2.9 函數(shù)的應用核心考點·精準研析考點一利用圖像刻畫實際問題 1.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游效勞質(zhì)量,收集并整理了2021年1月至2021年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖,以下結(jié)論錯誤的選項是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量頂峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)【解析】選A.由題圖可知,2021年8月到9月的月接待游客量在減少,那么A選項錯誤,應選A.2.如下列圖,一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a(m)(0<a<12)、4 m,不考慮樹的粗細,現(xiàn)在用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為S(m2),S的最大值為f(a),假設(shè)將這棵樹圍在花園內(nèi),那么函數(shù)u=f(a)的圖像大致是()【解析】選C.設(shè)BC=x m,那么DC=(16-x)m,由得ax12.矩形面積S=x(16-x)=64.當x=8時取等號.當0<a8時,u=f(a)=64;當a>8時,由于函數(shù)在a,12上為減函數(shù),所以當x=a時,矩形面積取最大值Smax=f(a)=a(16-a).3.某地一年的氣溫Q(t)(單位:)與時間t(月份)之間的關(guān)系如下列圖,該年的平均氣溫為10,令C(t)表示時間段0,t的平均氣溫,以下四個函數(shù)圖像中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是()【解析】選A.假設(shè)增加的數(shù)大于當前的平均數(shù),那么平均數(shù)增大;假設(shè)增加的數(shù)小于當前的平均數(shù),那么平均數(shù)減小.因為12個月的平均氣溫為10,所以當t=12時,平均氣溫應該為10,故排除B;因為在靠近12月份時其溫度小于10,因此12月份前的一小段時間內(nèi)的平均氣溫應該大于10,排除C;6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值,故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況,故排除D.4.(2021·廣州模擬)某罐頭加工廠庫存芒果m(kg),今年又購進n(kg)新芒果后,欲將芒果總量的三分之一用于加工芒果罐頭.被加工為罐頭的新芒果最多為f1(kg),最少為f2(kg),那么以下選項中最能準確描述f1,f2分別與n的關(guān)系的是)【解析】選A.要使得被加工為罐頭的新芒果最少,盡量使用庫存芒果,即當m,n2m時,f2=0,當n>2m時,f2=-m=>0,對照圖像舍去C,D;要使得被加工為罐頭的新芒果最多,那么盡量使用新芒果,即當n,n時f1=,當>n,n<時f1=n,因為<2m,所以選A.判斷函數(shù)圖像與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖像.(2)驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結(jié)合圖像的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.考點二函數(shù)模型求解實際問題 【典例】1.某產(chǎn)品的總本錢y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN*),假設(shè)每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,那么生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總本錢)的最低產(chǎn)量是()A.100臺B.120臺C.150臺D.180臺2.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=某家庭2021年前三個月的煤氣費如表:月份用氣量煤氣費一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元假設(shè)四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,那么其煤氣費為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元3.某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物,為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況,現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位:萬斤)與年份x(記2021年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計如下:x1234f(x)4.005.627.008.86那么f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b;f(x)=2x+a;f(x)=x2+b.那么你認為最適合的函數(shù)模型的序號是.【解題導思】序號聯(lián)想解題1由銷售收入不小于總本錢,想到銷售收入總本錢2由f(x)的解析式考慮用待定系數(shù)法求A,B,C的值3由三個模擬函數(shù)選擇,想到逐個驗證求解【解析】1.選C.設(shè)利潤為f(x)萬元,那么f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,xN*).令f(x)0,得x150,所以生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量是150臺.2.選A. 根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.假設(shè)模型為,那么f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此時f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;假設(shè)模型為,那么f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此時,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;假設(shè)模型為,那么根據(jù)表中數(shù)據(jù)得解得a=,b=,經(jīng)檢驗是最適合的函數(shù)模型.答案:求解函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題,并進行檢驗.1.(2021·中山模擬)據(jù)統(tǒng)計,一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位:min)為f(x)=(A,c為常數(shù)).某工人組裝第4件產(chǎn)品用時30 min,組裝第A件產(chǎn)品用時15 min,那么c和A的值分別是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】選D.由題意可知4<A,那么解得2.一容器中有A,B兩種菌,且在任何時刻A,B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見,科學家用PA=lg nA來記錄A菌個數(shù)的資料,其中nA為A菌的個數(shù),現(xiàn)有以下幾種說法:PA1;假設(shè)今天的PA值比昨天的PA值增加1,那么今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10;假設(shè)科學家將B菌的個數(shù)控制為5萬,那么此時5<PA<5.5(注:lg 20.3).