高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練解析卷第八章 圓錐曲線方程(一)(B卷)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題 共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1. 如果橢圓的兩個焦點(diǎn)將長軸三等分，那么這個橢圓的兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍答案2. 橢圓+=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為2，M是線段PF1的中點(diǎn)，則M到原點(diǎn)O的距離等于A.2B.4C.6D.8 答案: 3. AB為過橢圓+=1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFB面積的最大值是A.b2B.abC.acD.bc答案: 4.函數(shù)y=的圖象是平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡,則這兩個定點(diǎn)間的距離為A.8B.4C.4D.2 答案:5. 點(diǎn)P在橢圓7x2+4y2=28上，則點(diǎn)P到直線3x2y16=0的距離的最大值為A.B.C.D.答案:6. 一動圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y26x+8=0內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是A.雙曲線的一支B.橢圓C.拋物線D.圓答案: 7. 過原點(diǎn)的直線l與雙曲線=1有兩個交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是A.(，) B.(,)(,+)C., D.(,+)答案:8. 設(shè)P是雙曲線=1上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|PF1|=3,則|PF2|等于A.1或5B.6C.7D.9分析:本題考查雙曲線的定義. 答案: 9. 橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn).今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時,小球經(jīng)過的路程是A.4aB.2(ac)C.2(a+c)D.4a或2(ac)或2(a+c)答案: 10. 橢圓a2x2+y2=a2(0<a<1)上離頂點(diǎn)A(0，a)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)恰好是另一個頂點(diǎn)A(0， a),則a的取值范圍是A.(，1)B.，1)C.(0，)D.(0，答案:第卷(非選擇題 共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11. 已知點(diǎn)M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，O與MN相切于點(diǎn)B，過M、N與O相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為_. 答案: 12. 點(diǎn)M到一個定點(diǎn)F(0，2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是12，則M點(diǎn)的軌跡方程是_.13. 橢圓+ =1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_.14. 設(shè)點(diǎn)A(2，)，橢圓+ =1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上移動.當(dāng)|PA|+2|PF|取最小值時,P點(diǎn)的坐標(biāo)是_.三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15. (本小題滿分8分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(2,0),左準(zhǔn)線l1與x軸交于點(diǎn)N(3,0),過點(diǎn)N且傾斜角為30的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).(1)求直線l和橢圓的方程；(2)求證:點(diǎn)F1(2,0)在以線段AB為直徑的圓上.(16. (本小題滿分10分)設(shè)F1、F2是雙曲線x2y2=4的左、右兩個焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.解： 17. (本小題滿分12分)如圖，某農(nóng)場在P處有一堆肥，今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到莊稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60.能否在田地ABCD中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PA送肥較近；而另一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PB送肥較近?如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程.解： 18 .(本小題滿分12分)已知點(diǎn)F(1，0)，直線l:x=2.設(shè)動點(diǎn)P到直線l的距離為d,且|PF|=d,d.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若=，求向量與的夾角.解:19. (本小題滿分12分)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(2,)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn) 方程；(2)對(1)中的橢圓C,設(shè)斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M,證明:當(dāng)直線l平行移動時,動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上；(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心. 解: 高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練解析卷參考答第八章 圓錐曲線方程(一)(B卷)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題 共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.如果橢圓的兩個焦點(diǎn)將長軸三等分，那么這個橢圓的兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍解析:設(shè)兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的k倍，則=2ck,k=()2.