2.1.1 2.1.1 三種基本運算三種基本運算 種取值，故稱雙值變量。 前面介紹了數(shù)字信號是離散信號，其變量只有兩電路表示：高電位(UH) ; 低電位(UL)雙值代數(shù)表示：兩個符號“ 1 ” ;“ 0 ”這些變量進行三種基本運算： 定義：邏輯代數(shù)是用于處理有限多個邏輯變量的第1頁/共130頁邏輯乘(與)、 邏輯加(或)、 邏輯反(非)定義：開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。一、與運算FE AB第2頁/共130頁 真值表 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A B FFE AB第3頁/共130頁邏輯電路稱為與門，與門的邏輯符號為：即 Ff(A，B)AB=ABAB 。實現(xiàn)邏輯乘的 ABF曾用符號 A B&F國標符號ABF美國符號第4頁/共130頁滅為0。定義：開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈F 第5頁/共130頁 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A B F真值表F 第6頁/共130頁 號為：實現(xiàn)這種邏輯關(guān)系的電路稱或門，或門的邏輯符即：Ff(A，B)ABAB ABF+曾用符號 1ABF國標符號ABF美國符號第7頁/共130頁1 00 1A F真值表第8頁/共130頁 1國標符號美國符號門的邏輯符號為：完成非運算的電路稱非門。函數(shù)式為：FA 。非 曾用符號第9頁/共130頁2.1.22.1.2邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等第10頁/共130頁二、邏輯函數(shù)的相等第11頁/共130頁2.1.3 2.1.3 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法第12頁/共130頁2.2.1 2.2.1 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理00011101010100111010 01第13頁/共130頁三、交換律00 A11 AAAAAAA0 AA1 AAABBAABBAAA 1AA 0第14頁/共130頁四、結(jié)合律第15頁/共130頁六、摩根律BAABBABA證：用真值表法證明BAABABABBABABA第16頁/共130頁七、常用公式AABABABAAABAAB冗余律添加律CAABBCCAAB第17頁/共130頁BCAABCCAABBCAACAAB)(CAABBCACAB)1 ()1 (CAABHGEBCDCAAB)(BCHGEBCDCAAB)(CAABBCCAABHGEDBCCAAB)(1 第18頁/共130頁2.2.2 2.2.2 重要規(guī)則重要規(guī)則一、代入規(guī)則例:BAAB令 代入式中,則BCB CBABCABCA)(A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F,則等式仍然成任何一個含有變量A的邏輯等式,如果將所有出現(xiàn)立。第19頁/共130頁以此推廣得到摩根律的一般形式: DCBAABCD DCBADCBA第20頁/共130頁二、反演規(guī)則。另外不屬于單個變量上的反號號應(yīng)保持不變。符號的優(yōu)先順序不變(先與后或，除非另加括號。) 使用反演規(guī)則時，應(yīng)注意保持原函數(shù)式中的運算即由),( CBAF求),( CBAF+0 11 0+AAAA第21頁/共130頁)(EDCBAF)(EDCBAF例2：CBAF(直接去掉反號)CBAFCBACBACBAF)(其實反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：)(CABBAF按反演規(guī)則可直接寫出：)(CABBAF第22頁/共130頁若用摩根律則先對原函數(shù)兩邊取非，得：)()()()(CABBACABBACABBACABBAF第23頁/共130頁三、對偶規(guī)則(2)若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。(1)若一個定理是正確的，則其對偶式也一定正確。結(jié)論:由 F(A，B，C )求F(A，B，C ) 0 1 1 0+AAAA第24頁/共130頁(3) (F)=F第25頁/共130頁四、展開規(guī)則一個多變量函數(shù)F=f(X1,X2,Xn)，可以將其中任意一個變量，例如X1分離出來，并展開成：),(21nXXXfF), 1 (), 0(), 1 (), 0(21212121nnnnXXfXXXfXXXfXXXfX上述算式之正確性的驗證只要令X1=0或1分別代入便知。