6.3 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1.(2021·佛山模擬)不等式組表示的平面區(qū)域是()2.實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組那么點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積是()A.3B.C.2D.3.點(diǎn)P(1,-2)及其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內(nèi),那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是.【解析】1.選B.x-2y+40表示的區(qū)域在直線x-2y+4=0的下方及直線上,x-y+2<0表示的區(qū)域在直線x-y+2=0的上方,那么對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B.2.選A.根據(jù)題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域,分別求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出點(diǎn)B到直線y=x的距離為3,|AC|=,所以SABC=×|AC|×d=××3=3.3.根據(jù)題意,設(shè)Q與P(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么Q的坐標(biāo)為(-1,2),假設(shè)P,Q均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內(nèi),那么有解得:<b<,即b的取值范圍為.答案:題3中,假設(shè)將“均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內(nèi)改為“分別位于直線2x+by-1=0的兩側(cè),那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是. 【解析】由題意(2-2b-1)(-2+2b-1)<0,即(2b-1)(2b-3)>0,解得b<或b>.答案:1.點(diǎn)與平面區(qū)域的關(guān)系及應(yīng)用點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi),那么點(diǎn)的坐標(biāo)滿足表示平面區(qū)域的不等式組,假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足不等式組中的任何一個(gè)不等式,那么點(diǎn)不在平面區(qū)域內(nèi),這一關(guān)系可用于平面區(qū)域的判斷和求參數(shù)的范圍.2.求平面區(qū)域的面積首先作出平面區(qū)域,確定平面區(qū)域的形狀,其次利用兩點(diǎn)間距離公式求距離,點(diǎn)到直線的距離公式求高,進(jìn)而求面積.【秒殺絕招】排除法解T1,根據(jù)選項(xiàng)圖形中的特殊點(diǎn)排除不正確選項(xiàng),如利用原點(diǎn)即可排除選項(xiàng)A.考點(diǎn)二簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題中的最值 命題精解讀1.考什么:(1)考查求最大值、最小值,與平面區(qū)域面積相關(guān)的問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等思想方法.2.怎么考:考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值為主,有時(shí)也涉及非線性目標(biāo)函數(shù)的最值.學(xué)霸好方法1.求最值問(wèn)題的解題思路按照作出可行域,確定并求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)求最值的步驟解題.2.交匯問(wèn)題: 與根本初等函數(shù)交匯時(shí),利用函數(shù)的圖像與可行域的關(guān)系討論,與向量交匯時(shí)借助向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù).求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【典例】(2021·新余模擬)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件那么目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為. 【解析】由約束條件可得可行域如圖:由圖得目標(biāo)函數(shù)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)值最小,聯(lián)立直線AB、AC方程得點(diǎn)A(1,-1),所以z=x+2y最小值為-1.答案:-1目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與邊界直線傾斜程度大小如何確定?提示:目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線與邊界直線斜率的大小決定傾斜程度的大小,當(dāng)斜率同號(hào)時(shí),斜率越大,傾斜角越大.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【典例】(2021·太原模擬)實(shí)數(shù)x,y滿足那么z=的取值范圍為()A.(-,-2B.(-,-3C.D.【解析】選B.z=-1+,設(shè)k=,那么k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)D(1,0)連線的斜率,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,A(3,3),B(0,2),由圖形知,AD的斜率為=,此時(shí)z=,BD的斜率為=-2,此時(shí)z=-3,那么z=的取值范圍為(-,-3.分式形式的目標(biāo)函數(shù)常見(jiàn)的幾何意義是什么?提示:分式形式的目標(biāo)函數(shù)可以變形為兩點(diǎn)連線的斜率形式,即轉(zhuǎn)化為斜率求范圍.求參數(shù)的值或范圍【典例】(2021·紹興模擬)給出平面區(qū)域如下列圖,假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=x+ay僅在點(diǎn)(2,2)處取得最大值,那么a的取值范圍為 ()A.0<a<B.aC.a>D.0<a<【解析】選C.根據(jù)畫(huà)出的約束條件表示的可行域?yàn)锳BC內(nèi)部(包括邊界),易知當(dāng)a=0時(shí),z=x的最大值不是2,不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),由目標(biāo)函數(shù)z=x+ay得y=-x+,由題意得-3=kAC<-<0,解得a>當(dāng)a<0時(shí),目標(biāo)函數(shù)為y=-x+在A點(diǎn)處取不到最大值;綜上所述,a的取值范圍是a>.本例中的參數(shù)a影響了目標(biāo)函數(shù)的哪個(gè)性質(zhì)?是如何進(jìn)行討論的?提示:a的不同取值影響目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的斜率,將條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的斜率與邊界斜率的大小進(jìn)行討論.1.(2021·咸陽(yáng)模擬)x,y滿足那么目標(biāo)函數(shù)z=-x+y的最大值是()A.-B.0C.3D.52.(2021·衡陽(yáng)模擬)假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足那么z=(x-2)2+y2的最大值為()A.B.2C.10D.123.