專題23 圓考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識要點(diǎn)】知識點(diǎn)一 與圓有關(guān)的概念圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作O，讀作圓O特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形確定圓的條件： 圓心； 半徑， 其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小補(bǔ)充知識：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓 弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作弧AB在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距弦心距、半徑、弦長的關(guān)系：（考點(diǎn)） 圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角三角形的外接圓1）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形2）三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.3）銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個(gè)四邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上，那么這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。弓形與扇形弓形的概念：由弦及其所對的弧組成的圖形。扇形的概念：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。【典型例題】1（2018·陸豐市民聲學(xué)校中考模擬）如圖，AB是O直徑，點(diǎn)C，D在O上，ODAC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ABOD=BACBBAD=CADCC=DDBOD=COD【答案】C【詳解】OD/AC，BOD=BAC、D=CAD、C=COD，故A選項(xiàng)正確，OA=OD，D=BAD，BAD=CAD，故B選項(xiàng)正確，OA=OC，BAD=C，BOD=COD，故D選項(xiàng)正確，由已知條件無法得出C=D，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.2（2018·北京中考模擬）有下列四種說法：半徑確定了，圓就確定了；直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓其中，錯(cuò)誤的說法有（）A1種 B2種 C3種 D4種【答案】B【詳解】圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長的弦，是真命題，故此說法正確；弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯(cuò)誤；半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是弧但比半圓大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說法正確其中錯(cuò)誤說法的是兩個(gè)故選：B3（2018·上海中考模擬）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)共有（）（1）一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓；（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等；（4）三角形的內(nèi)心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C【詳解】（1）一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，正確；（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確；（4）三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等，錯(cuò)誤；故選：C4（2018·湖北中考模擬）有下列說法：等弧的長度相等；直徑是圓中最長的弦；相等的圓心角對的弧相等；圓中90°角所對的弦是直徑；同圓中等弦所對的圓周角相等其中正確的有（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】B【解析】試題解析：同圓或等圓中，能夠相互重合的弧叫等弧，所以長度相等，故正確；連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，所以直徑是最長的弦，故正確；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯(cuò)誤；圓中90°圓周角所對的弦是直徑，故錯(cuò)誤；弦所對的圓周角可在圓心一側(cè)，也可在另一側(cè)，這兩個(gè)圓周角互補(bǔ)，但不一定相等，所以同圓中等弦所對的圓周角也不一定相等，故錯(cuò)誤.綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，故應(yīng)選B.5（2017·廣東中考模擬）如圖，在O中，AB為直徑，CD為弦，已知ACD40°，則BAD的度數(shù)為（ ）ABCD【答案】D【解析】解：在O中，AB為直徑，ADB=90°，B=ACD=40°，BAD=90°B=50°故選D【考查題型匯總】考查題型一 利用圓的半徑相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算1（2019·浙江省杭州第七中學(xué)中考模擬）如圖，A、C、B是O上三點(diǎn)，若AOC=40°，則ABC的度數(shù)是（ ）A10° B20° C40° D80°【答案】B【解析】根據(jù)同一弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半,所以ACB的度數(shù)等于AOB的一半,故選B2（2018·黑龍江中考模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C都在O上，若AOC=140°，則B的度數(shù)是（）A70°B80°C110°D140°【答案】C【解析】詳解：作AC對的圓周角APC，如圖，P=12AOC=12×140°=70°P+B=180°，B=180°70°=110°，故選：C3（2019·四川省平昌中學(xué)中考模擬）如圖，在O中，直徑CD弦AB，則下列結(jié)論中正確的是AAC=ABBC=12BODCC=BDA=BOD【答案】B【詳解】解：直徑CD弦AB，弧AD =弧BD，C=12BOD故選B4（2018·貴州中考模擬）如圖，O是ABC的外接圓，B=60°，O的半徑為4，則AC的長等于（）A43B63C23D8【答案】A【解析】試題解析：連接OA，OC，過點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D，AOC=2B，且AOD=COD=12AOC，COD=B=60°；在RtCOD中，OC=4，COD=60°，CD=32OC=23，AC=2CD=43故選A5（2019·云南中考模擬）如圖，已知：在O中，OABC，AOB=70°，則ADC的度數(shù)為（）A70°B45°C35°D30°【答案】C【詳解】解：OABC，AOB=70°，=AC，ADC=12AOB=35°故選C6（2019·廣西中考模擬）如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)（A、B除外），AOD136°，則C的度數(shù)是（ ）A44°B22°C46°D36°【答案】B【詳解】AOD136°，BOD44°，C22°，故選：B考查題型二 圓心角與圓周角的關(guān)系解題1（2019·武漢市第四十六中學(xué)中考模擬）如圖，BE是O的直徑，半徑OA弦BC，點(diǎn)D為垂足，連AE、EC（1）若AEC28°，求AOB的度數(shù)；（2）若BEAB，EC3，求O的半徑【答案】（1）56（2）3.【詳解】解：1連接OC半徑OA弦BC，AC=AB，AOC=AOB，AOC=2AEC=56，AOB=562BE是O的直徑，ECB=90，AC=ABAEC=BEA，BEA=B，B=AEB=AECB+AEB+AEC=180，B=AEB=AEC=30，EC=3，EB=2EC=6，O的半徑為32（2018·吉林中考模擬）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C是AB延長線上的點(diǎn)，CD與O相切于點(diǎn)D，連結(jié)BD、AD（1）求證；BDCA（2）若C45°，O的半徑為1，直接寫出AC的長【答案】（1）詳見解析；（2）1+2【詳解】(1)證明：連結(jié)OD如圖，CD與O相切于點(diǎn)D，ODCD， 2+BDC90°，AB是O的直徑，ADB90°，即1+290°，1BDC， OAOD， 1A， BDCA； （2）解：在RtODC中，C45°，OC=2OD=2AC=OA+OC=1+2 3（2019·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)中考模擬）已知：如圖，在O中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為點(diǎn)E，如果BAD30°，且BE2，求弦CD的長【答案】43【詳解】解：連接OD，設(shè)O的半徑為r，則OEr2，BAD30°，DOE60°，CDAB，CD2DE，ODE30°，OD2OE，即r2（r2），解得r4；OE422，DEOD2-OE242-2223，CD2DE43知識點(diǎn)二 圓的基本性質(zhì)n 對稱性1. 圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線2. 圓是中心對稱圖形。n 垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1） 過圓心，作垂線，連半徑，造RT，用勾股，求長度；2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分n 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等n 圓周角定理（考點(diǎn)）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半 推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑 （在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）n 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對角【考查題型匯總】考查題型三 運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算1（2019·蘇州高新區(qū)第四中學(xué)校中考模擬）如圖，等腰ABC內(nèi)接于半徑為5的O，ABAC，tanABC13求BC的長【答案】BC6【詳解】連接AO，交BC于點(diǎn)E，連接BO，ABAC，AB=AC，又OA是半徑，OABC，BC2BE，在RtABE中，tanABC13，AEBE=13，設(shè)AEx，則BE3x，OE5x，在RtBEO中，BE2+OE2OB2，(3x)2+(5x)252，解得：x10(舍去)，x21，BE3x3，BC2BE62（2019·四川省平昌中學(xué)中考模擬）如圖，O的半徑OD弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長交O于點(diǎn)E，連結(jié)EC若AB8，CD2（1）求OD的長（2）求EC的長【答案】（1）5 （2）213【詳解】解：(1)設(shè)O半徑為r，則OAODr，OCr2，ODAB，ACO90°，ACBC12AB4，在RtACO中，由勾股定理得：r242+（r2）2，r5，ODr5；(2)連接BE，如圖：由(1)得：AE2r10，AE為O的直徑，ABE90°，由勾股定理得：BE6，在RtECB中，ECBE2+BC262+42213故答案為：(1)5；(2)213.13（2019·廣東中考模擬）如圖，OD是O的半徑，AB是弦，且ODAB于點(diǎn)C連接AO并延長交O于點(diǎn)E，若AB8，CD2，求O半徑OA的長【答案】r5【詳解】解：OD弦AB，AB8，AC12AB=12×84，設(shè)O的半徑OAr，OCODCDr2，在RtOAC中，r2（r2）2+42，解得：r5 考查題型四 利用垂徑定理解決實(shí)際問題1（2018·山東中考模擬）某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑【答案】10cm【解析】解：過點(diǎn)O作OCAB于D，交O于C，連接OB，OCABBD=12AB=12×16=8cm由題意可知，CD=4cm設(shè)半徑為xcm，則OD=（x4）cm在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x4）2+82=x2解得：x=10答：這個(gè)圓形截面的半徑為10cm2（2017·江西南昌二中中考模擬）用工件槽（如圖1）可以檢測一種鐵球的大小是否符合要求，已知工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位：cm）將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖1所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求圖2是過球心O及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，求這種鐵球的直徑【答案】20【解析】連接OA、OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，如圖AC=BD，ACCD，BDCD四邊形ACDB是矩形CD=16cm，PE=4cmPA=8cm，BP=8cm，在RtOAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA4）2 解得：OA=10答：這種鐵球的直徑為20cm3（2018·山東中考模擬）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面(1)請你用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)輸水管道的圓形截面的圓心(保留作圖痕跡)；(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB8 cm，水面最深地方的高度為2 cm，求這個(gè)圓形截面的半徑【答案】（1）詳見解析；（2）這個(gè)圓形截面的半徑是5 cm.【詳解】(1)如圖，作線段AB的垂直平分線l，與弧AB交于點(diǎn)C，作線段AC的垂直平分線l與直線l交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求作的圓心(2)如圖，過圓心O作半徑COAB，交AB于點(diǎn)D，設(shè)半徑為r，則AD12AB4，ODr2，在RtAOD中，r242(r2)2，解得r5，答：這個(gè)圓形截面的半徑是5 cm.考查題型五 圓心角、弧、弦的關(guān)系的應(yīng)用1（2019·富順縣趙化中學(xué)校中考真題）如圖，O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD,連接AD、BC.求證：AD=BC；AE=CE.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【詳解】證明（1）AB=CD，AB=CD，即AD+AC=BC+AC，AD=BC；（2）AD=BC，AD=BC，又ADE=CBE，DAE=BCE，ADECBE（ASA），AE=CE2（2018·上海中考模擬）已知：在O中，弦AB=AC，AD是O的直徑求證：BD=CD【答案】見解析【詳解】證明：AB=AC，AB=ACADB=ADC，AD是O的直徑，B=C=90°，BAD=DAC，BD=CDBD=CD3（2019·江西中考模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，M為弧CD的中點(diǎn)，連接AM，BM，求證：AMBM【答案】見解析.【詳解】四邊形ABCD是正方形，ADBC，弧AD=弧BC，M為弧CD中點(diǎn)，弧MD=弧MC，弧AM=弧BM，AMBM考查題型六 圓周角定理求角的度數(shù)1（2019·遼寧中考模擬）如圖，AB是O直徑，若AOC140°，則D的度數(shù)是（）A20°B30°C40°D70°【答案】A【詳解】AOC140°，BOC180°-AOC=40°，BOC 與BDC 都對AMFM=AEFO=153=35，D12BOC20°，故選A2（2018·江蘇中考真題）如圖，AB為ADC的外接圓O的直徑，若BAD=50°，則ACD=_°【答案】40【詳解】連接BD，如圖，AB為ADC的外接圓O的直徑，ADB=90°，ABD=90°BAD=90°50°=40°，ACD=ABD=40°，故答案為：403（2019·江蘇中考真題）如圖，AB是O的直徑，C、D是O上的兩點(diǎn)，AOC=120°，則CDB=_°【答案】30【詳解】BOC=180°-AOC=180°-120°=60°，CDB12BOC=30°故答案為：304（2019·黑龍江中考真題）如圖，在O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上且ADC=30，則AOB的度數(shù)為_【答案】60【詳解】OABC，AB=AC，AOB=2ADC，ADC=30，AOB=60，故答案為60考查題型七 圓周角定理推論的應(yīng)用1（2018·北京中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在O上，CB=CD，CAD=30°，ACD=50°，則ADB=_【答案】70°【解析】詳解：CB=CD，CAB=CAD=30°，ABD=ACD=50°，ADB=180°-BAD-ABD=70°故答案為：70°. 