《數(shù)學(xué)題型題型八 二次函數(shù)綜合題 類型三 與等腰三角形有關(guān)的問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)題型題型八 二次函數(shù)綜合題 類型三 與等腰三角形有關(guān)的問題（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、滿滿 分分技技法法問題問題找點(diǎn)找點(diǎn)求點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)坐標(biāo)“萬能法萬能法”其他方法其他方法等等腰腰三三角角形形 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A、B和直線和直線l，在，在l上求點(diǎn)上求點(diǎn)P，使，使PAB為等腰為等腰三角形三角形 分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)A、B為圓心為圓心，以線段，以線段AB長為半徑長為半徑作圓，再作作圓，再作AB的中垂的中垂線，兩圓和中垂線與線，兩圓和中垂線與l的交點(diǎn)即為所有的交點(diǎn)即為所有P點(diǎn)點(diǎn)分別表示出點(diǎn)分別表示出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再的坐標(biāo)，再表示出線段表示出線段AB、BP、AP的長度，的長度，由由ABAP、ABBP、BPAP列方程列方程解出坐標(biāo)解出坐標(biāo)作等腰三作等腰三角形底邊角形底邊的高，用的高，用勾股定理

2、勾股定理或相似建或相似建立等量關(guān)立等量關(guān)系系例例 3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線中，拋物線yx22x3與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A，B，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，且一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，且一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C，拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與直線，對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，與，與x軸交于軸交于點(diǎn)點(diǎn)F. (1)求一次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)求一次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；解：已知拋物線解：已知拋物線yx22x3，令令y0，解得，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，令，令x0，則，則y3，C(0，3)，設(shè)一次函數(shù)解析式設(shè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)

3、kxb，代入，代入B、C點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)坐標(biāo)可得k1，b3，yx3.由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D(1，4)； (2)如圖，連接如圖，連接AC，CF，判斷，判斷CAF的形狀，并說明理由；的形狀，并說明理由；【思維教練思維教練】先確定點(diǎn)先確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，由拋物線解析式易得點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線解析式易得點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求出坐標(biāo)，即可求出AC，AF，CF，從而判斷出，從而判斷出CAF的形狀的形狀解：解：CAF是等腰三角形，理由如下：是等腰三角形，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為拋物線的對(duì)稱軸為x1，點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，0)，A(1，0)，C(0，3)，AC ，F(xiàn)C ，AF2，AC，F(xiàn)C，

4、AF不滿足勾股定理，但不滿足勾股定理，但ACFC，CAF是等腰三角形；是等腰三角形；1010 (3)如圖，連接如圖，連接AC，x軸上是否存在點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)G，使得，使得ACG是以是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；請(qǐng)說明理由；【思維教練思維教練】由由ACG是以是以AC為底邊的等腰三角形得到為底邊的等腰三角形得到AGCG.設(shè)出點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后表示出的坐標(biāo)，然后表示出AG和和CG. 列關(guān)系式即可求解列關(guān)系式即可求解解：存在如解圖，作解：存在如解圖，作AC的垂直平分線，交的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)G

5、，則，則點(diǎn)點(diǎn)G即為所求即為所求設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(g，0)，在在RtCOG中，中，CO3，OGg，由勾股定理得：由勾股定理得：CG2CO2OG29g2.又又AGg1，AGCG，9g2(g1)2，解得，解得g4，存在點(diǎn)存在點(diǎn)G(4，0)使得使得ACG是以是以AC為底邊的等腰三角形；為底邊的等腰三角形；(4)x軸上是否存在點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)G，使得，使得BCG是以是以BC為腰的等腰三角形，為腰的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思維教練思維教練】由由BCG是以是以BC為腰的等腰三角形，從而分為腰的等腰三角形，從而分CGCB

6、和和BGBC兩種情況討論即可得解兩種情況討論即可得解2解：存在設(shè)點(diǎn)解：存在設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(g，0)，點(diǎn)點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)，點(diǎn)B(3，0)，在在RtOBC中，由勾股定理得中，由勾股定理得BC3 .BCG是以是以BC為腰的等腰三角形，為腰的等腰三角形，分兩種情況：分兩種情況：(i)BCG是以是以BC為腰，為腰，C為頂點(diǎn)的等腰三角形，為頂點(diǎn)的等腰三角形，如解圖，如解圖，COBG且且BCCG，GOBO3，點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，0)；(ii)BCG是以是以BC為腰，為腰，B為頂點(diǎn)的等腰三角形，如解圖，為頂點(diǎn)的等腰三角形，如解圖，BG|3g|3 ，解得解得g133 ，g233 ，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)

7、G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(33 ，0)或或(33 ，0)綜上，綜上，x軸上存在點(diǎn)軸上存在點(diǎn)G使使BCG是以是以BC為腰的為腰的 等腰三角形，點(diǎn)等腰三角形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，0)或或(33 ， 0)或或(33 ，0)；2222222 (5)若點(diǎn)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P使得使得PDQ是等邊三角形若存在，求出點(diǎn)是等邊三角形若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；在，請(qǐng)說明理由；【思維教練思維教練】由由(1)知拋物線解析式，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)知拋物線解析式，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PHDQ于點(diǎn)于點(diǎn)

8、H，設(shè)出，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由等邊三角形的性質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)，由等邊三角形的性質(zhì)可得可得PHDH，可得，可得H點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)P在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸 兩側(cè)各有一點(diǎn)，求得符合條件的另一兩側(cè)各有一點(diǎn)，求得符合條件的另一P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo) 即可即可解：存在由解：存在由(1)得拋物線的頂點(diǎn)得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸為x1，點(diǎn)點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t，t22t3)，如解圖，過如解圖，過P作作PHDQ于點(diǎn)于點(diǎn)H，連接，連接DP、PQ，DPQ是等邊三角形，是等邊三角形，PHDQ，DHHQ，PHDH，點(diǎn)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，t22t3)，DH4(t22t3)t22t1，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在DQ的右側(cè)時(shí)，的右側(cè)時(shí)，PHt1，t1(t22t1)，例例3 3題解圖題解圖即即 t2(2 1)t 10，解得解得t1 ，t21(舍舍)，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( )，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在DQ的左側(cè)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知，的左側(cè)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知，xP2x P2 ，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( )綜上，符合條件的點(diǎn)綜上，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為( )或或( ).33331333333 11,3333 11,3333333333 11,3333 11,33