(2021·蕪湖模擬)x,y滿足約束條件假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為-5,那么z的最大值為()A.2B.3C.4D.5【解析】1.選C.由不等式組畫(huà)出可行域如圖陰影局部.畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)并平移,顯然過(guò)點(diǎn)A時(shí)目標(biāo)函數(shù)的值最大,如圖中虛線所示,由,解得點(diǎn)A(-1,2),代入目標(biāo)函數(shù)得zmax=1+2=3.2.選C.實(shí)數(shù)x,y滿足的可行域如圖,依題意目標(biāo)函數(shù)z=(x-2)2+y2為可行域內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)D(2,0)距離的平方,如圖,觀察計(jì)算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,那么z=(x-2)2+y2的最大值為10.3.選D.作出不等式組滿足的可行域如圖:可得直線x+y+a=0與直線x-2y+4=0的交點(diǎn)A,使目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取得最小值-5,故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直線x+y+a=0上,即-2+1+a=0,所以a=1,由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),當(dāng)過(guò)點(diǎn)C(3,-4)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取得最大值,最大值為5.1.(2021·池州模擬)假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足且2x+y-7c(x-3)恒成立,那么c的取值范圍是()A.B.(-,2C.D.2,+)【解析】選D.作出實(shí)數(shù)x,y滿足對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由可行域可知x-3<0,由2x+y-7c(x-3)恒成立,可得c=2+恒成立,令z=2+,幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和D(3,1)連線的斜率加2.由圖形,可得A(0,2),B(0,1),由圖可知,直線BD的斜率為0,即斜率的最大值,所以z的最大值為2,所以c的取值范圍是2,+).2.太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖.從孔廟大成殿梁柱,到樓觀臺(tái)、三茅宮、白外五觀的標(biāo)記物,太極圖無(wú)不躍居其上,這種廣為人知的太極圖,其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起,因而被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖.在如下列圖的陰陽(yáng)魚(yú)圖案中,陰影局部的區(qū)域可用不等式組或x2+(y-1)21來(lái)表示,設(shè)(x,y)是陰影中任意一點(diǎn),那么z=x+y的最大值為. 【解析】依題意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直線y=-x+z在y軸上的截距,所以當(dāng)直線y=-x+z與圓x2+(y-1)2=1切于如圖的點(diǎn)A時(shí),z最大(z>1),因?yàn)橹本€y=-x+z與圓相切,所以點(diǎn)(0,1)到直線x+y-z=0的距離為1,即1=,因?yàn)閦>1,所以=1,解得z=1+.答案:1+考點(diǎn)三簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【典例】(2021·蚌埠模擬)現(xiàn)在全國(guó)正在嚴(yán)格實(shí)施垃圾分類(lèi),經(jīng)測(cè)算回收1噸廢紙可以生產(chǎn)出0.8噸再生紙,可節(jié)約用水約100噸,節(jié)約用煤約1.2噸,回收1噸廢鉛蓄電池可生產(chǎn)再生鉛約0.6噸,可節(jié)約用煤約0.8噸,節(jié)約用水約120噸,回收每噸廢鉛蓄電池的費(fèi)用約0.9萬(wàn)元,回收1噸廢紙的費(fèi)用約為0.2萬(wàn)元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費(fèi)用不超過(guò)18萬(wàn)元,在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下,最多可節(jié)約用水約噸【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)由回收廢紙、廢鉛蓄電池,想到分別設(shè)為回收x,y噸.(2)由費(fèi)用不超過(guò)18萬(wàn)元,想到0.2x+0.9y18.(3)由節(jié)約用煤不少于12噸,想到1.2x+0.8y12.(4)由求節(jié)約用水,想到目標(biāo)函數(shù)z=100x+120y【解析】設(shè)回收廢紙x噸,回收廢鉛蓄電池y噸,可節(jié)約用水z噸,由條件可得z=100x+120y,作出不等式組表示的可行域,如下列圖.y=-x+,平移直線可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),在y軸上的截距最大,即z最大,由圖可得點(diǎn)A(90,0),此時(shí)z取得最大值為9 000.答案:9 000利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)審題:仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系.(2)設(shè)元:設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù).(3)作圖:準(zhǔn)確作出可行域,平移找點(diǎn)(最優(yōu)解).(4)求解:代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值).(5)檢驗(yàn):根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反響.(2021·清華附中模擬)A,B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)欲組織本小區(qū)的中學(xué)生,利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng).兩個(gè)小區(qū)每位同學(xué)往返車(chē)費(fèi)及效勞老人的人數(shù)如表:A小區(qū)B小區(qū)往返車(chē)費(fèi)3元5元效勞老人的人數(shù)5人3人根據(jù)安排,去敬老院的往返總車(chē)費(fèi)不能超過(guò)37元,且B小區(qū)參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)的同學(xué)比A小區(qū)的同學(xué)至少多1人,那么接受效勞的老人最多有人. 【解析】設(shè)A,B兩小區(qū)參加活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)分別為x,y,受到效勞的老人人數(shù)為z,那么z=5x+3y,且作出可行域,如圖,平移直線z=5x+3y,由圖可知,當(dāng)直線z=5x+3y過(guò)點(diǎn)M(4,5)時(shí),最大,所以當(dāng)x=4,y=5時(shí),取得最大值為35,即接受效勞的老人最多有35人.答案:35 可修改 歡迎下載 精品 Word