抽屜原理教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 張紅 胡必芳 湯小華 張祖鳳 萬承林【教學(xué)內(nèi)容】：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級（下冊）第五單元數(shù)學(xué)廣角“抽屜原理”第70、71頁的內(nèi)容?！窘滩姆治觥浚骸皵?shù)學(xué)廣角”是人教版六年級下冊第五單元的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。本節(jié)課教材借助把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡單的“抽屜原理”，即把m個物體任意分放進(jìn)n個空抽屜里（m>n，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少2個物體。關(guān)于這類問題，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已積累了一定的感性經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進(jìn)行“證明”，然后再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進(jìn)行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。讓學(xué)生通過本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生加深理解，學(xué)會利用“抽屜問題”解決簡單的實(shí)際問題。在此過程中，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。實(shí)際上，通過“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，這個過程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，能從紛繁的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要方面。【學(xué)情分析】：抽屜原理是學(xué)生從未接觸過的新知識，難以理解抽屜原理的真正含義，發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生他們自己提前先學(xué)了，在具體分的過程中，都在運(yùn)用平均分的方法，也能就一個具體的問題得出結(jié)論。但是這些學(xué)生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。有時要找到實(shí)際問題與“抽屜原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個“抽屜”。1年齡特點(diǎn)：六年級學(xué)生既好動又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機(jī)會，讓學(xué)生發(fā)表見解， 發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。2思維特點(diǎn)：知識掌握上，六年級的學(xué)生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細(xì)致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。【教學(xué)目標(biāo)】：1知識與能力目標(biāo)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實(shí)際問題。通過猜測、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷搿?過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。3情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實(shí)際問題加以“模型化”?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】：多媒體課件、書【設(shè)計(jì)理念】：1用具體的操作，將抽象變?yōu)橹庇^?！翱傆幸粋€文具盒中至少放進(jìn)2支鉛筆”這句話對于學(xué)生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解。怎樣讓學(xué)生理解這句話呢？我覺得要讓學(xué)生充分的操作，一在具體操作中理解“總有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保證“至少”的最好方法。通過操作，最直觀地呈現(xiàn)“總有一個文具盒中至少放進(jìn)2支鉛筆”這種現(xiàn)象，讓學(xué)生理解這句話。2充分發(fā)揮學(xué)生主動性，讓學(xué)生在證明結(jié)論的過程中探究方法，總結(jié)規(guī)律。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主動者，特別是這種原理的初步認(rèn)識，不應(yīng)該是教師牽著學(xué)生手去認(rèn)識，而是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生自己去探索，發(fā)現(xiàn)。所以我認(rèn)為應(yīng)該提出問題，讓學(xué)生在具體的操作中來證明他們的結(jié)論是否正確，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力。3適當(dāng)把握教學(xué)要求。我們的教學(xué)不同于民間的培優(yōu)機(jī)構(gòu)，因此在教學(xué)中不需要求學(xué)生說理的嚴(yán)密性，也不需要學(xué)生確定過于抽象的“抽屜”和“物體”?！窘虒W(xué)過程】：一、游戲激趣，初步體驗(yàn)。設(shè)計(jì)意圖：第一次與學(xué)生接觸，在課前進(jìn)行的游戲激趣，一使教師和學(xué)生進(jìn)行自然的溝通交流；二激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望；三為今天的探究埋下伏筆。在上課前，我們先熱熱身，一起玩搶椅子游戲好嗎？誰愿意參加？請五位同學(xué)到前面來，這有四把椅子，老師說：開始！你們幾個都要坐到椅子上。聽明白了嗎？好開始。告訴老師他們坐下了嗎？老師不用看，就知道一定有一把椅子上至少做了兩名同學(xué)。對嗎？假設(shè)請這五位同學(xué)再反復(fù)坐幾次，老師還敢肯定地說，不管怎么做，總有一把椅子上至少坐了兩個同學(xué)，你們相信嗎？其實(shí)這里面蘊(yùn)藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)原理，想不想研究啊？二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（一）經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，理解原理。1自主猜想，初步感知。（提出問題）把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中。不管怎么放，總有一個杯子至少放進(jìn)（）根小棒。讓學(xué)生猜測“至少會是”幾根？2驗(yàn)證結(jié)論。不管學(xué)生猜測的結(jié)論是什么，教師都必須要求學(xué)生借助實(shí)物進(jìn)行操作，來驗(yàn)證結(jié)論。學(xué)生以小組為單位進(jìn)行操作和交流時，教師深入了解學(xué)生操作情況，找出列舉所有情況的學(xué)生。（1）先請列舉所有情況的學(xué)生進(jìn)行匯報，一說明列舉的不同情況，二結(jié)合操作說明自己的結(jié)論。