3.2 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性核心考點·精準研析考點一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 1.函數(shù)y=xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-,e-1)B.(e-1,+)C.(e,+)D.(0,e-1)2.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為. 3.(2021·浙江高考改編)函數(shù)f(x)=-ln x+的單調(diào)遞減區(qū)間為_. 4.(2021·天津高考改編)函數(shù)f(x)=excos x的單調(diào)遞增區(qū)間為_. 【解析】1.選D.函數(shù)y=xln x的定義域為(0,+), 因為y=xln x,所以y=ln x+1,令y<0得0<x<e-1,所以減區(qū)間為(0,e-1).2.因為f(x)= ,所以f(x)=,由f(x)>0,解得x<-1-或x>-1+.所以f(x)的遞增區(qū)間為(-,-1-)和(-1+,+).答案:(-,-1-)和(-1+,+)3.f(x)=-ln x+的定義域為(0,+).f(x)=-+=,由x>0知>0,2+1>0,所以由f(x)<0得-2<0,解得0<x<3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3).答案:(0,3)4.由,有f(x)=ex(cos x-sin x).因此,當x(kZ)時,有sin x<cos x,得f(x)>0,那么f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).答案:(kZ)題2中,假設(shè)將“f(x)=改為“f(x)=x2ex,那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 【解析】因為f(x)=x2ex,所以f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.由f(x)<0,解得-2<x<0,所以函數(shù)f(x)=x2ex的單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,0).答案:(-2,0)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域.(2)求f (x).(3)解不等式f (x)>0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞增區(qū)間.(4)解不等式f (x)<0,解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞減區(qū)間.【秒殺絕招】排除法解T1,根據(jù)函數(shù)的定義域排除A,當x(1,+)時,y=x和y=ln x都是增函數(shù)且為正數(shù),所以y=xln x也是增函數(shù),從而排除B,C.考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 【典例】函數(shù)f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.假設(shè)a>0,試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解題導思】序號題目拆解(1)求f(x),解方程f(x)=0求f(x)的定義域,求f(x)并進行恰當?shù)囊蚴椒纸?求出方程f(x)=0的根(2)由f(x)的符號確定f(x)的單調(diào)性用導數(shù)為零的實數(shù)分割定義域,逐個區(qū)間分析導數(shù)的符號,確定單調(diào)性【解析】因為f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, 所以f(x)=,由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+), 令f(x)=0得x=1或x=,(1)假設(shè)<1,即a>,由f(x)>0得x>1或0<x<,由f(x)<0得<x<1,即函數(shù)f(x)在,(1,+)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; (2)假設(shè)>1,即0<a<, 由f(x)>0得x>或0<x<1, 由f(x)<0得1<x<, 即函數(shù)f(x)在(0,1),上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減; (3)假設(shè)=1,即a=,那么在(0,+)上恒有f(x)0, 即函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.綜上可得:當0<a<時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增; 當a=時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增; 當a>時,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意兩點 (1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點.(2021·全國卷I改編)函數(shù)f=-x+aln x,討論f的單調(diào)性.【解析】f(x)的定義域為(0,+),f(x)=-1+=-.(1)假設(shè)a2,那么f(x)0,當且僅當a=2,x=1時f(x)=0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.(2)假設(shè)a>2,令f(x)=0得,x=或x=.當x時,f(x)<0;當x時,f(x)>0.所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.考點三利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題 命題精解讀1.考什么:(1)考查函數(shù)圖像的識別、比擬大小或解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)等問題.(2)考查直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.2.怎么考:與根本初等函數(shù)、不等式等綜合考查函數(shù)的圖像及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等問題.3.新趨勢:以導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性為根底,綜合考查利用單調(diào)性比擬大小、解不等式及知單調(diào)性求參數(shù)的范圍.學霸好方法由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法 (1)可導函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào),實際上就是在該區(qū)間上f (x)0(或f (x)0)恒成立,從而構(gòu)建不等式, 求出參數(shù)的取值范圍,要注意“=是否可以取到.