專題24 相似形考點總結(jié)【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】知識點一 相似圖形及比例線段相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.相似多邊形：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。特征：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段【基礎(chǔ)題型】1（2019·上海中考模擬）如果a：b3：2，且b是a、c的比例中項，那么b：c等于（）A4：3B3：4C2：3D3：2【答案】D【詳解】解：a：b=3：2，b是a和c的比例中項，即a：b=b：c，b：c=3：2故選：D2（2019·上海中考模擬）下列四條線段能成比例線段的是（）A1，1，2，3B1，2，3，4C2，2，3，3D2，3，4，5【答案】C【解析】A選項中，因為1：12：3，所以A中的四條線段不是成比例線段；B選項中，因為1：23：4，所以B中的四條線段不是成比例線段；C選項中，因為2：2=3：3，所以C中的四條線段是成比例線段；D選項中，因為2：33：4，所以D中的四條線段不是成比例線段.故選C.3（2018·安徽中考模擬）若xx+y=35，則xy等于 （ ）A32B38C23D85【答案】A【詳解】根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得xy=32，故選A4（2019·河北中考模擬）下列圖案中花邊的內(nèi)外邊緣（每個圖形邊緣等寬）所圍成的圖形不相似的是（）ABCD【答案】D【詳解】A、兩個不等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合要求；B、兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求；C、兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合要求；D、兩個矩形，雖然四個角對應(yīng)相等，但對應(yīng)邊不成比例，故D選項符合要求，故選D5（2019·四川中考真題）若a:b=3:4，且a+b=14，則2a-b的值是（）A4B2C20D14【答案】A【詳解】解：由a：b3：4a:b=3:4知，所以所以由a+b=14得到：，解得a=6所以b=8所以故選：A【考查題型匯總】考查題型一 利用平行線分線段成比例定理求線段長度1（2019·上海中考模擬）如圖，在ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，DE/BC，EF/CD交AB于F，那么下列比例式中正確的是()AAFDF=DEBCBDFDB=AFDFCEFCD=DEBCDAFBD=ADAB【答案】C【詳解】A、EFCD，DEBC，AFDF=AEEC，AEAC=DEBC，CEAC，AFDFDEBC，故本選項錯誤；B、EFCD，DEBC，AFDF=AEEC，AEEC=ADBD，AFDF=ADBD，ADDF，DFDBAFDF，故本選項錯誤；C、EFCD，DEBC，DEBC=AEAC，EFCD=AEAC，EFCD=DEBC，故本選項正確；D、EFCD，DEBC，ADAB=AEAC，AFAD=AEAC，AFAD=ADAB，ADDF，AFBDADAB，故本選項錯誤.故選C.2（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在ABC的邊AB、AC上，下列條件中能夠判定DEBC的是（）AADAB=DEBCBADBD=AEACCBDAB=CEAEDADAE=ABAC【答案】D【詳解】A由ADAB=DEBC，不能得到DEBC，故本選項不合題意；B由ADBD=AEAC，不能得到DEBC，故本選項不合題意；C由BDAB=CEAE，不能得到DEBC，故本選項不合題意；D由ADAE=ABAC，能得到DEBC，故本選項符合題意；故選D3（2019·河北中考模擬）在ABC中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD2，BD3，那么由下列條件能夠判定DEBC的是( )ADEBC23BDEBC25CAEAC23DAEAC25【答案】D【詳解】解：當(dāng)ADDB=AEEC或ADAB=AEAC時, DEBD,即AEEC=23或AEAC=25.所以D選項是正確的.4（2017·重慶中考模擬）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于( ) A58B38C35D25【答案】A【解析】DEBC，EFAB，AEEC=ADDB=35，AEEC=BFFC，BFFC=35，CFBF=53，CFBF+CF=53+5，即CFBC=58.故選A.5（2018·浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)中考模擬）如圖，在ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DEBC，已知AE=6，則EC的長是A4.5 B8 C. 10.5 D14【答案】B。【解析】DEBC，AEEC=ADDB。又AE=6，ADDB=34，6EC=34EC=8。故選B。