專題01 有理數(shù)【思維導圖】 【知識要點】知識點一 有理數(shù)基礎(chǔ)概念n 有理數(shù)（概念理解）正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負數(shù)。有理數(shù)的分類（兩種）（見思維導圖）n 數(shù)軸 規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。ü 數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（重點）任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。ü 數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).【注意】1. 數(shù)軸是一條直線，可向兩段無限延伸。2. 在數(shù)軸上原點，正方向，單位長度的選取需根據(jù)實際情況而定。n 相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）n 絕對值絕對值的概念：一班數(shù)軸上表示a的數(shù)與原點之間的距離叫做數(shù)a的絕對值。絕對值的意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。（互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。）n 比較大小1）數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。2）正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)。3）兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小。4）兩個正數(shù)比較，絕對值大的反而大。常用方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、商值比較法、絕對值比較法等。1（2018·海南瓊山中學中考模擬）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是 ( )A|+2|與|-2|B-|+2|與+(-2)C-(-2)與+(+2)D|-(-3) |與-|-3|【詳解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故這兩個數(shù)相等，故此選項錯誤；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故這兩個數(shù)相等，故此選項錯誤；C、-（-2）=2與+（+2）=2，這兩個數(shù)相等，故此選項錯誤；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，故此選項正確故選：D2（2019·四川中考真題）一定是A正數(shù)B負數(shù)CD以上選項都不正確【詳解】a可正、可負、也可能是0選D.3（2018·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點是（）A點A和點CB點B和點CC點A和點BD點B和點D【詳解】A、B、C、D所表示的數(shù)分別是2，1，-2，-3，因為2和-2互為相反數(shù)，故選A4（2013·江蘇中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別對應(yīng)實數(shù)a、b，下列結(jié)論中正確的是（ ）AabB|a|b|CabDa+b0【詳解】根據(jù)數(shù)軸，a0，b0，且|a|b|，A、應(yīng)為ab，故本選項錯誤；B、應(yīng)為|a|b|，故本選項錯誤；C、a0，b0，且|a|b|，a+b0，ab正確，故本選項正確；D、應(yīng)該是a+b0，故本選項錯誤故選C5（2019·甘肅中考真題）已知，是2的相反數(shù)，則的值為()A-3B-1C-1或-3D1或-3【詳解】，是2的相反數(shù)，或，當時，；當時，；綜上，的值為-1或-3，故選：C考察題型一 絕對值非負性應(yīng)用1（2016·山東中考真題）當1<a<2時，代數(shù)式|a2|1a|的值是（）A1B1C3D3【詳解】解：當1a2時，|a2|+|1a|=2a+a1=1故選B2（2019·山東中考模擬）表示實數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是( ) A2abBbCbD2a+b【詳解】根據(jù)數(shù)軸可以判斷出，則，所以所以選C.3（2017·廣西中考模擬）若，那么的值是 （ ）A2或12B2或-12C-2或12D-2或-12【詳解】由可得x=±7，由可得y=±5，由可知：當x=7時，y=5；當x=7時，y=-5，則，故選：A4（2018·浙江中考模擬）如果|a|0，那么（）Aa0Ba0Ca0Da為任意數(shù)【詳解】解： a為任意數(shù)，故選：D5（2017·湖北中考模擬）若|x2|+|y+2|=0，求xy的相反數(shù)【詳解】|x2|+|y+2|=0，x2=0，y+2=0，解得x=2，y=2，xy=2（2）=4，xy的相反數(shù)是46.（2017·廣東中考模擬）已知|a+3|+|b5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值【詳解】（1）由題意得，a+3=0，b5=0，解得a=3，b=5，所以，a+b=3+5=2；（2）|a|+|b|=|3|+|5|=3+5=8考查題型二 有理數(shù)比較大小1（2018·山東中考模擬）如果a+b+c=0，且|a|b|c|則下列說法中可能成立的是（）Ab為正數(shù)，c為負數(shù)Bc為正數(shù)，b為負數(shù)Cc為正數(shù)，a為負數(shù)Dc為負數(shù)，a為負數(shù)【解析】由題目答案可知a，b，c三數(shù)中只有兩正一負或兩負一正兩種情況，如果假設(shè)兩負一正情況合理，要使a+b+c=0成立，則必是b0、c0、a0，否則a+b+c0，但題中并無此答案，則假設(shè)不成立，D被否定，于是應(yīng)在兩正一負的答案中尋找正確答案，若a，b為正數(shù)，c為負數(shù)時，則：|a|+|b|c|，a+b+c0，A被否定，若a，c為正數(shù)，b為負數(shù)時，則：|a|+|c|b|，a+b+c0，B被否定，只有C符合題意故選：C2（2019·北京中考模擬）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，如果a+b0，那么下列結(jié)論正確的是（）A|a|c|Ba+c0Cabc0D【詳解】a+b=0，原點在a，b的中間，如圖，由圖可得：|a|c|，a+c0，abc0，=-1，故選C.12（2019·山東濱州市濱城區(qū)東城中學中考模擬）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下面式子中正確的是()b0a； |b|a|； ab0； aba+bABCD【解析】由圖知，b<0<a，故正確，因為b點到原點的距離遠，所以|b|>|a|,故錯誤，因為b<0<a，所以ab<0，故錯誤，由知a-b>a+b，所以正確.