坐標系考點一伸縮變換 1.曲線C:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換得到曲線C,求曲線C的方程.2.曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程.3.將圓x2+y2=1變換為橢圓+=1的一個伸縮變換公式:(,>0),求和的值.【解析】1.因為所以代入曲線C的方程得C:+y2=1.2.根據(jù)題意,曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x2+y2=1,那么(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲線C的方程為4x2+9y2=1.3.將變換后的橢圓+=1改寫為+=1,把伸縮變換公式:(,>0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,與x2+y2=1比擬系數(shù),得所以1.應(yīng)用伸縮變換時,要分清變換前的點的坐標(x,y)與變換后的坐標(x,y).2.平面上的曲線y=f(x)在變換:的作用下得到的方程的求法是將代入y=f(x),得=f,整理之后得到y(tǒng)=h(x),即為變換之后的方程.考點二極坐標與直角坐標的互化 【典例】(2021·烏魯木齊模擬)曲線C1的方程為(x-1)2+y2=1,C2的方程為x+y=3,C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線.(1)以直角坐標系原點O為極點,x軸正方向為極軸建立極坐標系,求C1與C2的極坐標方程.(2)假設(shè)C1與C3的一個公共點為A(異于點O),C2與C3的一個公共點為B,當|OA|+=時,求C3的直角坐標方程.【解析】(1)曲線C1的方程為(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為=2cos.曲線C2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為cos+sin-3=0,(2)設(shè)曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線,那么極坐標方程為=,由于C1與C3的一個公共點A(異于點O),故,所以|OA|=2cos,C2與C3的一個公共點為B,所以所以|OB|=.由于|OA|+=,所以2cos+cos+sin=,即3cos+sin=sin(+)=,當sin=,cos=時,tan =,故曲線C3的直角坐標方程為y=x.1.極坐標與直角坐標的互化依據(jù)是x=cos ,y=sin .2.互化時要注意前后的等價性.在極坐標系下,圓O:=cos +sin 和直線l:sin-=(0,0<2).(1)求圓O和直線l的直角坐標方程.(2)當(0,)時,求直線l與圓O的公共點的極坐標.【解析】(1)圓O:=cos +sin ,即2=cos +sin ,故圓O的直角坐標方程為x2+y2-x-y=0,直線l:sin=,即sin -cos =1,那么直線l的直角坐標方程為x-y+1=0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程,將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0,1),轉(zhuǎn)化為極坐標為,故直線l與圓O的公共點的極坐標為.考點三 極坐標方程的應(yīng)用  命題精解讀1.考什么:(1)考查直線與曲線的位置關(guān)系、距離及取值范圍的問題.(2)考查學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學方法.2.怎么考:極坐標與直線、圓、三角函數(shù)等數(shù)學知識相結(jié)合,考查學生的綜合運用能力.3.新趨勢:以極坐標為載體,與其他數(shù)學知識交匯考查.學霸好方法求取值范圍的解題思路:(1)將極坐標方程與普通方程互化,弄清題目考查知識點;(2)與三角函數(shù)結(jié)合,根據(jù)三角函數(shù)的取值范圍求題目所要求的問題的取值范圍.位置關(guān)系問題【典例】在極坐標系中,直線cos =1與曲線=r(r>0)相切,求r的值.【解析】直線cos =1轉(zhuǎn)化為x-y-2=0,曲線=r(r>0)轉(zhuǎn)化為x2+y2=r2,由于直線和圓相切,那么圓心到直線的距離d=1=r.距離問題【典例】(2021·江蘇高考)在極坐標系中,兩點A,B,直線l的方程為sin=3. (1)求A,B兩點間的距離.(2)求點B到直線l的距離.【解析】(1)設(shè)極點為O.在OAB中,A,B,由余弦定理,得AB=.(2)因為直線l的方程為sin=3,那么直線l過點,傾斜角為.又B,所以點B到直線l的距離為(3-)×sin=2.取值范圍問題【典例】(2021·黃岡模擬)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos=2.點Q為曲線C1上的動點,點P在線段OQ上,且滿足|OQ|·|OP|=4,動點P的軌跡為C2.(1)求C2的直角坐標方程.(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求AOB面積的最大值.【解析】(1)設(shè)P的極坐標為(,)(>0),Q的極坐標為(1,)(1>0),由題意知|OP|=,|OQ|=1=.由|OQ|·|OP|=4得C2的極坐標方程為=2cos(>0),化簡得=cos +sin ,因此C2的直角坐標方程為+=1,但不包括點(0,0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B>0),由題意知,|OA|=2,B=2cos,于是AOB的面積S=|OA|·B·sinAOB=2cos·=2.當=0時,S取得最大值.所以AOB面積的最大值為. - 7 -