考查題型二 作平行線構(gòu)造成比例線段的方法1（2018·浙江中考模擬）如圖，已知直線abc，直線m分別交直線a、b、c于點A、B、C，直線n分別交直線a、b、c于點D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，則BECF的值應(yīng)該（）A等于13B大于13C小于13D不能確定【答案】B【解析】作AHn分別交b、c于G、H，如圖，易得四邊形AGED、四邊形AHFD為平行四邊形，HF=GE=AD=4，直線abc，ABAC=BGCH，即BGCH=22+4=13，BECF=BG+2CH+2=13CH+2CH+2=13（CH+2）+43CH+2=13+43CH+2，BECF13故選：B2（2018·廣西中考真題）如圖，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，則 AE：EC 的值是（ ）A3：2B4：3C6：5D8：5【答案】D【詳解】如圖，過點 D作 DFCA 交 BE于 F，DFCEDFCE=BDBC，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，DFCE=25，則 CE=52DF，DFAE，DFAE=DGAG，AG：GD=4：1，DFAE=14，則 AE=4DF，AECE=4DF52DF=85，故選D3（2019·山西中考模擬）如圖，ABC 中，BAC90°，ABAC，延長 CA 至點 D，使 ADAC，點 E 是 BC 的中點，連接 DE 交 AB 于點 F，則 AF：FB 的值為( )A12B23C22D223【答案】A【詳解】解：過點AD作AGBC，與DE交于點GADDC=AGEC，AGBE=AFFB， BE=CE，AFFB=ADDC AC=AD， AF：FB=1:2.故選：A.知識點二 相似三角形相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。相似圖形的概念：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“”，讀作“相似于”。相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（五）：斜邊和任意一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：1.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3.相似三角形的面積比等于相似比的平方相似三角形與實際應(yīng)用：關(guān)鍵：巧妙利用相似三角形性質(zhì)，構(gòu)建相似三角形求解?！究疾轭}型匯總】考查題型三 相似三角形的判定方法1（2019·上海中考模擬）如圖，在ABC中，點D、E分別在ABC的邊AB、AC上，如果添加下列某個條件，不一定能使ADE與ABC相似，那么添加的這個條件是(   )AAED=BBADE=CCADAC=AEABDADAB=DEBC【答案】D【詳解】解：A，當(dāng)AEDB時，ADEABC(AAA)；故本選項不符合題意； B，當(dāng)ADEC時，ADEABC(AAA)；故本選項不符合題意； C, 當(dāng)ADACAEAB時，ADEABC(SAS)；故本選項不符合題意； D，當(dāng)ADABDEBC時，公共角不是夾角，不能推斷ADEABC；故本選項符合題意，故選D.2（2019·上海中考模擬）如圖，點D、E分別在ABC的邊AB、AC上，且DE與BC不平行下列條件中，能判定ADE與ACB相似的是（）AADAC=AEABBADAE=ABACCDEBC=AEABDDEBC=ADAC【答案】A【詳解】解:在ADE與ACB中，ADAC=AEAB，且A=A，ADEACB故選:A3（2019·浙江中考模擬）如圖，在ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DEBC，若BD=2AD，則（）AADAB=12BAEEC=12CADEC=12DDEBC=12【答案】B【解析】DEBC，ADEABC，ADAB=AEAC=DEBC，BD=2AD，ADAB=13，DEBC=13，AEEC=12，故選A4（2019·四川中考模擬）以下各圖放置的小正方形的邊長都相同，分別以小正方形的頂點為頂點畫三角形，則與ABC相似的三角形圖形為（）ABCD【答案】A【解析】設(shè)每個小正方形的邊長為1,則ABC的各邊長分別為：2, 2,10，同理求得：A中三角形的各邊長為：2,1, 5，與ABC的各邊對應(yīng)成比例，所以兩三角形相似；故選A.5（2019·廣西中考真題）如圖，ABEFDC，ADBC，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（ ）A3對B5對C6對D8對【答案】C【詳解】圖中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，ABEFDC，ADBCAEGADCCFGCBA共有6個組合分別為：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA故選：C6（2013·浙江中考真題）已知A1B1C1，A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則A1B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，則A1B1C1A2B2C2，對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（）A正確，錯誤 B錯誤，正確 C，都錯誤 D，都正確【答案】D【解析】A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，且A1B1C1與A2B2C2的周長相等，B1C1=B2C2。A1B1C1A2B2C2（SSS）。故正確。A1=A2，B1=B2，A1B1C1A2B2C2。B1C1B2C2=A1B1C1的周長A2B2C2的周長=1。B1C1=B2C2。A1B1C1A2B2C2（ASA）。故正確。綜上所述，都正確。故選D。