由已知得a=3c,k=()2=32=9.答案:B2.橢圓+=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為2，M是線段PF1的中點(diǎn)，則M到原點(diǎn)O的距離等于A.2B.4C.6D.8解析:如圖，易知|OM|=|PF2|,而|PF2|=2a|PF1|=252=8,|OM|=4.答案:B3.AB為過橢圓+=1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFB面積的最大值是A.b2B.abC.acD.bc解析:設(shè)A(x0,y0),B(x0,y0),SABF=SOFB+SOFA=c|y0|+c|y0|=c|y0|.點(diǎn)A、B在橢圓+=1上,|y0|的最大值為b.SABF的最大值為bc.答案:D4.函數(shù)y=的圖象是平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡,則這兩個定點(diǎn)間的距離為A.8B.4C.4D.2分析:本題主要考查雙曲線的定義.解:函數(shù)y=的圖象是等軸雙曲線,e=,實(shí)軸所在的直線方程為xy=0.解方程組得或即頂點(diǎn)為A1(,),A2(,).e=,c=2.根據(jù)雙曲線的定義,兩定點(diǎn)間的距離為2c=4.答案:C5.點(diǎn)P在橢圓7x2+4y2=28上，則點(diǎn)P到直線3x2y16=0的距離的最大值為A.B.C.D.解析:化橢圓方程為參數(shù)方程(為參數(shù)).點(diǎn)P到直線3x2y16=0的距離為d=.dmax=.答案:C6.一動圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y26x+8=0內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是A.雙曲線的一支B.橢圓C.拋物線D.圓解析:已知x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為r1=1,圓x2+y26x+8=0的圓心為A(3，0),半徑為r2=1.設(shè)動圓的圓心為P，半徑為r,則|PO|=1+r,|PA|=r1.則有|PO|PA|=2<|OA|=3,軌跡為雙曲線的一支.答案:A7.過原點(diǎn)的直線l與雙曲線=1有兩個交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是A.(，)B.(,)(,+)C.,D.(,+)解析:雙曲線方程=1,其漸近線的斜率k=,當(dāng)直線l的斜率為時，直線與漸近線重合，直線l與雙曲線無交點(diǎn)，排除C、D.又雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng) <k<時，直線與雙曲線無交點(diǎn).答案:B8.設(shè)P是雙曲線=1上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|PF1|=3,則|PF2|等于A.1或5B.6C.7D.9分析:本題考查雙曲線的定義.解:雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0,可求得a2=4.雙曲線的方程為=1,2a=4.如圖,可知P點(diǎn)在左支上.由雙曲線定義,|PF2|PF1|=4,|PF2|=4+3=7.答案:C9.橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn).今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計)從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時,小球經(jīng)過的路程是A.4aB.2(ac)C.2(a+c)D.4a或2(ac)或2(a+c)分析:本題屬信息遷移題,考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力.解:設(shè)靠近A的長軸端點(diǎn)為M，另一長軸的端點(diǎn)為N.若小球沿AM方向運(yùn)動,則路程應(yīng)為2(ac)；若小球沿ANM方向運(yùn)動,則路程為2(a+c)；若小球不沿AM與AN方向運(yùn)動,則路程應(yīng)為4a.答案:D10.橢圓a2x2+y2=a2(0<a<1)上離頂點(diǎn)A(0，a)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)恰好是另一個頂點(diǎn)A(0， a),則a的取值范圍是A.(，1)B.，1)C.(0，)D.(0，解析:由對稱性，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,y),|AP|2=1+(ya)2=y22ay+a2+1.0<a<1,<0,開口向下.對稱軸y=a.解得a<1.答案:B第卷(非選擇題 共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.已知點(diǎn)M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，O與MN相切于點(diǎn)B，過M、N與O相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為_.解析:如圖，|PM|PN|=|PA|+|AM|PC|CN|=|MA|NC|=|MB|NB|=42=2.P點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,c=3,a=1,b2=8.方程為=1(x>1).答案:x2=1(x>1)12.點(diǎn)M到一個定點(diǎn)F(0，2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是12，則M點(diǎn)的軌跡方程是_.解析:根據(jù)橢圓第二定義可知，橢圓焦點(diǎn)為(0，2)，y=8,e=.由c=2,=8,得a=4,滿足e=.橢圓方程為+=1.答案: +=113.橢圓+ =1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解析:設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,則|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=aex0=3x0.F1PF2為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)|F1F2|2|PF1|2|PF2|2>0,解之即得<x0<.答案:<x0<14.設(shè)點(diǎn)A(2，)，橢圓+ =1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上移動.當(dāng)|PA|+2|PF|取最小值時,P點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解析:設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線為l,過A作ANl于N，AN交橢圓于P，則P點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，坐標(biāo)為(2，).