熱點(diǎn)09 二次函數(shù)【命題趨勢(shì)】中考中對(duì)二次函數(shù)的考查除定義、識(shí)圖、性質(zhì)、求解析式等常規(guī)題外，還會(huì)出現(xiàn)與二次函數(shù)有關(guān)的貼近生活實(shí)際的應(yīng)用題，閱讀理解和探究題，二次函數(shù)與其他函數(shù)方程、不等式、幾何知識(shí)的綜合題在壓軸題中出現(xiàn)的可能性很大【滿分技巧】一、二次函數(shù)表達(dá)式的確定步驟：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組；（3）解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達(dá)式二、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 （1）利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題，應(yīng)理清變量所表示的實(shí)際意義，注意隱含條件的使用，同時(shí)考慮問(wèn)題要周全，此類問(wèn)題一般是運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)總成本”或“總利潤(rùn)=每件商品所獲利潤(rùn)×銷售數(shù)量”，建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）最值：若函數(shù)的對(duì)稱軸在自變量的取值范圍內(nèi)，頂點(diǎn)坐標(biāo)即為其最值，若頂點(diǎn)坐標(biāo)不是其最值，那么最值可能為自變量?jī)啥它c(diǎn)的函數(shù)值；若函數(shù)的對(duì)稱軸不在自變量的取值范圍內(nèi)，可根據(jù)函數(shù)的增減性求解，再結(jié)合兩端點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)比，從而求解出最值三、二次函數(shù)的圖象與幾何圖形的關(guān)系將函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起這類試題一般難度較大解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)模型，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題1（山東省濱州市2019年中考數(shù)學(xué)一模試卷）拋物線y=+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（3，1）B（3，1）C（，1）D（，1）【答案】C【解析】拋物線y=+1中，2x3=0時(shí)，x=，故拋物線y=+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，1）故選C2（四川省成都市都江堰市2019屆中考數(shù)學(xué)一診試題）對(duì)于函數(shù)y=2（x3）2，下列說(shuō)法不正確的是A開口向下B對(duì)稱軸是C最大值為0D與y軸不相交【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)y=2（x3）2的圖象，a=2<0，開口向下，對(duì)稱軸x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），函數(shù)有最大值0，故選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選D3（2019福建）若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是Ay1<y2<y3By1<y3<y2Cy3<y2<y1Dy2<y3<y1【答案】D【解析】經(jīng)過(guò)A（m，n）、C（3-m，n），二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=，B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）與對(duì)稱軸的距離B最遠(yuǎn)，D最近，|a|>0，y1>y3>y2，故選D4（2019年浙江省金華市婺城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷）當(dāng)x=a和x=b（ab）時(shí)，二次函數(shù)y=2x22x+3的函數(shù)值相等、當(dāng)x=a+b時(shí)，函數(shù)y=2x22x+3的值是A0B2C1D3【答案】D【解析】當(dāng)x=a或x=b（ab）時(shí)，二次函數(shù)y=2x22x+3的函數(shù)值相等，以a、b為橫坐標(biāo)的點(diǎn)關(guān)于直線x=對(duì)稱，則，a+b=1，x=a+b，x=1，當(dāng)x=1時(shí)，y=2x22x+3=22+3=3，故選D5（2019年河南省濮陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)二模試卷）若函數(shù)y=（m1）x26x+m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為A2或3B2或3C1或2或3D1或2或3【答案】C【解析】當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)解析式為：y=6x+是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，函數(shù)y=（m1）x26x+m的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，624×（m1）×m=0，解得，m=2或3，故選C6（黑龍江省哈爾濱市2019中考模擬測(cè)試三數(shù)學(xué)試題）將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為ABCD【答案】B【解析】拋物線y=x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得：y=（x2）2；再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得：y=（x2）2+3故選B7（2019年湖北省孝感市安陸市、應(yīng)城市、云夢(mèng)縣、孝昌縣四縣市中考數(shù)學(xué)三模試卷）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=2kx24x+k2的圖象大致是ABCD【答案】D【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，k<0，由圖知當(dāng)x=1時(shí)，y=k<1，k>1，拋物線y=2kx24x+k2開口向下，對(duì)