考查題型四 利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算1（2018·甘肅中考模擬）有一塊直角邊AB=3cm，BC=4cm的RtABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（）A67B3037C127D6037【答案】D【解析】試題解析：如圖，過點B作BPAC，垂足為P，BP交DE于QSABC=12ABBC=12ACBP，BP=AB·BCAC=3×45=125DEAC，BDE=A，BED=C，BDEBAC，DEAC=BQBP設(shè)DE=x，則有：x5=125-x125，解得x=6037，故選D2（2019·上海中考模擬）如圖，已知ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么SAFE：S四邊形FCDE為( )A1：3B1：4C1：5D1：6【答案】C【詳解】解：連接CE，AEBC，E為AD中點，AEBC=AFFC=12 FEC面積是AEF面積的2倍設(shè)AEF面積為x，則AEC面積為3x，E為AD中點，DEC面積=AEC面積=3x四邊形FCDE面積為5x，所以SAFE：S四邊形FCDE為1：5故選：C3（2019·四川中考真題）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使，連結(jié)EF交DC于點G，則（ ）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【詳解】解：設(shè)，四邊形ABCD是平行四邊形，點F是BC的中點，故選：D4（2019·山東中考真題）如圖，在ABC中，AC=2，D為BC邊上的一點，且CAD=B若ADC的面積為a，則ABD的面積為（）A2aB52aC3aD72a【答案】C【詳解】CAD=B，ACD=BCA，ACDBCA，SACDSBCA=ACAB2，即aSBCA=14，解得，BCA的面積為4a，ABD的面積為：4a-a=3a，故選：C5（2019·江蘇中考真題）若ABCA'B'C'，相似比為1:2，則ABC與A'B'C'的周長的比為（）A2:1B1:2C4:1D1:4【答案】B【詳解】ABCA'B'C'，相似比為1:2，ABC與A'B'C'的周長的比為1:2故選：B6（2018·黑龍江中考真題）兩個相似三角形的最短邊分別是5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么小三角形的周長為（ ）A14cmB16cmC18cmD30cm【答案】C【解析】由題可得，兩個相似三角形的周長比等于相似比，也就是兩個最短邊的比為5:3，設(shè)兩三角形周長分別為5xcm，3xcm，則，解得x=6，所以，即小三角形周長為18cm故選C7（2019·云南中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則DEF的面積與BAF的面積之比為（ ）A3：4B9：16C9：1D3：1【答案】B【詳解】四邊形ABCD為平行四邊形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16故選B8（2011·浙江中考真題）（11·臺州）若兩個相似三角形的面積之比為14，則它們的周長之比為（ ）A12 B14 C15 D116【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，利用面積之比是1:4，求出相似比，然后再根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，即可求出它們的相似比.兩個相似三角形的面積之比是1:4，兩個相似三角形的相似比是1:2.兩個相似三角形的周長之比是1:2.故選擇A.考查題型五 ；利用相似三角形的判定和性質(zhì)求線段或角度1（2019·湖南中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G(1)求證：BF=CF；(2)若BC=6，DG=4，求FG的長【答案】(1)證明見解析；(2)FG=2.【詳解】(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ADCD，AD=BC，EBFEAD，BFAD=BEEA，BE=AB，AE=AB+BE，BFAD=12，BF=12AD=12BC，BF=CF；(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ADCD，F(xiàn)GCDGA，F(xiàn)GDG=FCAD，即FG4=12，解得，F(xiàn)G=22（2016·山東中考模擬）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EFAM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N（1）求證：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長【答案】（1）見解析；（2）4.9【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，AB=AD，B=90°，ADBC，AMB=EAF，又EFAM，AFE=90°，B=AFE，ABMEFA；（2）B=90°，AB=12，BM=5，AM=13，AD=12，F(xiàn)是AM的中點，AF=12AM=6.5，ABMEFA，BMAF=AMAE，即56.5=13AE，AE=16.9，DE=AE-AD=4.93（2019·遼寧中考模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFEB(1)求證：ADFDEC(2)若AB4,AD33,AE3,求AF的長.