8.4 數(shù)列的求和核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法或并項(xiàng)法求和 1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),那么該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為 ()A.-200B.-100C.200D.1002.數(shù)列1+2n-1的前n項(xiàng)和為()A.2nB.2n-1+1C.n-1+2nD.n+2+2n3.函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+1),那么a1+a2+a3+a100等于()A.0 B.100C.-100 D.10 2004.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2sin,那么a1+a2+a3+a2 021等于 ()A.-B.C. D.-5.正項(xiàng)數(shù)列an滿足-6=an+1an.假設(shè)a1=2,那么數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=_. 【解析】1.選D.由題意知S100=(-1+3)+(-5+7)+(-197+199)=2×50=100.2.選C.由題意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1.3.選B.由題意,得a1+a2+a3+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+-(99+100)+(101+100)=-(1+2+99+100)+(2+3+100+101)=-50×101+50×103=100.4.選A.an=n2sin,所以a1+a2+a3+a2 021=-12+22-32+42-2 0192+2 0202-2 0212=(22-12)+(42-32)+(2 0202-2 0192)-2 0212=(1+2+3+4+2 019+2 020)-2 0212=-2 0212=.5.因?yàn)?6=an+1an,因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0.又因?yàn)閍n>0,所以an+1=3an.又a1=2,所以an是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.所以Sn=3n-1.答案:3n-1將T3變?yōu)?在數(shù)列an中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN*,那么S60的值為()A.990B.1 000C.1 100D.99【解析】選A.n為奇數(shù)時(shí),an+2-an=0,an=2;n為偶數(shù)時(shí),an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+60)=990.1.分組法求和的常見類型(1)假設(shè)an=bn±cn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求an的前n項(xiàng)和.(2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等比或等差數(shù)列,可采用分組法求和.2.并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,那么稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.例如Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.【秒殺絕招】排除法解T2,把n=1代入排除D選項(xiàng),把n=2代入排除A、B選項(xiàng).考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法 【典例】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.(2)令cn=,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n知Sn求anbn是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(2)cn=把a(bǔ)n,bn代入cn=中,得cn的表達(dá)式求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn求得cn=3(n+1)·2n+1,根據(jù)Tn的特征利用乘公比錯(cuò)位相減法求和【解析】(1)由題意知,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=6n+5,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=11,滿足上式,所以an=6n+5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由即可解得所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)·2n+1.又Tn=c1+c2+cn,得Tn=3×2×22+3×23+(n+1)×2n+1,2Tn=3×2×23+3×24+(n+1)×2n+2,兩式作差,得-Tn=3×2×22+23+24+-(n+1)×=3×=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.【答題模板微課】本例題(2)的模板化過程:建模板:“由(1)知cn=3(n+1)·2n+1.寫通項(xiàng)“故Tn=3×2×22+3×23+(n+1)×2n+1,寫前n項(xiàng)和“2Tn=3×2×23+3×24+(n+1)×2n+2, 乘公比“兩式作差,得-Tn=3×2×22+23+24+2n+1-(n+1)×2n+2=3×=-3n·2n+2,錯(cuò)位相減“所以Tn=3n·2n+2.整理出結(jié)果套模板:an=2n-1,bn=2n+1,cn=an·bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】由題知cn=an·bn=(2n+1)2n-1,寫通項(xiàng)故Tn=3×20+5×21+7×22+(2n+1)×2n-1,寫前n項(xiàng)和2Tn=3×21+5×22+7×23+(2n+1)×2n, 乘公比上述兩式相減得,-Tn=3+22+23+2n-(2n+1)×錯(cuò)位相減=3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1,得Tn=(2n-1)×2n+1. 整理出結(jié)果所以數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為(2n-1)×2n+1.利用錯(cuò)位相減法的一般類型及思路(1)適用的數(shù)列類型:anbn,其中數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,bn是公比為q1的等比數(shù)列.(2)思路:設(shè)Sn=a1b1+a2b2+anbn(*),那么qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*),(*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就轉(zhuǎn)化成了根據(jù)公式可求的和.【易錯(cuò)提醒】在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),假設(shè)等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.同時(shí)要注意等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是多少.等比數(shù)列an中,a1+a2=8,a2+a3=24,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)假設(shè)bn=an·log3(Sn+1),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,那么q=3.故a1+a2=a1+3a1=8,解得a1=2.所以an=a1qn-1=2×3n-1.(2)由(1)知Sn=3n-1,所以bn=an·log3(Sn+1)=2×3n-1×log33n=2n×3n-1,所以Tn=b1+b2+b3+bn=2×30+4×31+6×32+2(n-1)×3n-2+2n×3n-1,3Tn=2×31+4×32+6×33+2(n-1)×3n-1+2n×3n,-得-2Tn=2×30+2×31+2×32+2×33+2×3n-1-2n×3n=3n(1-2n)-1.所以Tn=.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和 命題精解讀1.考什么:(1)裂項(xiàng)相消求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)2.怎么考:裂項(xiàng)相消法常以解答題的形式出現(xiàn),考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、構(gòu)造數(shù)列以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等問題.3.新趨勢(shì):裂項(xiàng)相消法求和作為考查等差、等比數(shù)列知識(shí)的綜合題型,因其考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等較多成為高考命題的熱點(diǎn).學(xué)霸好方法 1.裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和解題關(guān)鍵裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終到達(dá)求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng).(1)裂項(xiàng)原那么:一般是前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng),直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).2.交匯問題數(shù)列與方程交匯求項(xiàng)數(shù)、與不等式交匯證明恒成立問題裂項(xiàng)相消直接求和【典例】(2021·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,那么=_.【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,所以解得所以an=n,Sn=,那么=2,那么=2=2=.答案:通項(xiàng)公式an具有怎樣的特征可用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和?提示:如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式,假設(shè)分式的分母為兩個(gè)因式的積,且這兩個(gè)因式的差為定值時(shí),可利用裂項(xiàng)相消法求和.與裂項(xiàng)相消求和有關(guān)的綜合問題【典例】函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0,a1)的圖像所過定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列an的第二項(xiàng)與第三項(xiàng),假設(shè)bn=,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,那么T10= ()A.B.C.1D.【解析】選B.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像過定點(diǎn)(1,0),所以函數(shù)y=loga(x-1)+3的圖像過定點(diǎn)(2,3),那么a2=2,a3=3,故an=n,所以bn=-,所以T10=1-+-+-=1-=.使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要特別注意哪些問題?提示:利用裂項(xiàng)相消法求和的本卷須知(1)使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保存了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如:假設(shè)an是等差數(shù)列,那么=,=.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=9,a2為整數(shù),且SnS5,那么數(shù)列的前9項(xiàng)和為_. 【解析】由SnS5得即得-d-,又a2為整數(shù),所以d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n,=,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=,所以T9=-×=-.答案:-1.假設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=22n+1,令bn=(-1)n-1,那么數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=_. 【解析】由log2an=2n+1知,bn=(-1)n-1=(-1)n-1,所以bn=(-1)n-1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Tn=-+-=-,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=-+-+=+,所以Tn=-(-1)n.答案:-(-1)n2.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足n(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(nN*),那么S1+S2+S2 021=_.  【解析】因?yàn)閚(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(nN*),所以(Sn+1)n(n+1)Sn-1=0.所以n(n+1)Sn-1=0,所以Sn=-.所以S1+S2+S2 021=+=1-=.答案: 可修改 歡迎下載 精品 Word