稱軸為x=，1<<0，對(duì)稱軸在1與0之間，當(dāng)x=0時(shí)，y=k2>1故選D8（安徽省亳州市蒙城縣第三中學(xué)2019屆中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）已知兩點(diǎn)A（5，y1），B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)若y1<y2y0，則x0的取值范圍是Ax0>1Bx0>5Cx0<1D2<x0<3【答案】A【解析】點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)且y1<y2y0，a<0，x0（5）>|3x0|，x0>1故選A9（福建省廈門市集美區(qū)2019年初中畢業(yè)班總復(fù)習(xí)練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題）二次函數(shù)y=x2+bxt的對(duì)稱軸為x=2若關(guān)于x的一元二次方程x2+bxt=0在1<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則t的取值范圍是A4t<5B4t<3Ct4D3<t<5【答案】A【解析】拋物線的對(duì)稱軸x=2，b=4，則方程x2+bxt=0，即x24xt=0的解相當(dāng)于y=x24x與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程x2+bxt=0在1<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)x=1時(shí)，y=1+4=5，當(dāng)x=3時(shí)，y=912=3，又y=x24x=（x2）24，當(dāng)4t<5時(shí)，在1<x<3的范圍內(nèi)有解t的取值范圍是4t<5，故選A10（天津市河西區(qū)2019屆一模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線（為常數(shù)，）有下列結(jié)論：拋物線的對(duì)稱軸為；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；拋物線上有兩點(diǎn)P（x0，m），Q（1，n），若，則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為ABCD【答案】D【解析】=x2xa2a，對(duì)稱軸為直線x=正確，x2xa2a=1，x2xa2a1=0，=（1）24×1×（a2a1）=1+4a2+4a+4=（2a+1）2+4>0，方程（x+a）（xa1）=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；正確，P（x0，m），Q（1，n）在拋物線上，m=x02x0a2a，n=121a2a=a2a，m<n，x02x0a2a<a2a，x02x0<0，x0（x01）<0x0>x01，x0>0且x01<0，即0<x0<1，正確，綜上所述：正確的結(jié)論有，共3個(gè)，故選D11（2019年湖北省隨州市隨縣五校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）和（4，0）之間，其部分圖象如圖所示則下列結(jié)論：4ab=0；c<0；c>3a；4a2b>at2+bt（t為實(shí)數(shù)）；點(diǎn)（，y1），（，y2），（）是該拋物線上的點(diǎn)，則y2<y1<y3，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A1B2C3D4【答案】C【解析】拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，4ab=0，所以正確；與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）和（4，0）之間，由拋物線的對(duì)稱性知，另一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（0，0）之間，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，即c<0，故正確；由知，x=1時(shí)y>0，且b=4a，即ab+c=a4a+c=3a+c>0，所以正確；由函數(shù)圖象知當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值，4a2b+cat2+bt+c，即4a2bat2+bt（t為實(shí)數(shù)），故錯(cuò)誤；拋物線的開口向下，且對(duì)稱軸為直線x=2，拋物線上離對(duì)稱軸水平距離越小，函數(shù)值越大，y2>y1>y3，故錯(cuò)誤，故選C二、填空題12（2019荊州）二次函數(shù)的最大值是_【答案】7【解析】，即二次函數(shù)的最大值是7，故答案為：713（2019年河南省許昌市中考二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)y=x2+2x2圖象上兩點(diǎn)A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，則y1與y2的大小關(guān)系是_（填“<”“>”或“=”）【答案】>【解析】y=x2+2x2=（x1）21，對(duì)稱軸x=1，A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，點(diǎn)A與B在對(duì)稱軸的右側(cè)，1<0，x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，y1>y2，故答案為：>14（2019年江蘇省鹽城市東臺(tái)市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）已知拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對(duì)稱軸是直線x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，1），則a+b+c的值為_【答案】1【解析】拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對(duì)稱軸是直線x=2，P（3，1）對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），當(dāng)x=1時(shí)，y=1，即a+b+c=1，故答案為：115（2019年河南省中考數(shù)學(xué)信息卷）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一個(gè)根是2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_【答案】（2，5）【解析】