故選：B.4（2018·湖北中考真題）在0，1，0.5，（1）2四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A0 B1 C0.5 D（1）2【詳解】根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得100.5（1）2，在0，1，0.5，（1）2四個數(shù)中，最小的數(shù)是1故選B5（2018·山東中考真題）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列關(guān)系式不正確的是（）A|a|b|B|ac|=acCbdDc+d0【詳解】從a、b、c、d在數(shù)軸上的位置可知：ab0，dc1；A、|a|b|，故選項正確；B、a、c異號，則|ac|=-ac，故選項錯誤；C、bd，故選項正確；D、dc1，則a+d0，故選項正確故選：B.知識點二 有理數(shù)四則運算n 有理數(shù)的加法（重點）有理數(shù)的加法法則：（先確定符號，再算絕對值）1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2.異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；3.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）4.一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。有理數(shù)的加法運算律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即；加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即。n 有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即。注：兩個變化：減號變成加號；減數(shù)變成它的相反數(shù)。n 有理數(shù)的加減混合運算規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算步驟：（1）減法化加法； （2）省略括號和加號； （3）運用加法運算律使計算簡便； （4）運用有理數(shù)加法法則進行計算。 注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行：（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分數(shù)或者比較容易通分的分數(shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分數(shù)一般化為假分數(shù)或者分為整數(shù)和分數(shù)兩部分，再分別相加。n 有理數(shù)的乘法（重點）有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。（數(shù)的倒數(shù)是）多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：（1） 幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)； 負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。（2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0.注：帶分數(shù)與分數(shù)相乘時，通常把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再與分數(shù)相乘。n 有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即。n 有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：（1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即。（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何不為0的數(shù)，都得0。步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。n 有理數(shù)的乘除混合運算運算順序：從左往右進行，將除法化成乘法后，進行約分計算。（注：帶分數(shù)應(yīng)首先化為假分數(shù)進行運算）n 有理數(shù)的四則混合運算運算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。注：除法一般先化為乘法，帶分數(shù)化為假分數(shù)，合理使用運算律1（2018·江蘇中考模擬）計算：|5+3|的結(jié)果是（ ）A8 B8 C2 D2【解析】原式=|-2|=2，故選：D2.（2019·浙江中考真題）某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如右表，則這四天中溫差最大的是（ ）星期一二三四最高氣溫1012119最低氣溫30-2-3A星期一B星期二C星期三D星期四【詳解】星期一溫差：1037；星期二溫差：12012；星期三溫差：11（2）13；星期四溫差：9（3）12；綜上，周三的溫差最大.