12.4 古典概型、幾何概型核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一古典概型 1.在1, 2, 3, 6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù),那么數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是()A.B.C.D.2.(2021·天津高考)某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作.試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí),求事件M發(fā)生的概率.【解析】1.選A.在1,2,3,6中隨機(jī)取出3個(gè)數(shù),所有的結(jié)果為123,126,136,236,共4種,其中數(shù)字2是這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)的結(jié)果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率為.2.(1)由,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21種.由,不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級(jí)的是A,B,C,來自乙年級(jí)的是D,E,來自丙年級(jí)的是F,G,那么從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5種.所以,事件M發(fā)生的概率為P(M)=.1.求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件,設(shè)出所求事件A;(2)分別求出根本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.2.求根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的三種方法(1)列舉法:把所有的根本領(lǐng)件一一列舉出來,此方法適用于情況相對(duì)簡(jiǎn)單的問題.(2)列表法:將根本領(lǐng)件用表格的方式表示出來,通過表格可以弄清根本領(lǐng)件的總數(shù),以及要求的事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù).(3)樹狀圖法:樹狀圖法是使用樹的圖形把根本領(lǐng)件列舉出來的一種方法,樹狀圖法便于分析根本領(lǐng)件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對(duì)于較復(fù)雜的問題,可以作為一種分析問題的主要手段.考點(diǎn)二幾何概型 【典例】1.在區(qū)間-4,1上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,假設(shè)x滿足|x|<a的概率為,那么實(shí)數(shù)a的值為()A.B.1C.2D.32.如圖,四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,那么向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影局部?jī)?nèi)的概率為()A.B.C.D.3.在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P,那么點(diǎn)P在球O的內(nèi)接正四面體中的概率是)A.B.C.D.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由在區(qū)間-4,1上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,聯(lián)想到幾何概型中應(yīng)用長(zhǎng)度計(jì)算概率2由“該點(diǎn)落在陰影局部?jī)?nèi)的概率聯(lián)想到幾何概型中使用面積之比求概率3由聯(lián)想到利用體積之比求概率【解析】1.選D.設(shè)集合A=x|x|<a=(-a,a)(a>0),假設(shè)0<a1,那么A-4,1,由幾何概型的意義,得P(A)=,解得a=2,不符合題意,假設(shè)a>1,那么P(A)=,解得a=3,符合題意.2.選A.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,那么可求得S總=3,陰影局部為兩個(gè)對(duì)稱的三角形,又EAB=AGB,所以sinAGB=,S陰影=2×××1×=1,所以所求概率為P=.3.選C.設(shè)球O的半徑為R,球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為a,所以正四面體的高為a,所以R2=+,即a=2R,所以正四面體的棱長(zhǎng)為,底面面積為××R=R2,高為,所以正四面體的體積為R3,又球O的體積為R3,所以P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正四面體中的概率為.1.與長(zhǎng)度等有關(guān)的幾何概型題目的解法 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度等表示,那么把題中所表示的幾何模型化為長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度等,然后代入概率的計(jì)算公式求解.2.與面積有關(guān)的幾何概型題目的解法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.與體積有關(guān)的幾何概型題目的解法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積以及事件的體積,對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.1.折扇由扇骨和扇面組成,初名腰扇,濫觴于漢末,曾是王公大人的寵物.到了明清時(shí)期在折扇扇面上題詩賦詞作畫,成為當(dāng)時(shí)的一種時(shí)尚,并一直流行至今.現(xiàn)有一位折扇愛好者準(zhǔn)備在如圖的扇面上作畫,由于突然停電,不慎將一滴墨汁落入折扇所在區(qū)域,那么墨汁恰好落入扇面的概率約為()A.B.C.D.【解析】選D.由題得,扇面的面積為S1=··182-··62=96,扇子的面積為S2=··182=108,那么墨汁恰好落入扇面的概率P=.2. (2021·惠州模擬)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在?周髀算經(jīng)?一書中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽的弦圖.弦圖是一個(gè)以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)=弦2,化簡(jiǎn)得:勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1,假設(shè)向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆圖釘(大小忽略不計(jì)),那么落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A.866 B.500C.300D.134【解析】選D.設(shè)勾為a,那么股為a,所以弦為2a,小正方形的邊長(zhǎng)為a-a,所以題圖中大正方形的面積為4a2,小正方形的面積為(-1)2a2,所以小正方形與大正方形的面積比為=1-,所以落在黃色圖形(小正方形)內(nèi)的圖釘數(shù)大約為×1 000134.3.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD -A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD -A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,那么點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為. 【解析】正方體的體積為2×2×2=8,以O(shè)為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為×r3=××13=,那么點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為:1-=1-.答案:1-考點(diǎn)三古典概型與幾何概型的綜合問題 命題精解讀1.考什么:(1)考查數(shù)學(xué)文化背景下的古典概型與幾何概型問題(2)考查與實(shí)際生活有關(guān)的概率問題2.怎么考:以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H生活為載體考查概率問題3.新趨勢(shì):考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等知識(shí)交匯的概率問題學(xué)霸好方法1.解決數(shù)學(xué)文化背景下或?qū)嶋H生活中的概率問題的方法:充分讀取題目信息,恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為古典概型、幾何概型問題,代入概率公式求解.2.