【答案】（1）見解析（2）AF=23【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形ADBC ABCDADF=CED B+C=180°AFE+AFD=180°,AFE=BAFD=CADFDEC(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形ADBC CD=AB=4又AEBC AEAD在RtADE中，DE=AD2+AE2=(33)2+32=6 ADFDECADDE=AFCD336=AF4AF=234（2017·江蘇中考模擬）如圖，ABC中，CD是邊AB上的高，且（1）求證：ACDCBD；（2）求ACB的大小【答案】（1）證明見試題解析；（2）90°【解析】（1）CD是邊AB上的高，ADC=CDB=90°，ACDCBD；（2）ACDCBD，A=BCD，在ACD中，ADC=90°，A+ACD=90°，BCD+ACD=90°，即ACB=90° 5（2013·山東中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2=ABAD；（2）求證：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值【答案】（1）見解析（2）見解析（3）ACAF=74【詳解】解：（1）證明：AC平分DABDAC=CABADC=ACB=90°ADCACBADAC=ACAB即AC2=ABAD（2）證明：E為AB的中點CE=12AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD（3）CEADAFDCFEADCE=AFCFCE=12ABCE=12×6=3AD=443=AFCFACAF=74考查題型六 利用相似三角形測量河寬1（2019·吉林中考模擬）如圖，一位測量人員，要測量池塘的寬度 AB 的長，他過 A、B 兩點畫兩條相交于點 O 的射線，在射線上取兩點 D、E ，使 ODOB=OEOA=13 ，若測得 DE=37.2 米，他能求出 A、B 之間的距離嗎？若能，請你幫他算出來；若不能，請你幫他設(shè)計一個可行方案【答案】可以求出A、B之間的距離為111.6米.【詳解】解：ODOB=OEOA，AOB=EOD（對頂角相等），AOBEOD，DEAB=OEOA=13，37.2AB=13，解得AB=111.6米所以，可以求出A、B之間的距離為111.6米2（2018·陜西中考真題）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標(biāo)桿DE，使得點E與點C、A共線已知：CBAD，EDAD，測得BC1m，DE1.5m，BD8.5m測量示意圖如圖所示請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB【答案】河寬為17米【詳解】CBAD，EDAD，CBAEDA90°，CABEAD，ABCADE，ADAB=DEBC，又AD=AB+BD，BD=8.5，BC1，DE1.5，AB+8.5AB=1.51，AB17，即河寬為17米3（2019·安徽中考模擬）為了估計河的寬度，勘測人員在河的對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸分別取點B、D、E、C，使點A、B、D在一條直線上，且ADDE，點A、C、E也在一條直線上，且DE/BC.經(jīng)測量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的寬度AB為多少米？【答案】河的寬度為18米【詳解】解：設(shè)寬度AB為x米，DE/BC，ABCADE，ABAD=BCDE，又BC=24，BD=12，DE=40代入得xx+12=2440，解得x=18，答：河的寬度為18米考查題型七 利用相似三角形測量物高1（2018·陜西省西安高新第一中學(xué)初中校區(qū)中考模擬）太原雙塔寺又名永祚寺，是國家級文物保護(hù)單位，由于雙塔（舍利塔、文峰塔）聳立，被人們稱為“文筆雙塔”，是太原的標(biāo)志性建筑之一，某校社會實踐小組為了測量舍利塔的高度，在地面上的C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時地面上的點E，標(biāo)桿的頂端點D，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC4米，將標(biāo)桿CD向后平移到點C處，這時地面上的點F，標(biāo)桿的頂端點H，舍利塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得FG6米，GC53米請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算舍利塔的高度AB【答案】55米【詳解】EDCEBA，F(xiàn)HCFBA,GHAB=FGFA,DCBA=ECEA，又DC=HG，F(xiàn)GFA=ECEA，即659+AC=44+AC，AC=106米，又 DCAB=ECEA，2AB=44+106，AB=55米.答：舍利塔的高度AB為55米2（2019·蕪湖市第二十九中學(xué)中考模擬）如圖是小明設(shè)計利用光線來測量某古城墻CD高度的示意圖，如果鏡子P與古城墻的距離PD12米，鏡子P與小明的距離BP1.5米，小明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點C，小明眼睛距地面的高度AB1.2米，那么該古城墻的高度是？