8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題核心考點·精準研析考點一數(shù)列與函數(shù)的綜合 1.設an是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-2 021的兩個零點是a2,a3,那么a1a4等于 ()A.2 021B.1C.-1D.-2 0212.在各項都為正數(shù)的數(shù)列an中,首項a1=2,且點(,)在直線x-9y=0上,那么數(shù)列an的前n項和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.f(x)=2sin x,集合M=x|f(x)|=2,x>0,把M中的元素從小到大依次排成一列,得到數(shù)列an,nN*.數(shù)列an的通項公式為_. 4.函數(shù)f(x)=log2x,假設數(shù)列an的各項使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成等差數(shù)列,那么數(shù)列an的前n項和Sn=_. 【解析】1.選D.由題意a2,a3是x2-x-2 021=0的兩根.由根與系數(shù)的關系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.選A.由點(,)在直線x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又數(shù)列an各項均為正數(shù),且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以數(shù)列an是首項a1=2,公比q=3的等比數(shù)列,其前n項和Sn=3n-1.3.因為|f(x)|=2,所以x=k+,kZ,x=2k+1,kZ.又因為x>0,所以an=2n-1(nN*).答案:an=2n-1(nN*)4.設等差數(shù)列的公差為d,那么由題意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,從而a1=24,a2=26,a3=28,.易知數(shù)列an是等比數(shù)列,其公比q=4,所以Sn=(4n-1).答案:(4n-1)1.將題2改為函數(shù)f(x)=x的圖像過點(4,2),令an=,nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn,那么S2 021等于()A. -1B. -1C. -1D.2+1【解析】選C.由f(4)=2可得4=2,解得=,那么f(x)= .所以an=-,S2 021=a1+a2+a3+a2 021=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=-1.2.數(shù)列an的通項an=ncos2-sin2,其前n項和為Sn,那么S40為()A.10B.15C.20D.25【解析】選C.由題意得,an=ncos2-sin2=ncos,那么a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,那么S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像研究數(shù)列問題.(2)數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問題時要注意這一特殊性.【秒殺絕招】特例法解T2:由題意(, )在直線x-9y=0上,所以9=0,因為a1=2,易得a2=6,所以S2=8.驗證四個選項可排除BCD.考點二數(shù)列與不等式的綜合 【典例】數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a1=,an=-2·Sn·Sn-1(n2). (1)求數(shù)列an的通項公式an.(2)求證:+-.【解題導思】序號題目拆解(1)an=-2Sn·Sn-1(n2)利用an=Sn-Sn-1將an=-2Sn·Sn-1轉化為Sn,Sn-1的關系求數(shù)列an的通項公式an先求出,利用an=-2Sn·Sn-1進而求得an.(2)求證:+-.由(1)得Sn=,由=<,放縮后利用裂項相消法求和是解題的關鍵【解析】(1)因為an=-2Sn·Sn-1(n2),所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1.兩邊同除以Sn·Sn-1,得-=2(n2),所以數(shù)列是以=2為首項,以d=2為公差的等差數(shù)列,所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.將Sn=代入an=-2Sn·Sn-1,得an=(2)因為=<=(n2),=,所以當n2時,+=+<+=-;當n=1時,=-.綜上,+-.數(shù)列與不等式的綜合問題(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)以數(shù)列為載體,考查不等式恒成立的問題,此類問題可轉化為函數(shù)的最值.(3)考查與數(shù)列有關的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進行證明,有時也可通過構造函數(shù)進行證明.數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明:是等比數(shù)列,并求an的通項公式.(2)證明:+<.【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=,因此an的通項公式為an=.(2)由(1)知=.因為當n1時,3n-12×3n-1,所以.于是+1+=<.所以+<.考點三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應用 命題精解讀1.考什么:(1)考查求最值、比較大小、求取值范圍等問題.(2)考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及 函數(shù)與方程、轉化與化歸等思想方法.2.怎么考:以數(shù)列為載體,考查利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像或不等式的性質(zhì)進行放縮、比較大小、求范圍或最值、證明結論等.3.新趨勢:與函數(shù)、不等式綜合問題的考查學霸好方法1.求最值(或取值范圍)問題的解題思路先構造數(shù)列對應的函數(shù)y=f(x),x(0,+).再由以下方法求最值:(1)利用函數(shù)的單調(diào)性(2)利用均值不等式(3)利用導數(shù)注意是在正整數(shù)內(nèi)討論的.2.