事實(shí)上，易知橢圓離心率為.|PA|+2|PF|=|PA|+2|PN|=|PA|+|PN|，(|PN|是P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.顯然|PA|+|PN|>|AP|+|PN|).答案:(2,)三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(2,0),左準(zhǔn)線l1與x軸交于點(diǎn)N(3,0),過點(diǎn)N且傾斜角為30的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).(1)求直線l和橢圓的方程；(2)求證:點(diǎn)F1(2,0)在以線段AB為直徑的圓上.(1)解:可知直線l:y=(x+3).由c=2及=3,解得a2=6,b2=622=2.橢圓方程為+=1. (2)證明:聯(lián)立方程組 將代入,整理得2x2+6x+3=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=3,x1x2=.方法一:kk=1,F1AF1B,即AF1B=90.點(diǎn)F1(2,0)在以線段AB為直徑的圓上.方法二:=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+x1x2+3(x1+x2)+9=x1x2+3(x1+x2)+7=0,F1AF1B,則AF1B=90.點(diǎn)F1(2,0)在以線段AB為直徑的圓上.16.(本小題滿分10分)設(shè)F1、F2是雙曲線x2y2=4的左、右兩個焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.解:如圖,F1(2，0)、F2(2，0)、M(x,y)，延長F1M與PF2相交于點(diǎn)N，設(shè)N(x0,y0).由已知可得M為F1N的中點(diǎn),又|NF2|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|=2a=4,(x02)2+y02=16.(2x+22)2+(2y)2=16.x2+y2=4.評注:適當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識把條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，會給我們解題帶來方便.17.(本小題滿分12分)如圖，某農(nóng)場在P處有一堆肥，今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到莊稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60.能否在田地ABCD中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PA送肥較近；而另一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PB送肥較近?如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程.解:設(shè)M是這種界線上的點(diǎn)，則必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|MB|=|PB|PA|=50.這種界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線靠近B點(diǎn)的一支.建立以AB為x軸，AB中點(diǎn) O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則曲線為=1,其中a=25,c=|AB|.c=25,b2=c2a2=3750.所求曲線方程為=1(x25,y0).18.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)F(1，0)，直線l:x=2.設(shè)動點(diǎn)P到直線l的距離為d,且|PF|=d,d.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若=，求向量與的夾角.解:(1)根據(jù)橢圓的第二定義知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,a=.e=滿足|PF|=d.P點(diǎn)的軌跡為+=1.又d=x,且d,2x.x.軌跡方程為+y2=1(x).(2)由(1)可知，P點(diǎn)的軌跡方程為+y2=1(x),F(1,0)、P(x0,y0).=(1,0),=(x0,y0),=(1x0,y0).=,1x0=.x0=,y0=.又=|cos,1x0+0y0=1cos.cos=.=arccos.19.(本小題滿分12分)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(2,)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn) 方程；(2)對(1)中的橢圓C,設(shè)斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M,證明:當(dāng)直線l平行移動時,動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上；(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.解:(1)由題中條件,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,ab0,右焦點(diǎn)為(2,0),a2=b2+4,即橢圓的方程為+=1.點(diǎn)(2,)在橢圓上,+=1.解得b2=4或b2=2(舍),由此得a2=8,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則由得12x2+16mx+8m232=0,即3x2+4mx+2m28=0.0,m212,即2m2.則x1+x2=,y1+y2=x1+m+x2+m=m,AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,).線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線x+2y=0上.(3)如下圖,作兩條平行直線分別交橢圓于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D,并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N,連結(jié)直線MN；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于點(diǎn)A1、B1和點(diǎn)C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點(diǎn)M1、N1,連結(jié)直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點(diǎn)O即為橢圓中心 .