2 參數(shù)方程核心考點·精準研析考點一參數(shù)方程與普通方程的互化 1.假設曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求曲線C的方程.2.在平面直角坐標系中,假設曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求曲線的普通方程.3.將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程.【解析】1.將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得x+2y-2=0(0x2,0y1).2.依題意,消去參數(shù)可得x-2=y-1,即x-y-1=0.3.因為x=,y=4-3×=4-3x.又x=2-0,2),所以x0,2),所以所求的普通方程為3x+y-4=0(x0,2).將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的特征,選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有:代入法、加減法、平方法等,對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)關系式消參.(2)將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意原參數(shù)方程中自變量的取值范圍,不要增解.考點二參數(shù)方程的應用 【典例】(2021·全國卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標方程.(2)假設曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.【解題導思】序號聯(lián)想解題(1)直線的參數(shù)方程化為普通方程時注意分類討論(2)直線的參數(shù)方程性質的應用【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為+=1.當cos 0時,l的直角坐標方程為y=tan ·x+2-tan ,當cos =0時,l的直角坐標方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因為曲線C截直線l所得線段的中點恰為(1,2),所以有兩個解,設為t1,t2,那么t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.1.直線的參數(shù)方程有多種形式,只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義,即參數(shù)t的絕對值表示對應的點到定點的距離.2.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中t的幾何意義,有如下常用結論:(1)假設直線與圓錐曲線相交,交點對應的參數(shù)分別為t1,t2,那么弦長l=|t1-t2|.(2)假設定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1,M2對應的參數(shù)分別為t1,t2,下同)的中點,那么t1+t2=0.(3)設線段M1M2的中點為M,那么點M對應的參數(shù)為tM=.設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),為傾斜角),圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)假設直線l經過圓C的圓心,求直線l的斜率.(2)假設直線l與圓C交于兩個不同的點,求直線l的斜率的取值范圍.【解析】(1)由得直線l經過的定點是P(3,4),而圓C的圓心是C(1,-1),所以,當直線l經過圓C的圓心時,直線l的斜率k=.(2)由圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)),得圓C的圓心是C(1,-1),半徑為2.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù),為傾斜角),得直線l的普通方程為y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.當直線l與圓C交于兩個不同的點時,圓心到直線的距離小于圓的半徑,即<2,解得k>.即直線l的斜率的取值范圍為.考點三極坐標與參數(shù)方程的綜合應用 命題精解讀1.考什么:(1)考查距離、弦長、位置關系、取值范圍等問題.(2)考查邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)及數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法.2.怎么考:與直線、圓、橢圓、三角函數(shù)等數(shù)學知識結合考查求弦長、距離、討論位置關系等問題.3.新趨勢:以參數(shù)方程為載體,與其他數(shù)學知識交匯考查.學霸好方法取值范圍問題的解題思路:(1)求最值問題:結合直線與圓的關系,求圓上的點到直線的距離的最值,用圓心到直線的距離加減半徑.(2)求取值范圍問題:根據(jù)極坐標與參數(shù)方程的關系,結合三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的有界性求取值范圍.交點、距離、弦長問題【典例】以平面直角坐標系的坐標原點O為極點,以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為sin2=4cos .(1)求曲線C的直角坐標方程.(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|.【解析】(1)由sin2=4cos ,可得2sin2=4cos ,所以曲線C的直角坐標方程為y2=4x.(2)將直線l的參數(shù)方程代入y2=4x,整理得4t2+8t-7=0,所以t1+t2=-2,t1t2=-,所以|AB|=×=×=.曲線的位置關系【典例】以極點為原點,以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,曲線C1的極坐標方程為=10,曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)判斷兩曲線C1和C2的位置關系.(2)假設直線l與曲線C1和C2均相切,求直線l的極坐標方程.【解析】(1)由=10得曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=100,由得曲線C2的普通方程為(x-3)2+(y+4)2=25.曲線C1表示以(0,0)為圓心,10為半徑的圓;曲線C2表示以(3,-4)為圓心,5為半徑的圓.因為兩圓心間的距離5等于兩圓半徑的差,所以圓C1和圓C2的位置關系是內切.(2)由(1)建立方程組解得可知兩圓的切點坐標為(6,-8),且公切線的斜率為,所以直線l的直角坐標方程為y+8=(x-6),即3x-4y-50=0,所以極坐標方程為3cos -4sin -50=0.取值范圍(最值)問題【典例】(2021·全國卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2cos +sin +11=0.(1)求C和l的直角坐標方程;(2)求C上的點到l距離的最小值.【解析】(1)因為-1<1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x-1).l的直角坐標方程為2x+y+11=0.(2)由(1)可設C的參數(shù)方程為.C上的點到l的距離為=.當=-時,4cos+11取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為.- 7 -