流、初步實(shí)踐引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn)，得出公式四的用途：可將求角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值.讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，概括說(shuō)明，加強(qiáng)記憶.我們可以用下面一段話來(lái)概括公式一四：，、的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步簡(jiǎn)記為：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限” .點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的是任意角.活動(dòng) 鞏固基礎(chǔ)，理解升華例1 利用公式求下列三角函數(shù)值.（1）；（2）；（3）；（4）.【知識(shí)點(diǎn)】公式一四【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】解：（1）； （2） （3）； （4）【思路點(diǎn)撥】利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 通過(guò)例1運(yùn)用講解，引導(dǎo)學(xué)生歸納，任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的一般步驟：變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)：【知識(shí)點(diǎn)】公式一四【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】解： 【思路點(diǎn)撥】利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)【答案】探究四 角與角之間的關(guān)系活動(dòng) 探究角與角之間的關(guān)系設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為由于角的終邊與角的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱，因此點(diǎn)，從而有：，；，所以得到公式五：，活動(dòng) 探究角與角之間的關(guān)系 我們可以類比探究與角三角函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行角與角之間關(guān)系的探究另一方面，由于，是否可以結(jié)合公式四及公式五推導(dǎo)出角與角三角函數(shù)之間關(guān)系呢？請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)可以得到公式六：， 我們可以用下面一段話來(lái)概括公式五、六：正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)一步可以簡(jiǎn)記為：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限活動(dòng) 探究角與角之間的關(guān)系例2 證明：（1）； （2）【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式四、五【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】證明：（1）； （2）【思路點(diǎn)撥】將變形為利用公式四、五進(jìn)行轉(zhuǎn)化【答案】（1） ；(2) 學(xué)了六組誘導(dǎo)公式及上例的結(jié)果后,能否進(jìn)一步歸納概括誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是，（可看作）其中，0是橫坐標(biāo)軸上的角，因此，上述公式可歸結(jié)為橫坐標(biāo)軸上的角，函數(shù)名稱不改變而公式五、六及上面的例2，這些公式左邊的角分別是，其中，是縱坐標(biāo)軸上的角，因此這些公式可歸結(jié)為縱坐標(biāo)上的角，函數(shù)名稱要改變兩類誘導(dǎo)公式的符號(hào)的考查是一致的，故而所有的誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字來(lái)概括：縱變橫不變，符號(hào)看象限活動(dòng) 靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通例3 化簡(jiǎn)【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式一六【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】解： 【思路點(diǎn)撥】合理利用誘導(dǎo)公式，抓住“負(fù)化正，大化小，化到銳角終了”的原則【答案】變式訓(xùn)練已知，求的值【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式六【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】解：，=【思路點(diǎn)撥】當(dāng)兩個(gè)角的和或差是的整數(shù)倍時(shí)，它們的三角函數(shù)值可通過(guò)誘導(dǎo)公式聯(lián)系起來(lái)【答案】3. 課堂總結(jié)有關(guān)角的終邊對(duì)稱性1)的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2)的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；3)的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱；4)的終邊與角的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱利用五組誘導(dǎo)公式就可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)其化簡(jiǎn)方向仍為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角終了” 縱變橫不變，符號(hào)看象限（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1（ ） ABCD【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】D2（ ） ABCD【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】D3（ ） ABCD【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】C4（ ） ABCD【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】B5若,則【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】因?yàn)樗浴舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】6已知角終邊上的一點(diǎn)，則【知識(shí)點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】能力型 師生共研7已知，則【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】方法一：由，得，所以；方法二：；【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】8已知，則【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】；【思路點(diǎn)撥】觀察與關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式求值【答案】探究型 多維突破9現(xiàn)有下列三角函數(shù)： ； .其中函數(shù)值與的值相同的序號(hào)是_【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】；【思路點(diǎn)撥】奇變偶不變，符號(hào)看象限【答案】10已知角是第三象限角，且. (1)化簡(jiǎn)； (2)若，求的值; (3)若，求的值;【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】 （1）； （2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榻鞘堑谌笙藿牵?所以； （3）【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，再求值【答案】（1）；（2）；（3）自助餐1的值為（ ）A1 BC0 D2【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)【答案】B2已知，則（ ）ABC2 D【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】因?yàn)椋?所以，【思路點(diǎn)撥】1與轉(zhuǎn)化【答案】D3【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】 【思路點(diǎn)撥】觀察與關(guān)系【答案】4化簡(jiǎn)： 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)符號(hào)判斷【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】 因?yàn)?，所以原?【思路點(diǎn)撥】誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、1的轉(zhuǎn)化、符號(hào)的判斷【答案】5已知，求【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵在于利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化【答案】