5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面向量的根本概念 1.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的B.所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓 C.所有的單位向量都是共線的D.所有單位向量的模相等【解析】選D.因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí),其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圓上,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向不相同也不相反時(shí),這兩個(gè)向量就不共線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?,所以選項(xiàng)D正確.2.給出以下命題:零向量是唯一沒(méi)有方向的向量;零向量的長(zhǎng)度等于0;假設(shè)a,b都為非零向量,那么使 =0成立的條件是a與b反向共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【解析】選B.錯(cuò)誤,零向量是有方向的,其方向是任意的;正確,由零向量的定義可知,零向量的長(zhǎng)度為0;正確,因?yàn)槎际菃挝幌蛄?所以只有當(dāng)與是相反向量,即a與b反向共線時(shí)才成立.1.解答向量概念型題目的要點(diǎn)(1)準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)知識(shí),應(yīng)重點(diǎn)把握兩個(gè)要點(diǎn):大小和方向.(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量,準(zhǔn)確運(yùn)用定義和運(yùn)算律仍需從大小和方向角度去理解.2.(1)兩個(gè)向量不能比擬大小,只可以判斷它們是否相等,但它們的?？梢员葦M大小.(2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征.(3)向量可以自由平移,任意一組平行向量都可以移到同一直線上.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算 【典例】1.(2021·全國(guó)卷I)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),那么=()A.-B.-C.+D.+2.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.假設(shè)=1+2(1、2為實(shí)數(shù)),那么1+2的值為.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“那么=及選項(xiàng),想到平面向量線性運(yùn)算.2由“=1+2,想到平面向量線性運(yùn)算【解析】1.選A.如下圖=-=-=-·(+)=-.【一題多解】選A.在ABC中,找到向量,對(duì)于選項(xiàng)A,作出向量,再作-,與向量比擬,發(fā)現(xiàn)相等,所以選A.2.=+=+=+(+)=-+,所以1=-,2=,即1+2=.答案:1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法那么求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用向量表示出來(lái)求解.2.三種運(yùn)算法那么的關(guān)注點(diǎn)(1)加法的三角形法那么要求“首尾相接,平行四邊形法那么要求“起點(diǎn)相同.(2)減法的三角形法那么要求“起點(diǎn)相同且差向量指向“被減向量.(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.1.(2021·榆林模擬)點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且=2,那么=()A.+B.+C.+D.+【解析】選C.如圖,因?yàn)?2,所以=,所以=+=+=+(-)=+.2.在ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.假設(shè)=x+y,那么x=;y=. 【解析】由,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.答案:-考點(diǎn)三 共線向量定理及其應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)判斷向量共線,三點(diǎn)共線問(wèn)題,含參數(shù)綜合問(wèn)題;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.2.怎么考:與解析幾何,三角函數(shù)圖像與性質(zhì),三角恒等變換結(jié)合考查求參數(shù),最值等.3.新趨勢(shì):以考查共線向量定理的應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法1.證明向量共線的方法:應(yīng)用向量共線定理.對(duì)于向量a,b(b0),假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得a=b,那么a與b共線.2.證明A,B,C三點(diǎn)共線的方法:假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得=,那么A,B,C三點(diǎn)共線.3.解決含參數(shù)的共線問(wèn)題的方法:經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì),構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組,解方程或方程組得到參數(shù)值.向量共線問(wèn)題【典例】(2021·西安模擬)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+b與-(b-2a)共線,那么=.【解析】因?yàn)閍+b與2a-b共線,設(shè)a+b=k(2a-b),那么(1-2k)a+(k+)b=0,所以解得k=,=-.答案:-三點(diǎn)共線問(wèn)題【典例】(2021·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,假設(shè)A,B,D三點(diǎn)共線,那么k的值為.【解析】因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得=.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=(3-k)e1-(2k+1)e2,又e1與e2不共線,所以解得k=-.答案:-解決三點(diǎn)共線問(wèn)題應(yīng)注意什么問(wèn)題?提示:應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線,即A,B,C三點(diǎn)共線,共線.含參數(shù)綜合問(wèn)題【典例】(2021·唐山模擬)在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,假設(shè)=+,那么的取值范圍是【解析】由AD=1,CD=,所以=2.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以=(01).因?yàn)?+,又=+=+2=+,所以=1,即=.因?yàn)?1,所以0.答案:1.O是正方形ABCD的中心.假設(shè)=+,其中,R,那么=()A.-2B.-C.-D.【解析】選A.=+=+=-+=-,所以=1,=-,因此=-2.2.(2021·大同模擬)ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足+=,那么PBC與ABC的面積之比是()A.B.C.D.【解析】選C.因?yàn)?=,所以+=-,所以=-2=2,即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),且PC=AC,由三角形的面積公式知,=.3.P是ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足+=2,假設(shè)SABC=6,那么PAB的面積為()A.2 B.3C.4 D.8【解析】選A.因?yàn)?=2=2(-),所以3=-=,所以,方向相同,所以=3,SPAB=2.1.O,A,B三點(diǎn)不共線,P為該平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,那么()A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上C.點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上D.點(diǎn)P在射線AB上【解析】選D.由=+得-=,所以=·,所以點(diǎn)P在射線AB上.2.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如下圖的正五角星中,以P,Q,R,S,T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且=.以下關(guān)系中正確的是()A.-=B.+=C.-=D.+=【解析】選A.由,-=-=,所以A正確;+=+=,所以B錯(cuò)誤;-=-=,所以C錯(cuò)誤;+=+,=-,假設(shè)+=,那么=0,不合題意,所以D錯(cuò)誤.3.點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)M滿足|-|=0且SABC=3SABM,那么實(shí)數(shù)=. 【解析】如圖,設(shè)D為BC的中點(diǎn),那么+=2,因?yàn)閨-|=0,所以-=0,所以=+=2,于是A,M,D三點(diǎn)共線,且=,又SABC=3SABM,所以=,又因?yàn)镾ABD=SABC且=,所以=×,解得=±3.答案:±3- 8 -