(2)可導函數(shù)在區(qū)間D 上存在單調(diào)區(qū)間,實際上就是f (x)>0(或f (x)<0)在該區(qū)間上存在解集,即f (x)max>0(或f (x)min<0)在該區(qū)間上有解,從而轉(zhuǎn)化為不等式問題,求出參數(shù)的取值范圍.(3)假設(shè)f (x)在區(qū)間D 上的單調(diào)性,區(qū)間D上含有參數(shù)時,可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令D 是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而求出參數(shù)的取值范圍.函數(shù)圖像的識別【典例】函數(shù)f(x)=x2+xsin x的圖像大致為()【解析】選A.因為f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),B不符合題意,f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,那么g(x)=1+cos x0恒成立,所以g(x)是單調(diào)遞增函數(shù),那么當x>0時,g(x)>g(0)=0,故x>0時,f(x)=xg(x),f(x)=g(x)+xg(x)>0,即f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,故只有A符合題意.區(qū)分函數(shù)的圖像主要從哪幾個角度分析?提示:從函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值及函數(shù)圖像所過的特殊點等角度分析.比擬大小或解不等式【典例】(2021·蘭州模擬)函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導,f(x)=f(4-x),且(x-2)f(x)>0.假設(shè)a=f(0),b=f,c=f(3),那么a,b,c的大小關(guān)系是()A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】選C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,根據(jù)題意知,當x(-,2)時,f(x)<0,f(x)為減函數(shù);當x(2,+)時,f(x)>0,f(x)為增函數(shù).所以f(3)=f(1)<f<f(0),即c<b<a.單調(diào)性比擬大小或解不等式,實際上是自變量的大小與相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系的互推,比擬大小時對自變量的取值范圍有什么要求?提示:必須在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi).根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例】(2021·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).假設(shè)f(x)為奇函數(shù),那么a=_;假設(shè)f(x)是R上的增函數(shù),那么a的取值范圍是_.【解析】顯然f(0)有意義,又f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,得a=-1.因為f(x)是R上的增函數(shù),所以f(x)=ex-ae-x=0恒成立,即g(x)=(ex)2a恒成立,又因為g(x)>0,且當x趨向于-時,g(x)趨向于0,所以0a,即a的取值范圍是(-,0.答案:-1(-,0函數(shù)f(x)在某區(qū)間上是增函數(shù),推出f(x)>0還是f(x)0?提示:推出f(x)0.1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)可導,y=f(x)的圖像如下圖,那么導函數(shù)y=f(x)可能為()【解析】選D.由題意得,當x<0時,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增,故f(x)>0;當x>0時,函數(shù)y=f(x)先增再減然后再增,故導函數(shù)的符號為先正再負然后再正.結(jié)合所給選項可得D符合題意.2.函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),f(1)=,對任意實數(shù)都有f(x)-f(x)>0,設(shè)F(x)=,那么不等式F(x)<的解集為()A.(-,1)B.(1,+)C.(1,e)D.(e,+)【解析】選B.根據(jù)題意,F(x)=,其導數(shù)F(x)=,又由f(x)-f(x)>0,那么有F(x) <0,即函數(shù)F(x)在R上為減函數(shù),又由f(1)=,那么F(1)=,不等式F(x)<等價于F(x)<F(1),那么有x>1,那么不等式的解集為(1,+).3.假設(shè)f(x)=2x3-3x2-12x+3在區(qū)間m,m+4上是單調(diào)函數(shù),那么實數(shù)m的取值范圍是_. 【解析】因為f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f(x)>0,得x<-1或x>2;令f(x)<0,得-1<x<2, f(x)在(-,-1和2,+)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減.假設(shè)f(x)在區(qū)間m,m+4上是單調(diào)函數(shù),那么m+4-1或或m2.所以m-5或m2,那么m的取值范圍是(-,-52,+).答案:(-,-52,+)(2021·內(nèi)江模擬)假設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+xln x-x存在單調(diào)遞增區(qū)間,那么a的取值范圍是()A.B.C.(-1,+)D.【解析】選B.因為f(x)=ax2+xln x-x存在單調(diào)遞增區(qū)間,那么f(x)=ax+ln x0在(0,+)上有解,即a-在(0,+)上有解,令g(x)=-,x>0,那么g(x)=,當x>e時,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當0<x<e時,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,又x0,g(x)+,x+,g(x)<0且g(x)0,因為g(e)=-,所以a-,當a=-時,f(x)=-x+ln x,令h(x)=-x+ln x,那么h(x)=-,當x>e時,h(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當0<x<e時,h(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,h(x)h(e)=0,即f(x)0恒成立,此時不滿足題意,所以a的取值范圍是.- 10 -