8.1 向量的坐標表示及其運算教學目標知識目標：了解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐標表示方法及其運算法則；掌握向量模的求法，知道模的幾何意義；理解并掌握兩個非零向量平行的充要條件，鞏固加深充要條件的證明方式能力目標：會用兩向量的坐標形式的和、差及實數(shù)與向量的積等運算解決相關問題；會用平行的充要條件解決點共線問題情感目標：感知數(shù)學中的運動、變化、相互聯(lián)系與相互轉化的規(guī)律，加深對辯證唯物主義觀點的體驗；發(fā)展從數(shù)學的角度分析和解決問題的能力，以及通過積極參與數(shù)學學習和問題解決的過程，增強學習的主體意識，形成數(shù)學的應用意識，養(yǎng)成嚴謹、慎密的思維習慣.教學重、難點重點：如何寫向量的坐標以及向量坐標形式的運算及其應用難點：向量坐標形式的運算及其應用一、新課引入：上海市莘莊中學的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內進行健美操表演.（1）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？說明 此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題.（2）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？說明 不要求學生寫出結果，只引導學生思考.這個圖形更為一般一些，學生解決的可能不是很順，這時，教師就可以說，這一節(jié)我們就來學習一個新的內容：向量的坐標表示及其運算，學習了這個內容之后，同學們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時間就可以解決這個問題了，引起學生學習的興趣與探究的欲望.二、新課講授1、向量的正交分解（1）基本單位向量：我們稱在平面直角坐標系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為。（2）位置向量：如圖，稱以原點O為起點的向量為位置向量，如下圖左，即為一個位置向量.思考1：對于任一位置向量，我們能用基本單位向量來表示它嗎？如上圖右，設如果點A的坐標為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得：（3）向量的正交分解：由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標系內的任一位置向量都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解.2、向量的坐標表示思考2：對于平面直角坐標系內的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即：= 為了簡便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來，得到有序實數(shù)對（x,y）.可知有序實數(shù)對（x,y）與向量的位置向量是一一對應的.因而可用有序實數(shù)對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標，記作：=（x,y）說明（x,y）不僅是向量的坐標，而且也是與相等的位置向量的終點A的坐標！當將向量的起點置于坐標原點時，其終點A的坐標是唯一的，所以向量的坐標也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標統(tǒng)一起來，使復雜問題簡單化.顯然，依上面的表示法，我們有：.3、例題舉隅例1.（課本例題）如圖，寫出向量的坐標.解：由圖知，與向量相等的位置向量為，可知，與向量相等的位置向量為，可知說明 對于位置向量，它的終點的坐標就是向量的坐標；對于起點不在原點的向量，我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標得到它們的坐標.那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題.讓我們先學習向量坐標表示的運算：4、向量的坐標表示運算我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運算，那么，在學習了向量的坐標表示以后，我們怎么用向量的坐標形式來表示這些運算呢？設是一個實數(shù)，由于 所以 于是有：（1）向量的和（差）：（2）數(shù)與向量的積：說明上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和(差)的橫坐標等于它們對應的橫坐標的和(差)，兩個向量的和(差)的縱坐標也等于它們對應的縱坐標的和(差)，可籠統(tǒng)地簡稱為：兩個向量和(差)的坐標等于對應坐標的和(差)；同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標等于數(shù)與向量的橫坐標的積，數(shù)與向量的積的縱坐標等于數(shù)與向量的縱坐標的積，也可籠統(tǒng)地簡稱為：數(shù)與向量積的坐標等于數(shù)與向量對應坐標的積.5、例題舉隅例2、如下圖左，設、是平面直角坐標系內的任意兩點，如何用P、Q的坐標來表示向量？解：如上圖右，向量從而有 說明平面直角坐標系內的任意向量的橫坐標等于它終點的橫坐標與它起點的橫坐標的差，縱坐標也等于它終點的縱坐標與它起點的縱坐標的差，可簡稱為“任意向量坐標=終點坐標-起點坐標”.例3、如圖，平面上A、B、C三點的坐標分別為、.（1）寫出向量的坐標；（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標.解：（1） （2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以設點D的坐標為，于是有又 ，故 由此可得 解得因此點D的坐標為.例4、已知向量與，求的坐標.解：因為，所以 例5、已知平面內兩點P、Q的坐標分別為（-2,4）、（2,1），求的單位向量解：因為，故，所以7、向量的平行（1）向量平行的概念：對任意兩個向量，若存在一個常數(shù)，使得成立，則兩向量與向量平行，記為：.思考1：在坐標平面上描出下列三點,完成下列問題：請把下列向量的坐標與模填在表格內：向量坐標(1,2)(2,4)(3,6)向量的模通過畫圖，你得出什么結論？三點A、B、C在一條直線上分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？，分析表格中向量坐標，你又發(fā)現(xiàn)了什么？向量坐標之間存在比例關系.思考3：如果向量用坐標表示為，則是的（ ）條件.A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要（2）判斷三點共線的方法方法一：計算三個向量的模長關系.方法二：看兩個非零向量之間是否存在非零常數(shù).（向量的坐標存在比例關系）例5、若是兩個非零向量，且，則的充要條件是.證明：分兩步證明，（）先證必要性：非零向量存在非零實數(shù)，使得，即，化簡整理可得：，消去即得（）再證充分性：（1）若,則、全不為零，顯然有，即（2）若，則、中至少有兩個為零.如果，則由是非零向量得出一定有，又由是非零向量得出，從而，此時存在使，即如果，則有，同理可證綜上，當時，總有所以，命題得證.兩向量平行的充要條件：若是兩個非零向量，且，則的充要條件是.8、例題舉隅例6、已知P是直線上的一點，且（為任意實數(shù)，且），、的坐標分別為、，求點P的坐標解：由，可知由于，所以解得向量的定比分點坐標公式：特別地，當時，P為、的中點，中點的坐標公式為例7、已知平面上A、B、C三點的坐標分別為、，G是ABC的重心，求點G的坐標解：設D為A、B的中點，那么，因為G是ABC的重心，所以，由定比分點公式可得故三角形重心的坐標公式：A、B、C三點的坐標分別為、，G是ABC的重心，那么三、課堂小結1、向量的正交分解：（1）基本單位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解2、向量的坐標表示3、向量的坐標表示運算4、兩向量平行的充要條件5、兩點定比分點公式及中點公式6、三角形重心的坐標公式四、作業(yè)布置同步練習8.1AB、周末卷