（教師根據(jù)學(xué)生的回答板書所有的情況）學(xué)生匯報完后，教師再利用枚舉法的示意圖，指出每種情況中都有幾根小棒被放進(jìn)了同一個杯子。設(shè)計(jì)意圖：抽屜原理對于學(xué)生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中至少放進(jìn)2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力。（2）提出問題。不用一一列舉，想一想還有其它的方法來證明這個結(jié)論嗎？學(xué)生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設(shè)法，組織學(xué)生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？請相互之間討論一下。在討論的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進(jìn)一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能的分散，保證“至少”的情況。設(shè)計(jì)意圖：鼓勵學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。（3）初步觀察規(guī)律。教師繼續(xù)提問：如果把 6支鉛筆放進(jìn)5個文具盒里呢？還用擺嗎？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？（6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）把7支鉛筆放進(jìn)6個文具盒里呢？把8枝筆放進(jìn)7個盒子里呢？把9枝筆放進(jìn)8個盒子里呢？ 100支鉛筆放進(jìn)99個文具盒呢？教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：你發(fā)現(xiàn)什么？（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）師：你的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎？（一樣）你們太了不起了！同桌互相說一遍。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在這個連續(xù)的過程中初步感知方法的優(yōu)劣，發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。（二）進(jìn)一步認(rèn)識和理解“抽屜原理”。1數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。出示第70頁做一做，讓學(xué)生運(yùn)用簡單的抽屜原理解決問題。在說理的過程中重點(diǎn)關(guān)注“余下的2只鴿子”如何分配？讓學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)活動（獨(dú)立思考 自主探究），教師再結(jié)合課件進(jìn)行演示：2深入探究，尋找規(guī)律。剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里”？設(shè)計(jì)意圖：從余數(shù)1到余數(shù)2，讓學(xué)生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進(jìn)行二次平均分。3發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步建模。我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜，觀察物體數(shù)和抽屜數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（學(xué)生用自己的語言描述，只要大概意思正確即可）小結(jié)：只要物體數(shù)量比抽屜的數(shù)量多，總有一個抽屜至少放進(jìn)2個物體。這就叫做抽屜原理。設(shè)計(jì)意圖：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學(xué)生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學(xué)生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著。（三）應(yīng)用“抽屜原理”，感受數(shù)學(xué)的魅力。1看有關(guān)抽屜原理資料，讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)文化?！俺閷显怼庇址Q“鴿巢原理”，最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。“抽屜原理”的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會平常事中也有數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情。2抽屜原理的應(yīng)用。（1）出示71頁的例2：把5本書放進(jìn)2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進(jìn)3本書。如果一共有7本書呢？9本書呢？ （2）讓學(xué)生獨(dú)立思考、再小組內(nèi)討論：A、該如何解決這個問題呢？B、如何用一個式子表示呢？C、你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（3）匯報討論結(jié)果，同時教師進(jìn)行板書： 52=21 21=3（本） 72=31 31=4（本） 92=41 41=5（本）（4）思考、討論：總有一個抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商1”還是“商余數(shù)”呢？為什么？設(shè)計(jì)意圖：對規(guī)律的認(rèn)識是循序漸進(jìn)的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，從“至少2個”得到“至少商+1個”的結(jié)論。師讓學(xué)生討論得出正確的結(jié)論：總有一個抽屜至少放進(jìn)的本數(shù)是“商1”。3解決問題。（1）如果我們用數(shù)學(xué)書的本數(shù)除以抽屜數(shù)，所得的余數(shù)不是1，該怎么辦呢？請看下面的題目。教師出示課本71頁的“做一做”：8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里。為什么？（2）在這道題中，可以把什么當(dāng)作抽屜？可以把什么當(dāng)作剛才的課本？讓學(xué)生思考得出：8只 8本 3個 3個設(shè)計(jì)意圖：在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中教師抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法”形式表示出來，使學(xué)生學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。特別是對“某個抽屜至少有書的本數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，教師適時挑出針對性問題進(jìn)行交流、討論，使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。（3）學(xué)生獨(dú)立完成解答。（四）進(jìn)一步應(yīng)用原理解決問題。（游戲）我這里有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，我請五位同學(xué)每人任意抽1張，聽清要求，不要讓別人看到你抽的是什么牌。請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張？