故選C3（2018·四川中考模擬）如果a，b是有理數(shù)，那么下列各式中成立的是（ ）A如果a<0，b<0，那么ab>0 B如果a>0，b<0，那么ab>0C如果a>0，b<0，那么ab<0 D如果a>0，b<0，且|a|>|b|，那么ab>0【解析】解：A、同號兩數(shù)相加取與加數(shù)相同的符號，a+b<0,故選項錯誤；B、如a=1,b=-2時，a+b=-1<0，故選項錯誤；C、如a=3,b=-2時，a+b>0，故選項錯誤；D、異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，故選項正確故選D4（2019·遼寧中考模擬）計算的正確結(jié)果是（）AB-C1D1【詳解】原式 故選：D.5（2017·山東中考真題）計算(1)|1|，其結(jié)果為( )A2B2C0D1【解析】試題分析：由題可得：原式=1+1=2，故選：B6（2018·遼寧中考模擬）兩個非零有理數(shù)的和為零，則它們的商是（）A1 B0 C1 D1或1【詳解】兩個非零有理數(shù)的和為零，這兩個數(shù)是一對相反數(shù)，它們符號不同，絕對值相等，它們的商是-1，故選A7（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）若-12的倒數(shù)與m+4互為相反數(shù)，則m的值是（ ）A1B-1C2D-2【詳解】-12的倒數(shù)與m+4互為相反數(shù)，得m+4=2，解得m=2，故選：D.8（2018·天津中考模擬）-6÷的結(jié)果等于（）A1B1C36D36【詳解】解：原式=6×6=36故選：D8（2019·平陽縣鰲江中學中考模擬）2×（5）的值是A7B7C10D10【詳解】2×（5）=+(2×5)=10.故選D.9（2019·天津中考模擬）計算（18）÷（6）的結(jié)果等于A3B3CD【詳解】=3考查題型三 與絕對值有關(guān)的分數(shù)化簡1（2018·福建中考模擬）若a0，b0，則代數(shù)式的取值共有（）A2個B3個C4個D5個【詳解】由分析知：可分4種情況：a0，b0，此時ab0，所以=1+1+1=3；a0，b0，此時ab0，所以=111=1；a0，b0，此時ab0，所以=11+1=1；a0，b0，此時ab0，所以=1+11=1；綜合可知：代數(shù)式的值為3或1，故選A2（2018·南宮市奮飛中學中考模擬）已知a，b，c為非零的實數(shù)，則的可能值的個數(shù)為（）A4B5C6D7【解析】解：a、b、c三個數(shù)都是正數(shù)時，a0，ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=4；a、b、c中有兩個正數(shù)時，設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=1+111=0；設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=11+11=0；設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=111+1=2；a、b、c有一個正數(shù)時，設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=111+1=0；設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=11+11=2；設(shè)為a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=1+111=2；a、b、c三個數(shù)都是負數(shù)時，即a0，b0，c0，則ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=2綜上所述：的可能值的個數(shù)為4故選A3.（2019·四川初一期中）有理數(shù)a，bc滿足abc0，的值為（）A1或3B4C0D0或4【詳解】解：abc0，當有理數(shù)a，b，c中有一個數(shù)小于0時，當有理數(shù)a，b，c中三個數(shù)都小于0時，故選：D考察題型四 有理數(shù)乘法運算律的應(yīng)用1（2018·貴州中考真題）計算+的值為（）ABCD【解析】原式= =，=1-=故選：B2（2019·河北中考模擬）利用運算律簡便計算52×（999）+49×（999）+999正確的是A999×（52+49）=999×101=100899B999×（52+491）=999×100=99900C999×（52+49+1）=999×102=101898D999×（52+4999）=999×2=1998【詳解】原式=999×（52+49-1）=999×100=99900故選B3（2016·河北中考真題）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：（1）999×（-15）；（2）999×+999×（）-999×.【詳解】試題分析：根據(jù)題目中所給的規(guī)律，第一題湊整法，第二題提同數(shù)法解決即可.試題解析：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985;（2）999×+999×（）-999×=999×+（）-=999×100=99900.知識點三 有理數(shù)的乘方n 乘方（重點）一般地，個相同的因數(shù)相乘，即a×a×a×an個，記作，讀作的次方。求個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。讀作的次方，也可以讀作的次冪。當?shù)讛?shù)為分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在其右上角寫指數(shù)，指數(shù)要寫的小些。乘方的規(guī)律：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.有理數(shù)乘方的運算方法：1. 根據(jù)乘方的符號規(guī)律確定結(jié)果的符號。2. 計算結(jié)果的絕對值。n 有理數(shù)的混合運算運算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算,從左到右進行；（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序。n 科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即），是正整數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學記數(shù)法。