2（2018·貴州中考真題）如圖，AB是O的直徑，C、D為半圓的三等分點(diǎn)，CEAB于點(diǎn)E，ACE的度數(shù)為_【答案】30°【詳解】如圖，連接OCAB是直徑，AC=CD=BD，AOC=COD=DOB=60°，OA=OC，AOC是等邊三角形，A=60°，CEOA，AEC=90°，ACE=90°60°=30°故答案為30°3.（2019·湖南中考真題）如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，AB=2，ACD=30°，則AD=_【答案】1【詳解】解：AB為直徑，ADB=90°，B=ACD=30°，AD=12AB=12×2=1故答案為1考查題型八 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理求角的度數(shù)1（2019·吉林中考模擬）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC=CB若C=110°，則ABC的度數(shù)等于（ ）A55°B60°C65°D70°【答案】A【詳解】連接AC，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，DAB=180°-C=70°，DC=CB，CAB=12DAB=35°，AB是直徑，ACB=90°，ABC=90°-CAB=55°，故選A2（2019·四川中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，P為DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），則CPD的度數(shù)為（ ）A30°B36°C60°D72°【答案】B【詳解】連接CO、DO，正五邊形內(nèi)心與相鄰兩點(diǎn)的夾角為72°，即COD=72°，同一圓中，同弧或同弦所對應(yīng)的圓周角為圓心角的一半，故CPD=72°×12=36°,故選B.3（2019·廣東中考模擬）如圖，ABC內(nèi)接于O，AC是O的直徑，ACB40°，點(diǎn)D是劣弧BC上一點(diǎn)，連結(jié)CD、BD，則D的度數(shù)是( )A50°B45°C140°D130°【答案】D【詳解】AC是O的直徑，ABC=90°，A=90°-ACB=90°-40°=50°，D+A=180°，D=180°-50°=130°故選D4（2018·遼寧中考模擬）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，若B=80°，則ADC的度數(shù)是（）A60°B80°C90°D100°【答案】D【詳解】四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，ADC=180°-B=180°-80°=100°.故選D.知識點(diǎn)三 與圓有關(guān)的位置關(guān)系n 點(diǎn)與圓的位置有三種：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在O的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在O的內(nèi)部.三點(diǎn)定圓的方法：1）經(jīng)過點(diǎn)A的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)2）經(jīng)過兩點(diǎn)A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點(diǎn)O作為圓心，以O(shè)A的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)3）經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)：情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，過三點(diǎn)的圓不存在；情況二：若A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓反證法：首先假設(shè)某命題結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓），然后推理出與定義、已有定理或已知條件明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題得證?！究疾轭}型匯總】考查題型九 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1（2018·北京中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P（4，3）在O內(nèi)，則O的半徑r的取值范圍是（ ）A0r4B3r4C4r5Dr5【答案】D【詳解】O（0，0），P（3，4），OP=，點(diǎn)P(3,4)在O內(nèi)，O的半徑r，r>5，故選D.2（2017·遼寧中考模擬）矩形ABCD中，AB8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP3AP，如果圓P是以點(diǎn)P 為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）A點(diǎn)B、C均在圓P外；B點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；C點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外；D點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)【答案】C【詳解】AB=8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3APAP=2，根據(jù)勾股定理得出，r=PD=7，PC=9，PB=6r，PC=9r點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外,故選C3（2019·上海中考模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4）如果以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，那么r的值可以?。