【答案】9.6米【詳解】解：APBCPD，ABPCDP，ABPCDP，即：，解得：PD9.6（米）答：該古城墻的高度是9.6m3（2019·廣東中考模擬）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高【答案】樹高為 5.5 米【詳解】DEFDCB90°，DD， DEFDCB DEDC=EFCB，DE0.4m，EF0.2m，CD8m，0.48=0.2CB， CB4（m），ABAC+BC1.5+45.5（米）答：樹高為 5.5 米.4（2019·西安交通大學(xué)附屬中學(xué)中考模擬）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小亮在點D處測得自己的影長DF3m，沿BD方向從D后退4米到G處，測得自己的影長GH5，如果小亮的身高為1.7m，求路燈桿AB的高度【答案】路燈桿AB高5.1m【詳解】CDBF，ABBF，CDAB，CDFABF，CDABDFBF，同理可得EGABGHBH，DFBFGHBH，3BD+359+BD，解得BD6，1.7AB33+6，解得AB5.1答：路燈桿AB高5.1m5（2018·廣西柳州八中中考模擬）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度如圖，當(dāng)李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB1.25 m，已知李明直立時的身高為1.75 m，求路燈的高CD的長(結(jié)果精確到0.1 m)【答案】路燈的高CD的長約為6.1 m.【解析】設(shè)路燈的高CD為xm，CDEC，BNEC，CDBN，ABNACD，BNCD=ABAC，同理，EAMECD，又EAMA，ECDCxm，1.75x=1.25x-1.75，解得x6.1256.1路燈的高CD約為6.1m6（2018·陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)中考模擬）數(shù)學(xué)活動小組的小穎、小明和小華利用皮尺和自制的兩個直角三角板測量學(xué)校旗桿MN的高度，如示意圖，ABC和ABC是他們自制的直角三角板，且ABCABC，小穎和小明分別站在旗桿的左右兩側(cè)，小穎將ABC的直角邊AC平行于地面，眼睛通過斜邊AB觀察，一邊觀察一邊走動，使得A、B、M共線，此時，小華測量小穎距離旗桿的距離DN=19米，小明將ABC的直角邊BC平行于地面，眼睛通過斜邊BA觀察，一邊觀察一邊走動，使得B、A、M共線，此時，小華測量小明距離旗桿的距離EN=5米，經(jīng)測量，小穎和小明的眼睛與地面的距離AD=1米，BE=1.5米，（他們的眼睛與直角三角板頂點A，B的距離均忽略不計），且AD、MN、BE均與地面垂直，請你根據(jù)測量的數(shù)據(jù)，計算旗桿MN的高度.【答案】11米【詳解】解：過點C作CEMN于E，過點C作CFMN于F，則EFBEAD1.510.5（m），AEDN19，BFEN5，ABCABC，MAEBMF，AEMBFM90°，AMFMBF，AEMF=MEB'F ，19MF=MF+0.55 MF192 ，NF=B'E=1.5, MN=MF+NF, MN=MF+B'E=192+1.5=11 答：旗桿MN的高度約為11米考查題型八 利用相似三角形解決盲區(qū)問題1（2018·陜西省西安高新逸翠園學(xué)校中考模擬）如圖，兩棵樹的高度分別為AB=6m，CD=8m，兩樹的根部間的距離AC=4m，小強(qiáng)正在距樹AB的20m的點P處從左向右前進(jìn)，如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1.6m，當(dāng)小強(qiáng)前進(jìn)多少米時，就恰好不能看到CD的樹頂D?【答案】前進(jìn)11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D.【解析】設(shè)FG=x米那么FH=x+GH=x+AC=x+4（米）AB=6m，CD=8m，小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1.6m，BG=4.4m，DH=6.4mBAPC，CDPC，ABCD，F(xiàn)G：FH=BG：DH，即FGDH=FHBG，x×6.4=（x+4）×4.4，解得：x=8.8（米），208.8=11.2米因此前進(jìn)11.2米時就恰好能看到樹CD的樹頂D考查題型九 利用相似三角形解決其它實際問題1（2018·河北中考模擬）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC12 cm，高AD8 cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且矩形的長與寬的比為32，求這個矩形零件的邊長【答案】個矩形零件的長為6 cm，寬為4 cm或長為7213cm，寬為4813cm.【解析】 四邊形PQMN是矩形，BCPQ，APQABC，PQBC=AHAD，由于矩形長與寬的比為3：2，分兩種情況：若PQ為長，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則3k12=8-2k8，解得：k=2，PQ=6cm，PN=4cm；PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則2k12=8-3k8，解得：k=2413，PN=7213cm，PQ=4813cm；綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm；或長為7213cm，寬為4813cm2（2018·陜西初三期末）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4D=80mm, .把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.(1)求證：AEFABC;(2)求這個正方形零件的邊長;【答案】（1）見解析；（2）正方形零件的邊長為48mm【詳解】(1)證明：四邊形EGFH為正方形， BC/ EF,AEF=B，AFE=CAEFABC;(2)解：設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則KD=EF=xmm, AK= (80-x) mm，EF/ BC,AEFABC,ADBC,解得x=48.