考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等知識(shí)交匯的概率問題:脫去向量、線性規(guī)劃、函數(shù)的“外衣,構(gòu)造概率模型求解.與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題【典例】1.為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校購進(jìn)了?三國演義?水滸傳?紅樓夢(mèng)?和?西游記?假設(shè)干套,如果每班每學(xué)期可以隨機(jī)領(lǐng)取兩套不同的書籍,那么該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到?三國演義?和?水滸傳?的概率為()A.B.C.D.2.(2021·全國卷I)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為,黑色局部記為,其余局部記為,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自,的概率分別記為p1,p2,p3,那么A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【解析】1.選D.記?三國演義?水滸傳?紅樓夢(mèng)?和?西游記?為a 、b、c、d,那么該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到兩套書的所有情況有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6種,符合條件的情況為ab共1種,故概率為.2.選A.方法一:取AB=AC=2,那么BC=2,所以區(qū)域的面積為S=×2×2=2,區(qū)域的面積為S=·()2-2=-2,區(qū)域的面積為S=·12-S=2,故p1=p2.方法二:設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,那么有b2+c2=a2,從而可以求得ABC的面積為S=bc,黑色局部的面積為S=·+·-=+bc=·+bc=bc,其余局部的面積為S=·-bc=-bc,所以有S=S,根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到p1=p2.如何解決與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示:讀取數(shù)學(xué)文化背景下的題目信息,構(gòu)建出古典概型、幾何概型的數(shù)學(xué)模型,然后利用概率公式求解.與函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等知識(shí)交匯的古典概型、幾何概型問題【典例】1.在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,那么事件“-1lo1發(fā)生的概率為()A.B.C.D.2.小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)那么為以O(shè)為起點(diǎn),再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記住這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X,假設(shè)X>0就去打球,假設(shè)X=0就去唱歌,假設(shè)X<0就去下棋.(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值.(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】1.選A.由-1lo1得x+2,即0x,故所求概率為=.2.(1)X的所有可能取值為-2 ,-1,0, 1. (2)數(shù)量積為-2的只有·一種;數(shù)量積為-1的有·,·,·,·,·,·六種;數(shù)量積為0的有·,·,·,·四種;數(shù)量積為1的有·,·,·,·四種,所以所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為p1=.因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2=,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題【典例】1.割補(bǔ)法在我國古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ),劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛,即以多余補(bǔ)缺乏,是數(shù)量的平均思想在幾何上的表達(dá).如圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法.ABC內(nèi)任取一點(diǎn),那么該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈的區(qū)域的概率為 ()A.B.C.D.2.如下圖,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為,那么陰影區(qū)域的面積為 ()A.B.C.D. 【解析】1.選C.由題得SABC=ah,S矩形=h,所以SABC=S矩形.所以“盈的區(qū)域的面積等于“虛的區(qū)域的面積.而“虛的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一,所以該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一,故該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈的區(qū)域的概率為.2.選B.向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P=,即=,解得S陰影=.如何解決與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示:把實(shí)際生活中的語言轉(zhuǎn)化為概率問題下的數(shù)學(xué)語言,正確解讀題目中的與未知信息,設(shè)置變量,構(gòu)成概率問題,然后求解.1.5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解題指南】先對(duì)產(chǎn)品標(biāo)號(hào),然后列舉出可能出現(xiàn)的結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A為“恰有一件次品,那么P(A)=0.6.2.現(xiàn)在某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意選取,那么m,n都取到奇數(shù)的概率為. 【解析】因?yàn)檎麛?shù)m的選取有1,2,3,4,5,6,7,共7種情況,而對(duì)于m的每一種取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9種方法,所以根本領(lǐng)件空間中有7×9=63個(gè)元素,其中事件“m,n都取到奇數(shù)包含的根本領(lǐng)件數(shù)為4×5=20,所以所求的概率為.答案:1.假設(shè)a,b-1,0,1,2,那么使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的概率為. 【解析】要使方程有實(shí)數(shù)解,那么a=0或所有可能的結(jié)果為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16個(gè),其中符合要求的有13個(gè),故所求概率P=.答案:2.甲、乙兩人玩一種游戲,在裝有質(zhì)地、大小完全相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6六個(gè)球的口袋中,甲先摸出一個(gè)球,記下編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號(hào),如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏,否那么算乙贏.(1)求甲贏且編號(hào)和為8的事件發(fā)生的概率.(2)這種游戲規(guī)那么公平嗎?試說明理由.【解析】(1)設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為8為事件A,那么事件A包括的根本領(lǐng)件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個(gè).又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有6×6=36種等可能的結(jié)果,故P(A)=.(2)這種游戲規(guī)那么是公平的.設(shè)甲贏為事件B,乙贏為事件C,由題可知甲贏即兩編號(hào)和為偶數(shù)所包含的根本領(lǐng)件數(shù)有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個(gè).所以甲贏的概率P(B)=,故乙贏的概率P(C)=1-=P(B),所以這種游戲規(guī)那么是公平的. - 11 -