第三講 充滿活力的韋達定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內(nèi)容，應用廣泛，主要表達在： 運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值； 運用韋達定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等 韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的根本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數(shù)學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數(shù)學思想方法【例題求解】【例1】 、是方程的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式的值為 思路點撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例【例2】如果、都是質數(shù)，且，那么的值為( ) A B或2 C D或2思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關系，由于兩個等式結構相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關系的應用創(chuàng)造了條件注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構造對稱式【例3】 關于的方程： (1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根 (2)假設這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應的、思路點撥 對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手【例4】 設、是方程的兩個實數(shù)根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值 思路點撥 利用根與系數(shù)關系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(0)進行的注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式0這一條件，轉化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉化前后問題的等價性【例5】 ：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根(1)當m2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由(2)假設M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ1，且AB<CD，求AB、CD的長 思路點撥 對于(2)，易建立含AC、BD及m的關系式，要求出m值，還需運用與中點相關知識找尋CD、AB的另一隱含關系式注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質將幾何問題從“形向“數(shù)(方程)轉化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性 學歷訓練 1(1)和為一元二次方程的兩個實根，并和滿足不等式，那么實數(shù)取值范圍是 (2)關于的一元二次方程有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是 2、是方程的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式的值為 3CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，那么ABC的面積是 4設、是關于的方程的兩根，+1、+1是關于的方程的兩根，那么、的值分別等于( ) A1，-3 B1，3 C-1，-3 D-1，35在RtABC中，C90°，a、b、c分別是A、B、C的對邊，a、b是關于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是( ) A B C5 D26方程恰有兩個正整數(shù)根、，那么的值是( ) A1 B-l C D 7假設關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關系式：，判斷是否正確? 8關于的方程(1) 當是為何值時，此方程有實數(shù)根； (2)假設此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求的值9方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個方程兩根為 10、是方程的兩個根，那么的值為 11ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程的兩根，那么m的取值范圍是 12兩個質數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個根，那么的值是( )A9413 B C D13設方程有一個正根，一個負根，那么以、為根的一元二次方程為( ) A B C D14如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是( ) A0m1 Bm C Dm115如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關于的方程的兩個根(1)求rn的值；2假設E是AB上的一點，CFDE于F，求BE為何值時，CEF的面積是CED的面積的，請說明理由 16設m是不小于的實數(shù)，使得關于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、(1) 假設，求m的值(2) 求的最大值 17如圖，在ABC中，ACB=90°，過C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又關于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值18設、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值 參考答案