答：正方形零件的邊長為48mm.考查題型十 利用相似三角形解決動態(tài)幾何問題1（2017·天津中考模擬）在RtABC中，C90°，AC20cm，BC15cm現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運(yùn)動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運(yùn)動如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（1）用含t的代數(shù)式表示RtCPQ的面積S；（2）當(dāng)t3秒時，P、Q兩點之間的距離是多少？（3）當(dāng)t為多少秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與ABC相似？【答案】1 S=（20t-4t2）cm2；210cm；3 t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與ABC相似【詳解】（1）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=204t，因此RtCPQ的面積為S=12CP×CQ=12×（20-4t）×2t=20t-4t2（0t5）；（2）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=204t，當(dāng)t=3秒時，CP=204t=8cm，CQ=2t=6cm在RtCPQ中，由勾股定理得：PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；（3）由題意得：AP=4t，CQ=2t，則CP=204t分兩種情況討論：當(dāng)RtCPQRtCAB時，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得：t=3秒；當(dāng)RtCPQRtCBA時，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得：t=4011秒因此t=3秒或t=4011秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與ABC相似知識點三 位似位似圖形定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心注意：1.位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2.位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線。位似中心的位置：形內(nèi)、形外、形上。畫位似圖形的步驟：1.確定位似中心.2.確定原圖形的關(guān)鍵點.3.確定位似比.4.根據(jù)對應(yīng)點所在直線經(jīng)過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，再按照原圖的順序連接各點 ( 對應(yīng)點都在位似中心同側(cè)，或兩側(cè) ) .在直角坐標(biāo)系中的位似圖形坐標(biāo)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：1.平移：和原圖形一模一樣 （和原圖形全等且能與原圖形重合）2.軸對稱：面積和原圖形一樣 也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋?.旋轉(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個。4.位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等 邊就不一定相等了?！究疾轭}型匯總】考查題型十一 識別位似圖形和位似中心1（2018·四川中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC與A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，且頂點都在格點上，則點P的坐標(biāo)為（）A（4，3）B（3，4）C（3，3）D（4，4）【答案】A【詳解】如圖，點P的坐標(biāo)為（-4，-3）故選A2（2018·河北中考模擬）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點F與點C是一對對應(yīng)點，點F的坐標(biāo)是（1，1），點C的坐標(biāo)是（4，2），則它們的位似中心的坐標(biāo)是（ ）A（0，0）B（1，0）C（2，0）D（3，0）【答案】C【解析】點F與點C是一對對應(yīng)點，可知兩個位似圖形在位似中心同旁，位似中心就是CF與x軸的交點，設(shè)直線CF解析式為y=kx+b，將C（4，2），F(xiàn)（1，1）代入，得，解得，即y=x+，令y=0得x=2，O坐標(biāo)是（2，0）；故選C3（2015·四川中考真題）如圖，OAB與OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，OCD=90°，CO=CD若B（1，0），則點C的坐標(biāo)為（ ）A（1，2）B（1，1）C（2，2）D（2，1）【答案】B【詳解】OAB=OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB與等腰RtOCD是位似圖形，點B的坐標(biāo)為(1，0)，BO=1，則AO=AB=22，A(12，12)，等腰RtOAB與等腰RtOCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1:2，點C的坐標(biāo)為：(1，1).