那么正確的說法為.(寫出所有正確說法的序號) 【解析】當nA=1時,PA=0,故錯誤;假設(shè)PA=1,那么nA=10,假設(shè)PA=2,那么nA=100,故錯誤;B菌的個數(shù)為nB=5×104,所以nA=2×105,所以PA=lg nA=lg 2+5.又因為lg 20.3,所以5<PA<5.5,故正確.答案:考點三建立數(shù)學模型解決實際問題 命題精解讀1.考什么:(1)閱讀語言文字的能力,實際問題與數(shù)學問題之間的轉(zhuǎn)化能力,常見的初等函數(shù),對勾函數(shù),分段函數(shù)的性質(zhì)等問題.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).2.怎么考:三種題型都有可能考查,考查學生的數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學建模思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.3.新趨勢:以現(xiàn)實問題為載體,函數(shù)與實際問題、數(shù)與形、函數(shù)性質(zhì)與最值交匯考查.學霸好方法形如f(x)=x+(a>0)的函數(shù)模型稱為“對勾函數(shù)模型,“對勾函數(shù)模型的單調(diào)區(qū)間及最值如下(1)該函數(shù)在(-,-和,+)上單調(diào)遞增,在-,0)和(0,上單調(diào)遞減.(2)當x>0時,x=時取最小值2,當x<0時,x=-時取最大值-2.初等函數(shù)模型及其應用【典例】(2021·馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力,方案逐年加大科研經(jīng)費投入.假設(shè)該高校2021年全年投入科研經(jīng)費1 300萬元,在此根底上,每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,那么該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2021年B.2021年C.2022年D.2023年【解析】選C.假設(shè)2021年是第1年,那么第n年全年投入的科研經(jīng)費為1 300×1.12n萬元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n4,所以第4年,即2022年全年投入的科研經(jīng)費開始超過2 000萬元.每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,說明每年經(jīng)費是上一年的多少倍?提示:說明每年經(jīng)費是上一年的1.12倍.對勾函數(shù)模型及其應用【典例】(2021·榆林模擬)某養(yǎng)殖場需定期購置飼料,該場每天需要飼料200千克,每千克飼料的價格為1.8元,飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元,購置飼料每次支付運費300元.求該場多少天購置一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.【解析】設(shè)該場x(xN*)天購置一次飼料,平均每天支付的總費用為y元.因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)(元).從而有y=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357417,當且僅當=3x,即x=10時,y有最小值.故該場10天購置一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.對勾函數(shù)求最值應注意什么?提示:對勾函數(shù)求最值一定要注意該函數(shù)的單調(diào)性,然后再求最值.分段函數(shù)模型及其應用【典例】(2021·銀川模擬)大氣溫度y()隨著距離地面的高度x(km)的增加而降低,當在高度不低于11 km的高空時氣溫幾乎不變.設(shè)地面氣溫為22,大約每上升1 km大氣溫度降低6,那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.【解析】由題意知,y是關(guān)于x的分段函數(shù),x=11為分界點,易得其解析式為y=答案:y=實際問題中分段函數(shù)的適用條件是什么?提示:實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車計價與路程之間的關(guān)系,應構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.1.要制作一個容積為16 m3,高為1 m的無蓋長方體容器,該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,那么該容器的最低總造價是元. 【解析】設(shè)長方體容器底面矩形的長、寬分別為x m,y m,那么y=,所以容器的總造價為z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由根本不等式得,z=20+20×1640+320=480,當且僅當x=y=4,即底面是邊長為4 m的正方形時,總造價最低.答案:4802.(2021·北京高考)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購置水果的總價到達120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.當x=10時,顧客一次購置草莓和西瓜各1盒,需要支付元; 在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,那么x的最大值為. 【解析】價格為60+80=140元,到達120元,少付10元,所以需支付130元.設(shè)促銷前總價為a元,a120,李明得到金額l(x)=(a-x)×80%0.7a,0x120,即x恒成立,又最小值為=15,所以x最大值為15.答案:130151.(2021·深圳模擬)某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,那么本年5月份 ()A.甲食堂的營業(yè)額較高B.乙食堂的營業(yè)額較高C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高【解析】選A.設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可得,m+8a=m×(1+x)8,那么5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m×(1+x)4=,因為-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高.2.一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(xN*)件.當x20時,年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當x>20時,年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元,那么y與x的函數(shù)關(guān)系式為,該工廠的年產(chǎn)量為件時,所得年利潤最大(年利潤=年銷售總收入-年總投資). 【解析】年銷售總收入減去年總投資即可得到年利潤,年總投資為(x+100)萬元,故函數(shù)關(guān)系式為y=當0<x20時,x=16時函數(shù)值最大,且最大值為156;當x>20時,y<140.故年產(chǎn)量為16件時,年利潤最大.答案:y=16 可修改 歡迎下載 精品 Word