“14.3 用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式 一次函數(shù)與二元一次方程（組）”教學設計人教版 數(shù)學 八年級上冊第十四章第三節(jié)第三課時河北省滄州市第十四中學 王建華一、教學內(nèi)容解析1.教材的地位和作用函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學模型。用函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式，使學生不僅能加深對方程（組）、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學的統(tǒng)一美。本節(jié)是學生認識了一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組及一元一次不等式的基礎上，從變化和對應的角度去認識一次函數(shù)與方程、不等式的關系，是站在更高的起點上的動態(tài)分析。本節(jié)課是“用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式”的第三節(jié)課，是對一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進行分析后，對一次函數(shù)和二元一次方程（組）關系的探究，學生在探索過程中不斷體驗數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，這不僅是對前面所學知識的升華，也是為下面學習一次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)打下堅實的基礎。2.教學重難點重點：一次函數(shù)與二元一次方程（組）關系的探索。難點：綜合運用方程（組）、不等式和函數(shù)的知識解決實際問題。二、教學目標設置知識技能：理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關系，會用圖象法解二元一次方程組。數(shù)學思考：經(jīng)歷一次函數(shù)與二元一次方程（組）關系的探索及相關實際問題的解決過程，學會用函數(shù)的觀點去認識問題。解決問題：能綜合應用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（組）解決相關實際問題。培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想解決數(shù)學問題的能力。情感態(tài)度：在探究活動中培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數(shù)學的價值，建立自信心。三、學生學情分析從心理特征來說，八年級學生的邏輯思維已逐步從經(jīng)驗型向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨之迅速發(fā)展，但同時這一階段的學生普遍具有求知欲高、模仿能力強，思維多依賴于具體直觀形象的特點，所以在教學中要抓住這些特點，一方面要較好的激發(fā)學生求知和探索的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性，讓學生在實踐經(jīng)驗中體會方程和函數(shù)的密切聯(lián)系。從認知狀況來說，學生在此前已經(jīng)具有了變量與函數(shù)的知識積累，掌握了二元一次方程（組）和一次函數(shù)的相關知識，并且已經(jīng)對一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進行了分析，初步建立了數(shù)（代數(shù)表達式）形（圖象）結(jié)合的意識，這為順利完成本節(jié)課的教學任務做好了鋪墊，但對函數(shù)圖象的理解，由于其抽象程度較高，學生可能會產(chǎn)生一定的困難，所以教學中應注意發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合的思想。四、教學策略分析本學段的學生思考和探索的意愿、能力有所提高，并在探索的過程中能分析、歸納，形成自己的觀點，所以教法和學法的安排遵循了有利于學生自主探索、動手實踐、合作交流。教法的選擇：通過創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生求知和探究的欲望。把知識的獲得置于探究活動之中，通過探索研究使學生深刻體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，通過動手畫圖使學生體驗利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的過程，提高學生分析問題和解決問題的能力。根據(jù)“問題探究交流應用提高”的流程，對難點進行層層鋪設，使學生在學習中經(jīng)歷知識的形成與應用的過程，更好的理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關系，從而感受自我奮斗后成功的喜悅。學法的指導：鼓勵學生自主探索和合作交流，引導學生自主地從事畫圖、觀察、歸納與交流等教學活動，鼓勵學生從多個角度獲得解題方法，促進學生對問題的多方面理解，形成多樣化的解決問題的意識，從而使學生形成對數(shù)學知識的理解和有效的學習策略。