第26頁/共130頁例：試化簡下列函數(shù)：)(EADACAABAF)0)(1 (01 1)1)(0(10 0EDCBAEDCBAF解：)()()0)(1 (01 10EBADEEBAEDCBA第27頁/共130頁2.2.32.2.3幾種導(dǎo)出幾種導(dǎo)出( (復(fù)合復(fù)合) )的運算的運算 1 FFAB A A B B11ABF FAB F A A B B1ABF第28頁/共130頁AAABBB C C CDDD F F F=AB+CD 1 +1 ABFCD&1第29頁/共130頁n 異或的邏輯符號:n =1AABBFFFAB曾用符號美國符號國標符號=1AABBFFFAB曾用符號美國符號國標符號n同或的邏輯符號:AF BBABA異或AF BBAAB同或第30頁/共130頁異或和同或的真值表如下:A B A B A B第31頁/共130頁A A=0 A A=11 A=A 0 A=A(2) 0 A=A 1 A=A1 1=0 0 0=10 0=0 1 1=1(1) 1 0=0 1=1 0 1=1 0=0A A=1 A A=0第32頁/共130頁A B=B A A B=B A(4)結(jié)合律 A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C(5)分配律 =ABC+ABC=A(B C)=左式證: 右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)A(B C)=AB AC第33頁/共130頁若 A B=C 則 A C=B 或 B C=A 若 A B=C 則 A C=B 或 B C=A(6) 因果互換律=A+BC+BC=A+(B C)=左式 證:右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC第34頁/共130頁 第35頁/共130頁2.2.4 2.2.4 正邏輯與負邏輯正邏輯與負邏輯第36頁/共130頁正邏輯 負邏輯與門 或門或門 與門與非門 或非門或非門 與非門異或門 同或門同或門 異或門第37頁/共130頁ABF&1n 如:正邏輯與門 F=AB ,對應(yīng)負邏輯的或門 F=A+B第38頁/共130頁例：正邏輯的與門等價負邏輯的或門0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1 0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1 +3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1 +3.6V +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0電平表 正邏輯 負邏輯輸入 輸出 真值表 真值表VA VB VF A B F A B F第39頁/共130頁2.3.1 2.3.1 邏輯函數(shù)表達式的基本形式邏輯函數(shù)表達式的基本形式一、標準與或式(積之和)、最小項和式二、標準或與式(和之積)、最大項積式現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。數(shù)式的每一項中都必須以原變量或反變量的形式出* 標準式:n個變量組成的函數(shù)式，每個變量在函如:ABCCBACABCBAF),(如:)()(),(CBACBACBACBAF第40頁/共130頁 2.3.2 2.3.2 邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)的標準形式CABCBABCACBACBAF),(6532mmmm)6 , 5 , 3 , 2(m第41頁/共130頁* 最小項的幾個性質(zhì)CBAm 5(3)0jimm)(ji 即任意兩個不相同的最小項的乘積為0。第42頁/共130頁1201niim(4) 所有最小項的和為1。ABBABABAmmmmBAF3210),(1)()(AABBABBA第43頁/共130頁(6) 任一個n變量的最小項，都有n個相鄰的最小項。)()(),(CBACBACBACBAF)4,2,0(M420MMM第44頁/共130頁 最大項的幾個性質(zhì)：(1) 在輸入變量的任何取值下,必有一個，且僅有一個最大項的值為0。如三變量ABC101，則：0)(CBA1jiMM)(ji 第45頁/共130頁)()()(),(BABABABABAF0)(AABABAAABBAA例:BABCACCBBABCAABACBACBA)(5) iimM 例:CBAm0CBACBAmM00(4) 只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和,即消去一個變量。第46頁/共130頁A B C 最小項 編號 最大項 編號1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M0CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA第47頁/共130頁2.3.3 2.3.3 邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法 用代數(shù)法求一個函數(shù)的“最小項之和”的形式： 第一步：將函數(shù)式變換成一般“與或”表達式)(BBAA 第二步：反復(fù)使用 ，將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項第48頁/共130頁用代數(shù)法求一個函數(shù)的最大項之積的形式：非最大項的“或項”擴展成最大項。 第二步：反復(fù)利用 把表達式中)(BABAA第49頁/共130頁ABCBBACBAF)(),(ABCBBAABCBBACBAF)()(),(ABBCCABA(1)將表達式變換成“與或”表達式。解:(2)變換為標準積之和)7 , 6 , 3 , 1 , 0(76310mmmmmmABCCABBCACBACBA)()()()(CCABAABCBBCACCBAF第50頁/共130頁解: 例2. 將 變換成最大項之CBCAABCBAF),(積。(1)將表達式變換成“或與”表達式CBCAABCBCAABCBAF),(CBCABA)()()(CCABABCABA第51頁/共130頁)()()(CCACBABCABBA)()(CCABABCABA)()(CBACBABA第52頁/共130頁)7 , 6 , 3()()()()()(763MMMMCBACBACBACBACBACBACBAF例1:將 表示成最小項之和。