ǎ〢5B4C3D2【答案】B【詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4），OA32+22=13，OB32+425，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點(diǎn)A、B中有一點(diǎn)在圓O內(nèi)，另一點(diǎn)在圓O外，13r5，r4符合要求故選B4（2016·四川中考模擬）已知矩形ABCD的邊AB=15，BC=20，以點(diǎn)B為圓心作圓，使A，C，D三點(diǎn)至少有一點(diǎn)在B內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在B外，則B的半徑r的取值范圍是（ ）.Ar15B15r20C15r25D20r25【答案】C【解析】當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)在直角BCD中CD=AB=15，BC=20，則BD=25由圖可知15r25，故選Cn 直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)d>r直線l與O相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)d=r直線l與O相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線d<r直線l與O相交切線的性質(zhì)及判定（重點(diǎn)）切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線長定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角三角形內(nèi)切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形【考查題型匯總】考查題型十 直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用1（2019·吉林中考模擬）如圖，在RtABC中，C90°，B30°，BC4cm，以點(diǎn)C為圓心，以2cm長為半徑作圓，試判斷C與AB的位置關(guān)系【答案】相切【詳解】作CDAB于點(diǎn)D，B30°，BC4cm，CDBC2cm，即CD等于圓的半徑CDAB，AB與C相切2（2014·福建中考模擬）如圖，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，A的半徑為7，判斷A與直線BC的位置關(guān)系，并說明理由【答案】A與直線BC相交理由見解析.【解析】A與直線BC相交 過A作ADBC，垂足為點(diǎn)DAB=AC，BC=16，BD=12BC=12×16=8，在RtABC中，AB=10，BD=8，AD=AB2-BD2=102-82=6，O的半徑為7，ADr，A與直線BC相交考查題型十一 利用切線的判定定理判定直線為切線的方法1（2018·山東中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BAD=90°，點(diǎn)E在BC的延長線上，且DEC=BAC（1）求證：DE是O的切線；（2）若ACDE，當(dāng)AB=8，CE=2時(shí)，求AC的長【答案】（1）證明見解析；（2）AC的長為【解析】（1）如圖，連接BD，BAD=90°，點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑，BCD=90°，DEC+CDE=90°DEC=BAC，BAC+CDE=90°BAC=BDC，BDC+CDE=90°，BDE=90°，即：BDDE點(diǎn)D在O上，DE是O的切線；（2）DEACBDE=90°，BFC=90°，CB=AB=8，AF=CF=AC，CDE+BDC=90°，BDC+CBD=90°，CDE=CBDDCE=BCD=90°，BCDDCE，CD=4在RtBCD中，BD=4，同理：CFDBCD，CF=，AC=2AF=2（2019·四川中考模擬）已知：如圖，AB是O的直徑，BC是弦，B30°，延長BA到D，使BDC30°(1)求證：DC是O的切線；(2)若AB2，求DC的長【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】（1）連接OCOB=OC，B=30°，OCB=B=30°，COD=B+OCB=60°，BDC=30°，BDC+COD=90°，DCOC，BC是弦，點(diǎn)C在O上，DC是O的切線，點(diǎn)C是O的切點(diǎn)；（2）解：AB=2，OC=OB=1，在RtCOD中，OCD=90°，D=30°，DC=OC=.考查題型十二 三角形內(nèi)心的應(yīng)用1（2018·河北中考真題）如圖，點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心，AB=4，AC=3，BC=2，將ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長為（）A4.5B4C3D2【答案】B【詳解】連接AI、BI，點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心，AI平分CAB，CAI=BAI，由平移得：ACDI，CAI=AID，BAI=AID，AD=DI，同理可得：BE=EI，DIE的周長=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即圖中陰影部分的周長為4，故選B2（2019·臺灣中考真題）如圖，直角三角形的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長度與角度，求的長度為何？