同時注意精選題目，做多種形式的練習，力爭把學生思維展開。五、教學過程（一）感知身邊數(shù)學結(jié)合前面對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間關系的探究，我開門見山提出問題：“我們學過的二元一次方程（組）也是一次的，它們和一次函數(shù)之間是否也有聯(lián)系呢？”，從而直接引出課題。導入“上網(wǎng)業(yè)務辦理”的問題情景：我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務，發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費；方式B除收月基費外再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。這時，身邊一顧客說他每月上網(wǎng)的費用按方式A計算比按方式B計算少花3元。問這位顧客每月上網(wǎng)多長時間？方式B中的月基費是多少元？學生已經(jīng)學習過列方程（組）解應用題，因此學生很快列出二元一次方程，為下面的探究做好鋪墊。設計意圖 建構(gòu)主義認為，在實際情境中學習可以激發(fā)學生的學習興趣。因此，用“上網(wǎng)收費”這一生活實際創(chuàng)設情境，并用以引出問題為下面“啟發(fā)學生去思、激勵學生去探、鼓勵學生去說”做好鋪墊，努力給學生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢，從而喚起學生強烈的求知欲，使他們以躍躍欲試的姿態(tài)投入到下面的探索活動中來。另外，此問題的設置也為后面例題的講解做好鋪墊，有利于教學難點的突破。（二）體驗探索樂趣活動一：探究一次函數(shù)與二元一次方程的關系問題：1.方程是什么方程？它有多少個解？你能舉出幾個這個方程的解嗎？2.二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為_.思考：是否任意的二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為這種一次函數(shù)的形式？3.點（10,3.5），（20,4），（30,4.5）都在直線上嗎？為什么？4.直線上的任意一點（,）一定是二元一次方程的一個解嗎？5.任意的二元一次方程是否都能轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的形式嗎？怎么轉(zhuǎn)化？6.一次函數(shù)的圖象上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的一個解嗎？試一試：在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖象.思考：直線上任意一點（,），則，一定是方程的一個解嗎？ 設計意圖 用一連串的問題由易到難，由特殊到一般，引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程在數(shù)與形兩個方面的關系，并用一道題目（試一試）讓學生鞏固對數(shù)形結(jié)合的認識，加深對數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系的理解，為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標的關系作好鋪墊?；顒佣禾骄恳淮魏瘮?shù)與二元一次方程組的關系問題1. 在同一坐標系中畫出二元一次方程所對應的直線，觀察兩直線有交點嗎？你能確定這個交點的坐標嗎？請同學們快速得到方程組的解是 .觀察并思考：這個交點坐標與方程組的解有什么關系？探索：是否任意兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標都是它們所對應的二元一次方程組的解？此時教師留給學生充分探索交流的時間與空間，對學生可能出現(xiàn)的疑問給予幫助。之后，簡單的概括用圖象法解二元一次方程組的步驟。師生共同歸納出：從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。問題2.當自變量取何值時，一次函數(shù)與的值相等？這個函數(shù)值是什么？這個問題與解方程組是同一個問題嗎？進一步歸納出：從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值。設計意圖 學生經(jīng)過自主探索、合作交流，從數(shù)和形兩個角度認識一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，真正掌握本節(jié)課的重點知識，從而在頭腦中再現(xiàn)知識的形成過程，避免單純地記憶，使學習過程成為一種再創(chuàng)造的過程。此時教師及時對學生進行鼓勵，充分肯定學生的探究成果，關注學生的情感體驗。（三）乘坐智慧快車再現(xiàn)本節(jié)課剛開始時的引例，并把引例中的條件和結(jié)論稍加變化，得到例題：我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務，發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費；方式B除收月基費外再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。