CBBACBAF),(二、真值表轉(zhuǎn)換法第53頁/共130頁CBBACBAF),(第54頁/共130頁)6 , 5 , 4 , 2(),(mCABCBACBACBACBAF)7 , 3 , 1 , 0()()()(),(MCBACBACBACBACBAF例2. 將上式表示成最大項之積。第55頁/共130頁 2.4.1 2.4.1 公式法化簡公式法化簡第56頁/共130頁ABAABBACBACBAACBACAB例2：BAFEBCDABA)(3、消去法，利用定理BABAA例3DCADCCADCACAAABA2、吸收法，利用定理第57頁/共130頁4、配項法，利用AA1及1 AACACBBACBABCACBACBACBBABACCCBAACBBABACBCBBA)()(例4：CDBCDBACDBACDABAACDBACBAF)()(),(第58頁/共130頁ABDCDCABDCABABDCABABDCBAF)(1 )(),(BAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBEEADCBADCBAF)(),(第59頁/共130頁例1: DBCBADCDBCBADEBAADCDBCBACDEBACBADCDBCBACDEBADBCACBADCDBCBACF)()()()(DCACBBABAFBCAACDBCAACDBCBAABF二、或與式化簡第60頁/共130頁)()(CBAFF例2:)()()(CACBBABAFCBABACBABABACABBABACABCBABAF)(CBABAFF)()(第61頁/共130頁 2.4.2 2.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法F1AB001m0m1m2m31F2ABC01101101m0m1m2m3m4m5m6m700第62頁/共130頁 ABCDF30001000110101111m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15第63頁/共130頁BCDEF40001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001111000011110m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31A=0A=1第64頁/共130頁F5ABCDE00011110000 001 011010 110 111 101 100m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31第65頁/共130頁最小項為1時的變量取值(1為原變量,0為反變量)。n 圖形兩側(cè)標注的“0”和“1” 表示使對應(yīng)小方格內(nèi)第66頁/共130頁為1的是原變量。 在卡諾圖中,變量取值為0的是反變量，變量取值 2、按1將卡諾圖中所有的“1”格圈完。第67頁/共130頁3、將所得到的乘積項相加，得到函數(shù)的最簡與或式。第68頁/共130頁0011ABF11110011ABF211BAF1BABAF2(1)、圈“1”所得的邏輯函數(shù)表達式第69頁/共130頁 0001101101BCAF3111111CBCABAF3第70頁/共130頁0001101101BCAF3111111BACBCAF3第71頁/共130頁0001101101BCAF411111ABBCACCBAF4第72頁/共130頁0001101101BCAF51111CF 5第73頁/共130頁0001101101BCAF6111111CAF6第74頁/共130頁0001101101BCAF711111111F7=1第75頁/共130頁11111111DCAABCCDACBAF8第76頁/共130頁11111111DCBDF9第77頁/共130頁11111111DBBDF10第78頁/共130頁1111111111DCBCADBAF11第79頁/共130頁11111111DBDBF12第80頁/共130頁(2)、圈“0”所得的邏輯函數(shù)表達式11111111)()()(13CBADCADCACBAF第81頁/共130頁11111111)(14DBDBF第82頁/共130頁1111111111)()(15DCBDBACAF第83頁/共130頁1、把與或式化成標準與或式填入卡諾圖例1)7 , 6 , 5 , 3(7653)()(mmmmmBCACBACABABCBCABBACCCABBCAACABF第84頁/共130頁0001101101BCAF1111化簡后: F=AC+AB+BC)7 , 6 , 5 , 3(mF第85頁/共130頁ABCD00FCDBDCBACABDCBDCBAF),(CBACDCBF第86頁/共130頁3、化簡為或與式第87頁/共130頁)(DCBAFFCDABF第88頁/共130頁4、利用禁止邏輯化簡邏輯函數(shù)0001101101BCAF111CBACBCACmCF3 即任何邏輯函數(shù)乘上不屬于它的最小項之非，其邏輯功能不變。禁止項第89頁/共130頁以上圖為例，則：0001101101BCAF111禁止項75137513375133)()()(mmmmmmmmmmmmmmFF第90頁/共130頁事實上，禁止邏輯也可由幾個最小項組成，例如可將函數(shù)F寫成 ，只要 和 都不屬jimmFjmim于原函數(shù)F即可。這種利用禁止項化簡邏輯函數(shù)的方法，稱為禁止法或阻塞法，寫出的表達式叫做禁止邏輯式。