交匯問題與函數(shù)、不等式交匯時,依據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.求最值問題【典例】1.在等差數(shù)列an中,假設a1<0,Sn為其前n項和且S7=S17,那么Sn最小時的n的值為()A.12或13B.11或12C.11D.122.在正項等比數(shù)列an中,為a6與a14的等比中項,那么a3+3a17的最小值為()A.2B.89C.6D.3【解析】1.選D.由S7=S17,依據(jù)二次函數(shù)對稱性知當n=12時,Sn最小.2.選C.因為an是正項等比數(shù)列,且為a6與a14的等比中項,所以a6a14=3=a3a17,那么a3+3a17=a3+3·2=6,當且僅當a3=3時,等號成立,所以a3+3a17的最小值為6.求等差數(shù)列前n項和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出最值;(2)利用性質(zhì)求出其正負轉折項,便可求得和的最值;(3)將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.比較大小【典例】數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,bn是等差數(shù)列,且a6=b7,那么有 ()A.a3+a9b4+b10B.a3+a9b4+b10C.a3+a9b4+b10D.a3+a9與b4+b10的大小不確定【解析】選B.因為a3+a92=2=2a6=2b7=b4+b10,當且僅當a3=a9時取等號.此題利用均值不等式比較兩個式子的大小,恰到好處.利用均值不等式時一定要滿足其成立的三個條件分別是什么?提示:(1)a,b均為正數(shù).(2)a,b的和或積必須有一個為定值.(3)a=b時等號成立.求取值范圍問題【典例】設數(shù)列an的通項公式為an=2n-1,記數(shù)列的前n項和為Tn,假設對任意的nN*,不等式4Tn<a2-a恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍為_.【解析】因為an=2n-1,所以=,所以Tn=<,又4Tn<a2-a,所以2a2-a,解得a-1或a2,即實數(shù)a的取值范圍為(-,-12,+).答案:(-,-12,+)1.正項等比數(shù)列an滿足2a5+a4=a3,假設存在兩項am,an,使得8=a1,那么+的最小值為_. 【解析】因為正項等比數(shù)列an滿足2a5+a4=a3,所以2a1q4+a1q3=a1q2,整理,得2q2+q-1=0,又q>0,解得,q=,因為存在兩項am,an使得8=a1,所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8,所以+=(m+n)=2,當且僅當=時取等號,此時m,nN*,又m+n=8,所以只有當m=6,n=2時,+取得最小值是2.答案:22.數(shù)列an的前n項和為Sn,點(n,Sn+3)(nN*)在函數(shù)y=3×2x的圖像上,等比數(shù)列bn滿足bn+bn+1=an(nN*),其前n項和為Tn,那么以下結論正確的選項是 ()A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1C.Tn>anD.Tn<bn+1【解析】選D.因為點(n,Sn+3)在函數(shù)y=3×2x的圖像上,所以Sn+3=3×2n,即Sn=3×2n-3.當n2時,an=Sn-Sn-1=3×2n-3-(3×2n-1-3)=3×2n-1,又當n=1時,a1=S1=3,所以an=3×2n-1.設bn=b1qn-1,那么b1qn-1+b1qn=3×2n-1,可得b1=1,q=2,所以數(shù)列bn的通項公式為bn=2n-1.由等比數(shù)列前n項和公式可得Tn=2n-1.結合選項可知,只有D正確.3.a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).假設a1>1,那么()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【解析】選B.因為ln xx-1(x>0),所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,所以a4=a1·q3-1.由a1>1,得q<0.假設q-1,那么ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4=a1(1+q)·(1+q2)0.又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)a1>1,所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾.因此-1<q<0.所以a1-a3=a1(1-q2)>0,a2-a4=a1q(1-q2)<0,所以a1>a3,a2<a4.1.假設定義在R上的函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x),f(-2)=-3,數(shù)列an滿足a1=-1,且=2×+1(其中Sn為an的前n項和),那么f(a5)+f(a6)= ()A.-3B.-2C.3D.2【解析】選C.由f=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=.又函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),所以有f=f(x)=-f,所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)的周期為3.由=2×+1得Sn=2an+n.當n2時,an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,那么f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3.2.(2021·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,S9=-a5.(1)假設a3=4,求an的通項公式.(2)假設a1>0,求使得Snan的n的取值范圍.【解析】(1)設an的公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通項公式為an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= .由a1>0知d<0,故Snan等價于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范圍是n|1n10,nN. 可修改 歡迎下載 精品 Word