（）ABCD【答案】D【詳解】解：設(shè)，直角三角形的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、點(diǎn)，在中，解得，即的長度為故選：D3（2019·安徽中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，AIC=124°，點(diǎn)E在AD的延長線上，則CDE的度數(shù)為（）A56°B62°C68°D78°【答案】C【解析】點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，BAC=2IAC、ACB=2ICA，AIC=124°，B=180°（BAC+ACB）=180°2（IAC+ICA）=180°2（180°AIC）=68°，又四邊形ABCD內(nèi)接于O，CDE=B=68°，故選C考察題型十三 利用切線長定理進(jìn)行計(jì)算1（2019·河南中考模擬）如圖，在RtABC中，ACB=90°，以AC為直徑的O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作O的切線交BC于點(diǎn)E（1）求證：BE=EC（2）填空：若B=30°，AC=2，則DB=_；當(dāng)B=_度時(shí)，以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形【答案】（1）見解析；（2）3；45.【詳解】（1）證明：連接DOACB=90°，AC為直徑，EC為O的切線；又ED也為O的切線，EC=ED，又EDO=90°，BDE+ADO=90°，BDE+A=90°又B+A=90°，BDE=B，BE=ED，BE=EC；（2）解：ACB=90°，B=30°，AC=2，AB=2AC=4，BC=6，AC為直徑，BDC=ADC=90°，由（1）得：BE=EC，DE=BC=3，故答案為3；當(dāng)B=45°時(shí)，四邊形ODEC是正方形，理由如下：ACB=90°，A=45°，OA=OD，ADO=45°，AOD=90°，DOC=90°，ODE=90°，四邊形DECO是矩形，OD=OC，矩形DECO是正方形故答案為452（2019·陜西高新一中中考模擬）如圖，在ABC中，C90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的O與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H，連接BE(1)求證：EHEC；(2)若AB4，sinA，求AD的長【答案】（1）證明見解析（2） 【詳解】(1)如圖，連接OE，AC與O相切，OEAC，且BCAC，OEBCCBEOEB，EOOB，EBOOEBCBEEBO，且CEBC，EHAB，CEEH(2)sinA=，設(shè)OE2a，AO3a，(a0)OB2a，ABAO+OB3a+2a4a，ADABBD44aAD.3（2019·山東中考模擬）如圖，CD是O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上（1）求證：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2【解析】（1）證明：連接OD，如圖所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切線，OD是O的半徑，ODB+BDC=90°AB是O的直徑，ADB=90°，OBD+CAD=90°，CAD=BDC（2）C=C，CAD=CDB，CDBCAD，BD=AD，又AC=3，CD=2考查題型十四 直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的應(yīng)用1（2019·四川中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，滿足，求的值；（3）若的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個(gè)根、，求的內(nèi)切圓半徑.【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）1【詳解】（1）證明：，無論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）由題意得：，即， 解得：； （3）解：解方程得：，根據(jù)題意得：，即設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖，由切線長定理可得：，直角三角形的內(nèi)切圓半徑=；2（2017·江蘇中考模擬）實(shí)踐操作如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母.(保留作圖痕跡，不寫作法)作BAC的平分線，交BC于點(diǎn)0以點(diǎn)0為圓心，OC為半徑作圓.綜合運(yùn)用在你所作的圖中，(1)直線AB與0的位置關(guān)系是 (2)證明:BA·BD=BC·BO;(3)若AC=5,BC=12，求0的半徑【答案】實(shí)踐操作，作圖見解析；綜合運(yùn)用：（1）相切；（2）證明見解析；（3） 【解析】實(shí)踐操作，如圖所示：綜合運(yùn)用：綜合運(yùn)用：（1）AB與O的位置關(guān)系是相切AO是BAC的平分線，DO=CO，ACB=90°，ADO=90°，AB與O的位置關(guān)系是相切；（2）AB、AC是切線BDO=BCA=90°又DBC=CBABDOCBA即： （3）因?yàn)锳C=5，BC=12，所以AD=5，AB=13，所以DB=135=7，設(shè)半徑為x ，則OC=OD=x ，BO=（12x），x2+82=（12x）2，解得：x=答：O的半徑為 考查題型十五 圓內(nèi)接四邊形綜合1.