例1：試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù)：CBAACDDBADABDCBAF),(第91頁/共130頁CBAACDDBADABDCBAF),(DCABADABCBF)(91111111第92頁/共130頁例2:試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù))14,13,11,10, 7 , 4 , 1 , 0(),(mDCBAFABCDF000001011010111111111111禁止項BCDADCABBDACCAF)(第93頁/共130頁BDCACABDCACABDCACABDCACABDACCAF)()()()()(第94頁/共130頁2.4.3 2.4.3 列表化簡法列表化簡法( (Q-MQ-M化簡法化簡法) )第95頁/共130頁的化簡步驟如下:列表化簡法適用于計算機排序處理.列表化簡法第96頁/共130頁(3) 找出函數(shù)的必要質(zhì)蘊涵項(4) 找出函數(shù)的最小覆蓋. 第97頁/共130頁例:F(A,B,C,D)=m(0,2,3,5,7,8,10,11,13,15)第98頁/共130頁再相鄰,故合并到此結(jié)束.比較;合并,形成第()欄.由于第()欄的與項不用以上同樣的方法,對第()欄的全部與項進行蘊涵項，用 表示。表中凡是未打“ ”標記的“ 與”項,即函數(shù)的質(zhì)),2, 1 ,0(niPi 第99頁/共130頁 組號 mi A B C D Pi 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 8 1 0 0 0 2 3 0 0 1 1 5 0 1 0 1 10 1 0 1 0 3 7 0 1 1 1 11 1 0 1 1 13 1 1 0 1 4 15 1 1 1 1 第100頁/共130頁組號 mi A B C D Pi 組號 mi A B C D Pi 0 0.2 0 0 - 0 2 3.7 0 - 1 1 0.8 - 0 0 0 3.11 - 0 1 1 1 2.3 0 0 1 - 5.7 0 1 - 1 2.10 - 0 1 0 5.13 - 1 0 1 8.10 1 0 - 0 10.11 1 0 1 - 3 7.15 - 1 1 1 11.15 1 - 1 1 13.15 1 1 - 1 第101頁/共130頁 組號 mi A B C D Pi 0 0.8 8.10 - 0 - 0 p3 0.8 2.10 - 0 - 0 1 2.3 10.5 - 0 1 - p2 2.10 3.11 - 0 1 - 2 3.7 11.15 - - 1 1 p1 3.11 7.15 - - 1 1 5.7 13.15 - 1 - 1 p0 5.13 7.15 - 1 - 1 第102頁/共130頁該函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項為:P3=m(0,2,8,10)=BDP2=m(2,3,10,11)=BC第103頁/共130頁 第104頁/共130頁 必要質(zhì)蘊涵項，在這些質(zhì)蘊涵項右上角加“*”標記。(3)找出包含 的各行，這些行對應(yīng)的質(zhì)蘊涵項即為必要最小項,標記：(2)表中凡是只有一個“”號的列對應(yīng)的最小項即第105頁/共130頁覆蓋時參考。最小項,在該列打“”標記，供下一步找函數(shù)最小(4) 在表中最后一行，凡是被必要質(zhì)蘊涵項覆蓋的第106頁/共130頁尚有m3,m11 未被覆蓋.可見P0、P3可覆蓋m0 ,m2 ,m5 ,m7,m8 ,m10 ,m13 ,m15第107頁/共130頁miPiP1P2311第108頁/共130頁 所以:DBCDBDPPPDCBAF310),(故得所需的質(zhì)蘊涵集為:,310PPP第109頁/共130頁2.4.4 2.4.4 邏輯函數(shù)化簡中兩個實際問題的考慮邏輯函數(shù)化簡中兩個實際問題的考慮第110頁/共130頁2、某些變量的某些取值對函數(shù)無意義(無關(guān))。第111頁/共130頁 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 約束條件為:0ABCCABCBABCACBA第112頁/共130頁第113頁/共130頁A B C D F1 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 1 00 0 0 1 01 0 1 0 d0 0 1 0 01 0 1 1 d0 0 1 1 11 1 0 0 d0 1 0 0 11 1 0 1 d0 1 0 1 11 1 1 0 d0 1 1 0 11 1 1 1 dA B C D F0 1 1 1 1第114頁/共130頁CDABAF第115頁/共130頁CDBF第116頁/共130頁二、多輸出函數(shù)的化簡第117頁/共130頁例1:CABAF1BCABF2作出兩函數(shù)的卡諾圖如下:第118頁/共130頁CABBAF1CABBCF2 這樣，兩個函數(shù)式共享 ，使電路得到簡化照圖。CAB。下面給出合并公共項前和合并公共項后的電路對第119頁/共130頁合并公共項前1FABACABBC2F合并公共項后ABCCABB1F2F第120頁/共130頁)15,13,11,10, 9 , 8 , 7 , 5 , 3 , 2(1mF)15,14,11,10, 7 , 6 , 5 , 3 , 2(2mF)15,14,13, 9 , 8 , 7 , 6(3mF第121頁/共130頁 CBCBAABDBDAF1BCCBBDAF2BCCBAABDF3ABACABBCCDBBD1F2F3F第122頁/共130頁 A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1第123頁/共130頁第124頁/共130頁第125頁/共130頁第126頁/共130頁第127頁/共130頁第128頁/共130頁第129頁/共130頁感謝您的觀看。第130頁/共130頁