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，方程ax2+bx+c=5的一個(gè)根是2，當(dāng)x=2時(shí)，y=ax2+bx+c=5，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）故答案為：（2，5）16（吉林省德惠市第三中學(xué)2019屆九年級(jí)5月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）將拋物線y=2（x1）2+3繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_【答案】y=2（x1）2+3【解析】拋物線y=2（x1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），由于拋物線y=2（x1）2+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是開口方向相反，則所得拋物線解析式為y=2（x1）2+3，故答案為：y=2（x1）2+317（2019襄陽(yáng)）如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間（單位：s）之間具有的關(guān)系為，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為_s【答案】4【解析】依題意，令得：，得：，解得：（舍去）或，即小球從飛出到落地所用的時(shí)間為，故答案為：4三、解答題18（2019湖州）已知拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（1）求的取值范圍；（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由【解析】（1），由題意，得，的取值范圍是（2），理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為直線，又，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，19（天津市紅橋區(qū)2019屆九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線（1）若該拋物線與x軸有公共點(diǎn)，求c的取值范圍；（2）設(shè)該拋物線與直線交于M，N兩點(diǎn)，若，求C的值；（3）點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn)，都垂直于x軸，垂足分別為A，B，若，求c的取值范圍【解析】（1）拋物線與x軸有交點(diǎn)，一元二次方程有實(shí)根，即解得（2）根據(jù)題意，設(shè)由，消去y，得由，得方程的解為，解得（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，兩式相減，得，即，即，其中由，即，得當(dāng)時(shí)，不合題意又，得c的取值范圍是20（2019梧州）我市某超市銷售一種文具，進(jìn)價(jià)為5元/件售價(jià)為6元/件時(shí)，當(dāng)天的銷售量為100件在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件設(shè)當(dāng)天銷售單價(jià)統(tǒng)一為x元/件（x6，且x是按0.5元的倍數(shù)上漲），當(dāng)天銷售利潤(rùn)為y元（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）要使當(dāng)天銷售利潤(rùn)不低于240元，求當(dāng)天銷售單價(jià)所在的范圍；（3）若每件文具的利潤(rùn)不超過(guò)80%，要想當(dāng)天獲得利潤(rùn)最大，每件文具售價(jià)為多少元？并求出最大利潤(rùn)【解析】（1）由題意，y=（x-5）（100-×5）=-10x2+210x-800，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x2+210x-800（2）要使當(dāng)天利潤(rùn)不低于240元，則y240，y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，-10<0，拋物線的開口向下，當(dāng)天銷售單價(jià)所在的范圍為8x13（3）每件文具利潤(rùn)不超過(guò)80%，得x9，文具的銷售單價(jià)為6x9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，對(duì)稱軸為x=10.5，6x9在對(duì)稱軸的左側(cè)，且y隨著x的增大而增大，當(dāng)x=9時(shí)，取得最大值，此時(shí)y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售價(jià)為9元時(shí)，最大利潤(rùn)為280元21（河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019年中招模擬大聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得BQM是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接AC，將AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到A1O1C1，點(diǎn)A、O、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、O1、C1、若A1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，y=+x+2（2）點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，D（0，2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx2將（4，0）代入得：4k2=0，k=直線BD的解析式為y=x2當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，BQM是直角三角形，此時(shí)Q（1，0）；當(dāng)BQBD時(shí)，BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍），x=3；Q（3，2）或Q（1，0）（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO=1，OC=2，設(shè)A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），當(dāng)A1、C1在拋物線上時(shí)，A1的橫坐標(biāo)是1；當(dāng)O1、C1在拋物線上時(shí)，A1的橫坐標(biāo)是13