故選B.4（2018·河北中考模擬）如圖，A'B'C'是ABC以點O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若A'B'C'的面積與ABC的面積比是4：9，則OB'：OB為()A2：3B3：2C4：5D4：9【答案】A【解析】由位似變換的性質(zhì)可知，ABAB，ACAC，ABCABCA'B'C'與ABC的面積的比4：9，A'B'C'與ABC的相似比為2：3，OB'：OB=2：3.故選：A5（2019·甘肅中考模擬） 如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（1，3）、B（3，0），以原點為位似中心，將線段AB放大得到線段CD，若點C的坐標(biāo)為（6，0），則點D的坐標(biāo)為（）A（3，6）B（2，4.5）C（2，6）D（1.5，4.5）【答案】C【詳解】由題意得，OAB與ODC為位似圖形，OABODC，由題意得，OB3，OC6，OAB與ODC的相似比為1：2，點D的坐標(biāo)為（1×2，3×2），即（2，6），故選C6（2019·陜西中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點坐標(biāo)為（）A（3，2）B（3，1）C（2，2）D（4，2）【答案】A【詳解】正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為13，ADBG=13，BG=6，AD=BC=2，ADBG，OADOBG，=13，OA2+OA=13，解得：OA=1，OB=3，C點坐標(biāo)為：（3，2），故選A7（2018·廣西中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（3，6）、B（9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是（ ）A（1，2）B（9，18）C（9，18）或（9，18）D（1，2）或（1，2）【答案】D【詳解】試題分析：方法一：ABO和ABO關(guān)于原點位似， ABOABO且OA'OA13 .13.AE13AD2，OE13OD1.A（1,2）.同理可得A（1,2）.方法二：點A（3，6）且相似比為13，點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是（3×13，6×13），A（1,2）.點A和點A（1,2）關(guān)于原點O對稱，A（1,2）.故答案選D.考查題型十二 位似圖形的應(yīng)用1（2013·浙江中考模擬）如圖，DEF是由ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，則DEF與ABC的面積比是（ ）A1:2B1:4C1:5D1:6【答案】B【解析】由題意可知DEF與ABC的位似比為12，其面積比是14，故選B2（2019·河北中考模擬）如圖，以點O為位似中心，將ABC縮小后得到ABC，已知OB=3OB，則ABC與ABC的面積比為（）A1：3B1：4C1：5D1：9【答案】D【解析】解：OB=3OB，OB：OB=1：3，以點O為位似中心，將ABC縮小后得到ABC，ABCABC，AB：ABOB：OB=1：3，SA'B'C'SABC=(13)2=19.故選D3（2016·天津中考模擬）如圖，在ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則SDEF：S四邊形EFBC為（）A2：5 B4：25 C4：31 D4：35【答案】C【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可證明DEFBAF，可得DFBF=EFAF=25，由此求得DEF和AFE、ABF的面積之間的關(guān)系SDEFSABF=425，SDEFSADF=25， 設(shè)SDEF=S，則SABF=254S，SADF=52S，所以SABD=SADF+SABF=254S+52S=354S，再由四邊形ABCD為平行四邊形，可得SABD=SDBC=354S，因此可得S四邊形EFBC=SBDCSDEF=354SS=314S，所以SDEF：S四邊形EFBC=4：31故選C4（2012·廣東中考模擬）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于點O，AD=1，BC=3，則SAOD：SBOC等于（）A1：2 B1：3 C4：9 D1：9【答案】D【解析】, 與相似，=5（2017·四川中考真題）如圖，四邊形和是以點為位似中心的位似圖形，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ）A4：9B2：5C2：3D【答案】A【解析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，可知，然后根據(jù)相似圖形的面積比等于相似比的平方，可知其面積比為4:9.故選：A.6（2019·廣西中考真題）如圖，ABC與A'B'C'是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，若點A2,2,B3,4，C6,1，B'6,8則A'B'C'的面積為_【答案】18【詳解】ABC與A'B'C'是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，若點B3,4，B'6,8，位似比為：36=12，A2,2，C6,1，A'4,4,C'12,2，A'B'C'的面積為：6×8-12×2×4-12×6×6-12×2×8=18，故答案為：1840