（用科學記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.）把還原成原數(shù)時，只需把的小數(shù)點往前移動位。n 近似數(shù)和有效數(shù)字在實際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字。精確度：表示一個近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度。一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位。1（2018·丹東第九中學中考模擬）下列算式中，運算結(jié)果為負數(shù)的是( )A|-1| B(-2)3 C(-1)×(-2) D(-3)2【解析】本題涉及乘法、絕對值、乘方等知識點在計算時，需要針對每個知識點分別進行計算詳解：A.|1|1，錯誤；B.(-2)38，正確；C.（1）×（2）2，錯誤；D.(-3)29，錯誤；故選：B2（2018·四川成都外國語學校中考模擬）下列各數(shù)|2|，（2）2，（2），（2）3中，負數(shù)的個數(shù)有（）A1個B2個C3個D4個【詳解】解：|2|2，（2）24，（2）2，（2）38，4，8是負數(shù)，負數(shù)有2個故選：B3.（2018·河南中考模擬）若a=4×4，b=|32×1|，c=5+2（22），則a、b、c的大小關(guān)系是（）AabcBcbaCbcaDcab【詳解】因為a=4×4=-16，b=|32×1|=-15，c=5+2（22）=-13.-13>-15>-16.所以cba故選：B考查題型五 有理數(shù)混合運算1（2018·湖北中考模擬）計算：（1）5-（-2）+（-3）-（+4）；（2）（-）×（-24）；（3）（-3）÷××（-15）；（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2017【詳解】解：（1）原式=5+234=53+24=22=0；（2）原式=×24+×24×24=18+1518=15；（3）原式=（3）×××（15）=4×4×5=80；（4）原式=1+|810|（3）÷（1）=1+183=142（2018·湖北中考模擬）計算：（1）15+（8）（11）12 （2）（3） （4）23+（4）2（132）×3【詳解】原式 .（2）原式 （3）原式 ， （4）原式 =323（2018·海南瓊山中學中考模擬）【詳解】原式 考查題型六 用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)1（2019·河南鄭州實驗外國語中學中考模擬）我國倡導的“一帶一路”建設(shè)將促進我國與世界一些國家的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總 人口為4400000000人，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為A44×108B4.4×108C4.4×109D4.4×1010【詳解】解：4 400 000 000=4.4×109，故選C2（2018·河南中考真題）今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達214.7億元，數(shù)據(jù)“214.7億”用科學記數(shù)法表示為（）A2.147×102 B0.2147×103 C2.147×1010 D0.2147×1011【解析】214.7億，用科學記數(shù)法表示為2.147×1010，故選：C3.（2019·安徽中考模擬）據(jù)資料顯示，地球的海洋面積約為360000000平方千米，請用科學記數(shù)法表示地球海洋面積面積約為多少平方千米( )ABCD【解析】詳解：將360000000用科學記數(shù)法表示為：3.6×108故選：B4（2018·廣東中考真題）260000000用科學計數(shù)法表示為( )ABCD【詳解】260000000的小數(shù)點向左移動8位得到2.6，所以260000000用科學記數(shù)法表示為，故選B.5（2019·山東中考模擬）一個整數(shù)8155500用科學記數(shù)法表示為8.1555×1010，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（）A4B6C7D10【詳解】8.1555×1010表示的原數(shù)為81555000000，原數(shù)中“0”的個數(shù)為6，故選B考查題型七 根據(jù)精確度求近似值1（2018·山東中考模擬）近似數(shù)3.02×106精確到（）A百分位 B百位 C千位 D萬位【解析】近似數(shù)3.02×106精確到萬位故選D2（2017·安徽中考模擬）用四舍五入法得到近似數(shù)4.005萬，關(guān)于這個數(shù)有下列說法，其中正確的是（）A它精確到萬位B它精確到0.001C它精確到萬分位D它精確到十位【解析】近似數(shù)4.005萬精確到十位故選D3（2019·山東中考模擬）近似數(shù)1.23×103精確到（）A百分位B十分位C個位D十位【詳解】1.23×103=1 230，這個近似數(shù)精確到十位故選D4（2019·福建中考模擬）30269精確到百位的近似數(shù)是( )A303B30300CD【詳解】本題考查近似數(shù)的概念，按要求對30269取近似值，30269精確到百位的近似數(shù)應(yīng)是303百，選項A明顯錯誤，B選項精確到個位，C選項不是科學記數(shù)法的模型，D選項精確到百位，而且是規(guī)范的科學記數(shù)法.故選:D.5（2019·四川中考真題）用四舍五入法將精確到千位，正確的是（ ）ABCD【詳解】解：130542精確到千位是1.31×105故選：C6（2019·河北中考模擬）近似數(shù)5.10精確到（ ）A個位B十分位C百分位D十位【詳解】解：5.10精確到百分位故選：C7（2018·江蘇中考模擬）今年無錫馬拉松參賽選手91879人，這個數(shù)據(jù)精確到千位并用科學記數(shù)法表示為（）A91×103 B92×103 C9.1×104 D9.2×104【詳解】918799.2×104，故選：D8（2018·廣西中考模擬）近似數(shù)精確到（ ）A十分位B個位C十位D百位【解析】根據(jù)近似數(shù)的精確度：近似數(shù)5.0×102精確到十位故選：C21