返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日1一、線性微分方程一、線性微分方程(Linear differential equation)第第1頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日2第第2頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日3第第3頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日4( )d( )d( )e( ) ( )ep xxp xxyu xu x p x( )d( )e( )p xxu xp x y( )d( )e( )6p xxu xq x，）（( )d( )( )edp xxu xq xxC( )d( )de( )ed7p xxp xxyq xxC）（第第4頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日5第第5頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日61dexxy1dindsexxxCxx( )d( )de( )edp xxp xxyq xxClnlnsineedxxxxCx1( cos)xCx第第6頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日7第第7頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日812( )(1)u xx32( )2(1)3xu xC2322(1)1)3xyxC第第8頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日9( 1)( 1dd)eedyyyCyxeedyyyyCe1yCy第第9頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日10ddvmmgkvtddvkvgtm第第10頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日11ddeedkkttmmvCgtektmmgCk第第11頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日12 0( )(0)1edkttmmgx txtk1ektmmgmtkk第第12頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日13二、伯努利方程二、伯努利方程(Bernoulli differential equation)下下面討論伯努利方程的解法論伯努利方程的解法 1( )( )yyp x yq x第第13頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日141( )( )yyp x yq x1( )( )1zp x zq x第第14頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日1521d1lndyyyaxxxd1lndzzaxxx 2(ln )2azx Cx2(ln )12ayx Cx第第15頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程一階線性方程d( )( )dyp x yq xx方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法再用常數(shù)變易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 ( )d( )de( )edp xxp xxyq xxC 1,zy 令令化為線性方程求解化為線性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程d( )( )dyp x yq x yx (0,1) 第第16頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日17課外練習(xí)課外練習(xí)習(xí)題習(xí)題113 1（奇數(shù)題）（奇數(shù)題） ；24 ；5思考練習(xí)思考練習(xí)1. 判別下列方程類型判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分離可分離 變量方程變量方程xyxyxylndd齊次方程齊次方程221dd2xyxxy線性方程線性方程221dd2yxyyx線性方程線性方程yxxyxydd)2ln()5(22lndyxyydxxx伯努利伯努利方程方程第第17頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日182. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0則有則有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf第第18頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日19, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用利用00 xy得得21C故有故有) 10(22xeyx3. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程第第19頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日201,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為此齊次線性方程的通解為) 1(2xeCyx利用銜接條件得利用銜接條件得) 1(22eC因此有因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex2) 再解定解問題再解定解問題第第20頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日21( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度術(shù)猜度術(shù),上的一件大事上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐年他首次給出了直角坐 1713年出年出 這是組合數(shù)學(xué)與概率論史這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外此外, 他對他對雙紐線雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .第第21頁頁/共共22頁頁返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月22日星期日22感謝您感謝您的的觀看。觀看。第第22頁頁/共共22頁頁