（2016·浙江中考真題）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，BAD=105°，DBC=75°（1）求證：BD=CD；（2）若圓O的半徑為3，求的長【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】（1）四邊形ABCD內(nèi)接于圓O， DCB+BAD=180°， BAD=105°，DCB=180°105°=75°， DBC=75°， DCB=DBC=75°， BD=CD；（2）DCB=DBC=75°， BDC=30°，由圓周角定理，得，的度數(shù)為：60°， 故=，答：的長為2（2017·江蘇中考模擬）如圖所示，C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)OB上一點(diǎn)，BMO120°，求C的半徑 【答案】3.【詳解】四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，BMO=120°，BAO=60°， AB是C的直徑，AOB=90°，ABO=90°-BAO=90°-60°=30°， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），OA=3， AB=2OA=6， C的半徑長=AB2=3n 圓和圓的位置關(guān)系圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設(shè)O1、O2的半徑分別為R、r（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部d>R+r兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部d=R+r兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)R-r<d<R+r兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部d=R-r兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例0d<R-r兩圓內(nèi)含【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況【考查題型匯總】考查題型十六 圓與圓的位置關(guān)系1（2019·上海中考真題）已知A與B外切，C與A、B都內(nèi)切，且AB5，AC6，BC7，那么C的半徑長是（ ）A11B10C9D8【答案】C【詳解】設(shè)A的半徑為X,B的半徑為Y,C的半徑為Z.解得 故選C2（2019·福建中考模擬）如圖，已知POQ=30°，點(diǎn)A、B在射線OQ上（點(diǎn)A在點(diǎn)O、B之間），半徑長為2的A與直線OP相切，半徑長為3的B與A相交，那么OB的取值范圍是（）A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7【答案】A【詳解】設(shè)A與直線OP相切時(shí)切點(diǎn)為D，連接AD，ADOP，O=30°，AD=2，OA=4，當(dāng)B與A相內(nèi)切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，如圖1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；當(dāng)A與B相外切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，如圖2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半徑長為3的B與A相交，那么OB的取值范圍是：5OB9，故選A3（2019·上海市南塘中學(xué)中考模擬） 已知的半徑長是5，點(diǎn)在上，且，如果與有公共點(diǎn)，那么的半徑長的取值范圍是（）ABCD【答案】D【詳解】解：的半徑長是5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)到的最大距離為8，最小距離為2，與有公共點(diǎn)，故選D4（2011·江蘇中考真題）在ABC中，C=90°AC=3cmBC=4cm，若AB的半徑分別為1cm，4cm則A與B的位置關(guān)系是 ( )A外切B內(nèi)切C相交D外離【答案】A【詳解】解：C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，A，B的半徑分別為1cm，4cm，又1+4=5，A與B的位置關(guān)系是外切故選A5（2019·上海中考模擬）已知和，其中為大圓，半徑為3如果兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于2，那么兩圓外切時(shí)圓心距等于（ ）A1B4C5D8【答案】B【詳解】解：已知為大圓，半徑為3如果兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于2，故半徑為1，故兩圓外切時(shí)圓心距等于314.故選B.