經(jīng)過咨詢，方式B的月基費是20元，那么我該如何選擇收費方式更合算？請同學們幫我出出主意。解法1：設上網(wǎng)時間為分鐘，若按方式A則收元；若按方式B則收元。然后在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，計算出交點坐標，結(jié)合圖象，利用直線上點位置的高低直觀地比較函數(shù)值的大小，得到當一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400分鐘時，選擇方式A更合算；當上網(wǎng)時間等于400分鐘時，選擇方式A、B的費用一樣多；當上網(wǎng)時間多于400分鐘時，選擇方式B更合算。解法2：設上網(wǎng)時間為分鐘，方式B與方式A兩種計費的差額為元，得到一次函數(shù)：，即，然后畫出函數(shù)的圖象，計算出直線與軸的交點坐標，類似地用點位置的高低直觀地找到答案。注意：所畫的函數(shù)圖象都是射線。設計意圖 為培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和規(guī)范解題的習慣，引導學生將上網(wǎng)問題延伸為例題，鼓勵學生從多個角度獲得解決問題的方法，促進了學生對問題的多方面理解，形成多樣化解決問題的意識，從而激起學生強烈的求知欲望和主人翁的學習姿態(tài)。通過此問題的探究，使學生有效地理解本節(jié)課的難點，體會數(shù)形結(jié)合這一思想方法的應用。（四）體驗成功喜悅1.勇敢者的游戲：.以二元一次方程方程的解為坐標的所有點都在一次函數(shù)_的圖象上.求直線與的交點坐標，即求二元一次方程組 的解，解得_，由此可知直線與的交點坐標是_.先請同學勇敢的舉手爭取答題的機會，再出示題目。在沒有看到題目是什么的情況下，這樣做的確需要很大的勇氣，是名副其實的“勇敢者的游戲”2.鞏固例題教學效果：先展示一組照片“滄州的名片”，展示家鄉(xiāng)滄州的代表和特色，激發(fā)學生對家鄉(xiāng)的熱愛，調(diào)動學生解決問題的激情。之后，給出一道練習題：據(jù)悉，滄州鐵獅子展館門票標價是20元/張，近期正在對團體購票進行優(yōu)惠活動，有兩種活動方案：方案一是團隊中每位游客按標價8折購買；方案二是團隊中除5張按標價購買外，其余按標價7折購買。如果你是團隊的負責人，你會如何選擇購買方案使整個團隊更合算？學生獨立思考，并選擇自己喜歡的方法解決問題。設計意圖 八年級學生對競爭充滿了興趣，我抓住學生的這一心理特征，給出兩個搶答題勇敢者的游戲，使學生的眼、耳、口、腦得到充分的調(diào)動，并在搶答中品味成功的快樂，提高思維的速度。同時，冠之以生動的題目和形式的練習，將學生的思維活動引入了頂峰，也將本節(jié)課的氣氛帶到極點，在這樣的氣氛中，學生鞏固對新知識的理解，提高了靈活應用新知識的能力。趁著學生情緒高漲，迅速拋出一道就在學生身邊的問題，激發(fā)學生對家鄉(xiāng)的熱愛，調(diào)動學生解決問題的激情，讓學生激情澎湃的進入問題的解決過程中，本題及時的鞏固教學效果，進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，更好地促進學生對本節(jié)課難點的理解和應用，幫助學生不斷完善新的認知結(jié)構(gòu)。（五）分享你我收獲在課堂臨近尾聲時，向?qū)W生提出：通過今天的學習，你有什么收獲？你印象最深的是什么？設計意圖 學生回顧本節(jié)課所學的知識、技能和思想、方法。通過提問的方式，鼓勵學生暢所欲言總結(jié)對本節(jié)課的收獲和體會。培養(yǎng)學生歸納和語言表達能力，鼓勵學生從數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學情感等方面進行自我評價。（六）開拓嶄新天地布置作業(yè)：一、課堂學習反思姓 名日 期今天數(shù)學課的課題所學的重要數(shù)學知識理解得最好的地方疑惑（或還需進一步理解的地方）對課堂表現(xiàn)的評價（包括對自己、同學、老師）所學內(nèi)容在日常生活中的應用舉例二、必做題：教材P128的練習和習題14.3 第5、6、11題；選做題：同桌的兩個同學為一個小組，設計一道能用函數(shù)知識解決的實際問題。設計意圖 新課程強調(diào)發(fā)展學生數(shù)學交流的能力，用課堂學習反思給學生提供一種表達數(shù)學思想方法和情感的方式，以體現(xiàn)評價體系的多元化，并使學生嘗試用數(shù)學的眼睛觀察事物，體驗數(shù)學的價值。作業(yè)由必做題和選做題組成，體現(xiàn)分層教學，讓“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，同時讓課堂中的知識在課下得到延伸，讓學生體會“數(shù)學來源于生活有服務于生活”。六、教學設計反思整節(jié)課貫穿以學生為主體的原則；突出數(shù)形結(jié)合的思想；體現(xiàn)數(shù)學建模的價值；滲透應用數(shù)學的意識。關注學生個性的發(fā)展，讓每一個學生在課堂上都有所感悟，都有著各自的數(shù)學體驗，不同的人在數(shù)學上都得到不同的發(fā)展。