為什么？（ 2張/因?yàn)?4=11）教師可以先驗(yàn)證一下學(xué)生的猜測：舉牌驗(yàn)證。如有3張同花色的，符合你們的猜測嗎？設(shè)計(jì)意圖：用游戲的形式激發(fā)學(xué)生的興趣，用抽屜原理解決具體問題進(jìn)行建模，讓學(xué)生體會抽屜的形式是多種多樣的。如果9個人每一個人抽一張呢？（至少有3張牌是同一花色，因?yàn)?4=21）三、鞏固應(yīng)用。1算一算。向東小學(xué)六年級共有370名學(xué)生，其中六（2）班有49名學(xué)生。請問下面兩人說的對嗎？為什么？（1）六年級里至少有兩人的生日是同一天。（2）六（2）班中至少有5人是同一個月出生的。設(shè)計(jì)意圖：第1題是“抽屜原理”的典型例子。其中“370名學(xué)生中一定有兩人的生日是同一天”與例1中的“抽屜原理”是一類，“49名學(xué)生中一定有5人的出生月份相同”則與例2的類型相同。教師要引導(dǎo)學(xué)生把“生日問題”轉(zhuǎn)化成“抽屜問題”。因?yàn)橐荒曛凶疃嘤?66天，如果把這366天看作366個抽屜，把370個學(xué)生放進(jìn)366個抽屜，人數(shù)大于抽屜數(shù)，因此總有一個抽屜里至少有兩個人，即他們的生日是同一天。而一年中有12個月，如果把這12個月看作12個抽屜，把49個學(xué)生放進(jìn)12個抽屜，491241，因此，總有一個抽屜里至少有5（即41）個人，也就是他們的生日在同一個月。 2說一說。張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？四、全課小結(jié)。說一說：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識？（師生共同對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)）五、課外作業(yè)。課本73頁練習(xí)十二第2、4題。六、板書設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)廣角抽屜原理 物體數(shù)抽屜數(shù)=商余數(shù) 至少數(shù) =商15 2 =21 3 =217 2 =31 4 =319 2 =41 5 =418 3 =22 3 =21370365 =15 2 =114912 =41 5 =41設(shè)計(jì)意圖：這樣的板書設(shè)計(jì)是在教學(xué)過程中動態(tài)生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設(shè)計(jì)便于學(xué)生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學(xué)重點(diǎn)，使板書真正起到畫龍點(diǎn)睛的作用。【教學(xué)反思】：本節(jié)課的內(nèi)容是小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。很多老師初一看這內(nèi)容，覺得本節(jié)課的內(nèi)容與生活無關(guān)，沒有任何聯(lián)系。其實(shí)，“抽屜原理”在生活中的應(yīng)用很廣泛且靈活多變，可以解決一些看上去很復(fù)雜、覺得無從下手，卻又是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題。但對于小學(xué)生來說，理解和掌握“抽屜原理”還存在著一定的難度。所以，本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律，我在設(shè)計(jì)時著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過猜測、驗(yàn)證、觀察、分析等活動，建立數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)思想。我覺得一堂好的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該是原生態(tài)的、充滿“數(shù)學(xué)味”的課；課堂中教師應(yīng)該立足課堂，立足知識點(diǎn)?！皠?chuàng)設(shè)情境-建立模型-解釋應(yīng)用”是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)模式。本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我運(yùn)用這一模式，創(chuàng)設(shè)了一些活動，讓學(xué)生通過活動，產(chǎn)生興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷探究“抽屜原理”的過程，初步了解了“抽屜原理”，并能夠應(yīng)用于實(shí)際，學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在教學(xué)本內(nèi)容之后，本人反思本內(nèi)容的教學(xué)，有如下幾點(diǎn)體會：一、情境的創(chuàng)設(shè)“目的化”。創(chuàng)設(shè)情境，目的不是為了創(chuàng)設(shè)情，主要是目的是讓學(xué)生很快的排除外界及內(nèi)心因素的干擾而進(jìn)入教學(xué)內(nèi)容，營造一個教學(xué)情境，幫助學(xué)生在廣泛的文化情境中學(xué)習(xí)探索，同時也是為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊。導(dǎo)入新課的目的是要引起學(xué)生在思想上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的愿望，產(chǎn)生一種需要認(rèn)識和學(xué)習(xí)的心理。我以“五人座四把椅子，總有一把椅子至少有兩人坐”的游戲?qū)胄抡n，激發(fā)學(xué)生的興趣，初步感受至少有兩位同學(xué)相同的現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)習(xí)新知的欲望。二、知識的探索“自主化”。 “抽屜原理” 的理解對于小學(xué)生來說有著一定難度的。特別是對于“總有”、“至少”這兩個詞的理解。在探索知識時，首先讓學(xué)生由“猜測驗(yàn)證”的方法來構(gòu)建模型，再通過“數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法深入探究，尋找規(guī)律發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步建模實(shí)際應(yīng)用，解決問題”。完全讓學(xué)生進(jìn)行自主探索，親身經(jīng)歷知識的形成過程，體現(xiàn)了自主化。三、教學(xué)語言“簡單化”。教學(xué)，是一門學(xué)問，更是一門藝術(shù)。特別是數(shù)學(xué)這一門學(xué)科，課堂中，數(shù)學(xué)語言精簡性直接影響著學(xué)生對新知識的理解與掌握。例如，教材中“不管怎么放，總有一只抽屜里至少放進(jìn)了幾個蘋果？”對于這句話，學(xué)生聽起來很拗口，也很難理解；通過思考，我將這句話變成“不管怎么放，至少有幾個蘋果放進(jìn)了同一個抽屜中？”這樣對學(xué)生來說，相對顯的通俗易懂。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言，善于發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學(xué)語言所描述的條件及其相互轉(zhuǎn)化，以加深對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用。以上就是本人對本內(nèi)容教學(xué)后所思考的幾方面，當(dāng)然，本內(nèi)容的設(shè)計(jì)還有很多值得商榷的地方，敬請?jiān)u閱的專家提出指導(dǎo)性意見。10