考查題型十七 利用圓的相關(guān)知識解決動態(tài)問題1（2019·河南中考模擬）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)D、E位于AB兩側(cè)的半圓上，射線DC切O于點(diǎn)D，已知點(diǎn)E是半圓弧AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是射線DC上的動點(diǎn)，連接DE、AE，DE與AB交于點(diǎn)P，再連接FP、FB，且AED45°（1）求證：CDAB；（2）填空：當(dāng)DAE 時(shí)，四邊形ADFP是菱形；當(dāng)DAE 時(shí)，四邊形BFDP是正方形【答案】（1）詳見解析；（2）67.5°；90°【分析】（1）要證明CDAB，只要證明ODFAOD即可，根據(jù)題目中的條件可以證明ODFAOD，從而可以解答本題；（2）根據(jù)四邊形ADFP是菱形和菱形的性質(zhì)，可以求得DAE的度數(shù)；根據(jù)四邊形BFDP是正方形，可以求得DAE的度數(shù)【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示，射線DC切O于點(diǎn)D，ODCD，即ODF90°，AED45°，AOD2AED90°，ODFAOD，CDAB；（2）連接AF與DP交于點(diǎn)G，如圖所示，四邊形ADFP是菱形，AED45°，OAOD，AFDP，AOD90°，DAGPAG，AGE90°，DAO45°，EAG45°，DAGPEG22.5°，EADDAG+EAG22.5°+45°67.5°，故答案為：67.5°；四邊形BFDP是正方形，BFFDDPPB，DPBPBFBFDFDP90°，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)DE是直徑，EAD90°，故答案為：90°知識點(diǎn)四 正多邊形和圓n 正多邊形正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形正多邊形的相關(guān)概念：Ø 正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心Ø 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑Ø 正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角Ø 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：畫圓內(nèi)接正多邊形方法：1） 量角器（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）2） 量角器+圓規(guī)（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）3） 圓規(guī)+直尺（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形.）n 圓錐設(shè)O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l，弧長公式：l=nR180 （弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）扇形面積公式：S扇形=n360R2=12lR母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：S=R2+Rl（l為母線）備注：圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積常見組合圖形的周長、面積的幾種常見方法： 公式法； 割補(bǔ)法； 拼湊法； 等積變換法【考查題型匯總】考查題型十七 正多邊形的有關(guān)計(jì)算1（2013·四川中考真題）如圖，要擰開一個(gè)邊長為a6 mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為( )A6mmB12mmC6mmD4mm【答案】C【解析】設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是AB，AOB=BOC=60°，OA=OB=AB=OC=BC，四邊形ABCO是菱形，AB=6mm,AOB=60°，cosBAC=，AM=6×= (mm)，OA=OC，且AOB=BOC，AM=MC=AC，AC=2AM= (mm).故選C.2（2015·廣東中考模擬）正多邊形的中心角是36°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是( )A10B8C6D5【答案】A【解析】試題分析：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n，正多邊形的中心角是36°，360n=36°，解得n=10故選A考查題型十八 弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積的計(jì)算方法1（2019·盤錦市雙臺子區(qū)第四中學(xué)中考模擬）.如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑 CA=6，圓心角ACB=120°， 則此圓錐高 OC 的長度是_【答案】4【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為 r，AC=6，ACB=120°，=2r， r=2，即：OA=2，在 RtAOC 中，OA=2，AC=6，根據(jù)勾股定理得，OC=4， 故答案為42（2019·貴州中考真題）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，則該圓錐的母線長為_【答案】6.【詳解】圓錐的底面周長cm，設(shè)圓錐的母線長為，則： ，解得，故答案為3（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，從直徑為4cm的圓形紙片中，剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形OAB，且點(diǎn)O、A、B在圓周上，把它圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是_cm【答案】【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，連結(jié)AB，如圖，扇形OAB的圓心角為90°，AOB90°，AB為圓形紙片的直徑，AB4cm，OBcm，扇形OAB的弧AB的長，2r，r（cm）故答案為考查題型十九 應(yīng)用弧長公式解決運(yùn)動軌跡或掃過面積問題1（2019·四川中考真題）如圖，在中，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積