12.7.2 離散型隨機變量與其他知識的綜合問題核心考點·精準(zhǔn)研析考點一與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題 1.一批產(chǎn)品的不合格率為p(0<p<1),從中任取20件檢驗,記20件產(chǎn)品中恰好有2件不合格品的概率為f(p),那么f(p)取到最大值時,p= ()A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.92.離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2PpE(X)=,D(X)=,那么px1x2的最小值為 _. 3.某超市方案按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨本錢每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購方案,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù),2,16,36,25,7,4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值.【解析】1.選A.根據(jù)題意得f(p)=p2(1-p)18,因此f(p)=2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2p(1-p)17(1-10p)(0<p<1).令f(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p(0,0.1)時,f(p)>0;當(dāng)p(0.1,1)時,f(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.所以p=0.1.2.因為+p=1,所以p=,又因為E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,解得或所以px1x2=或px1x2=,所以px1x2的最小值為.答案:3.(1)由題意得,X的可能取值為200,300,500.根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計概率可知P(X=200)=,P(X=300)= =,P(X=500)=,所以六月份這種酸奶一天的需求量X的分布列為:X200300500P(2)當(dāng)200n300時,假設(shè)X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P(Y=800-2n)=.假設(shè)X=300時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=,假設(shè)X=500時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列為:Y800-2n2n2nP所以E(Y)=×(800-2n)+×2n+×2n=n+160,所以當(dāng)n=300時,E(Y)max=520(元).當(dāng)300<n500時,假設(shè)X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.假設(shè)X=300時,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1 200-2n,P(Y=1 200-2n)=.假設(shè)X=500時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列為:Y800-2n1 200-2n2nP所以E(Y)= ×(800-2n)+ ×(1 200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元).綜上,當(dāng)n為300瓶時,Y的數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值.與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題的解法1.與函數(shù)有關(guān)的問題,結(jié)合概率,方差,均值的公式列出函數(shù)表達(dá)式,再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解.2.與方程、不等式有關(guān)的問題,結(jié)合均值、方差公式列出方程或不等式,解方程或不等式即可.考點二與數(shù)列有關(guān)的綜合問題 【典例】(2021·全國卷)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進(jìn)行比照試驗.對于兩組白鼠,當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,假設(shè)施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈那么甲藥得1分,乙藥得-1分;假設(shè)施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈那么乙藥得1分,甲藥得-1分;假設(shè)都治愈或都未治愈那么兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列.(2)假設(shè)甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率,那么p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)=0.5,=0.8.證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列;求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-),所以X的分布列為X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列.由可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=p1.由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=0.003 9,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小,說明這種試驗方案合理.解決離散型隨機變量與數(shù)列交匯的綜合問題的方法把離散型隨機變量的分布列、方差、均值用表達(dá)式表示出來,結(jié)合數(shù)列中等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義、通項、求和等思想方法,分拆為一個個小問題,各個擊破,最后解答整個問題.某情報站有A,B,C,D四種互不相同的密碼,每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種.設(shè)第一周使用A種密碼,那么第7周也使用A種密碼的概率為_.(用最簡分?jǐn)?shù)表示) 【解析】用Pk表示第k周用A種密碼的概率,那么第k周未用A種密碼的概率為1-Pk,所以Pk+1=,kN*,所以Pk+1-=-.由P1=1知,數(shù)列是首項為,公比為-的等比數(shù)列,所以Pk-=,所以Pk=+,P7=+=.答案:考點三與統(tǒng)計交匯的綜合問題 命題精解讀1.考什么:與統(tǒng)計知識交匯命題,考查統(tǒng)計背景下離散型隨機變量的分布列、均值、方差的計算問題. 2.怎么考:與統(tǒng)計中頻率分布直方圖、獨立性檢驗、線性回歸方程、莖葉圖等知識結(jié)合,綜合考查統(tǒng)計中的數(shù)字特征和概率分布中的均值、方差.3.新趨勢:概率與統(tǒng)計結(jié)合,綜合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差等.學(xué)霸好方法與統(tǒng)計知識交匯問題的解決方法: (1)熟練掌握統(tǒng)計中抽樣方法、用樣本估計總體的思想,掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、條形圖等統(tǒng)計圖形的意義,熟記平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式.(2)正確求解離散型隨機變量的分布列、均值、方差,熟悉二項分布、正態(tài)分布的模型.與統(tǒng)計中的頻率分布表、頻率分布直方圖等有關(guān)的綜合問題【典例】一個不透明的袋子中裝有4個形狀相同的小球,分別標(biāo)有不同的數(shù)字2,3,4,x,現(xiàn)從袋中隨機摸出2個球,并計算摸出的這2個球上的數(shù)字之和,記錄后將小球放回袋中攪勻,進(jìn)行重復(fù)試驗.記A事件為“數(shù)字之和為7.試驗數(shù)據(jù)如表:摸球總次數(shù)“和為7出現(xiàn)的頻數(shù)“和為7出現(xiàn)的頻率1010.102090.4530140.4760240.4090260.29120370.31180580.32240820.343301090.334501500.33參考數(shù)據(jù):0.33(1)如果試驗繼續(xù)下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“數(shù)字之和為7的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.試估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7的概率,并求x的值.(2)在(1)的條件下,設(shè)定一種游戲規(guī)那么:每次摸2球,假設(shè)數(shù)字和為7,那么可獲得獎金7元,否那么需交5元.某人摸球3次,設(shè)其獲獎金額為隨機變量元,求的數(shù)學(xué)期望和方差.【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知,當(dāng)試驗次數(shù)增加時,頻率穩(wěn)定在0.33附近,所以可以估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7的概率為;因為P(A)=,所以A事件包含兩種結(jié)果,那么有3+4=2+x=7,解得x=5. (2)設(shè)表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù),那么A3,E()=3× =1,D()=3××=;那么=7-5(3-)=12-15,E()=E(12-15)=12E()-15=12-15=-3,D()=D(12-15)=144D()=144×=96.與統(tǒng)計中的回歸直線方程、獨立性檢驗有關(guān)的綜合問題【典例】隨著 的開展,“微信逐漸成為人們交流的一種形式,某機構(gòu)對“使用微信交流的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流贊成人數(shù)如表:年齡(單位:歲)頻數(shù)贊成人數(shù),55,1010,1512,107,52,51(1)假設(shè)以“年齡55歲為分界點,由統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān).年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)總計贊成不贊成總計(2)假設(shè)從年齡不低于55歲的被調(diào)查人中隨機選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求3人中贊成“使用微信交流的人數(shù)的分布列和均值.參考數(shù)據(jù):P0.050.0100.001x03.8416.63510.8282= ,其中n=a+b+c+d.【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下:年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)總計贊成33437不贊成7613總計1040502=12.578>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān).(2)設(shè)3人中贊成“使用微信交流的人數(shù)為X,那么X的取值為0,1,2,3,由(1)中數(shù)據(jù)可得年齡不低于55歲的人數(shù)為10,其中贊成“使用微信交流的人數(shù)為3,不贊成“使用微信交流的人數(shù)為7,所以P=,P=, P=,P=,所以X的分布列為X0123P所以均值為E(X)=0×+1×+2×+3×=.與統(tǒng)計中的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征有關(guān)的綜合問題【典例】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的范圍內(nèi),某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中,檢驗員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進(jìn)行檢測,每天檢測4次:每次檢測由檢驗員從該藥品生產(chǎn)線上隨機抽取20件藥品進(jìn)行檢測,測量其主要藥理成分含量(單位:mg).根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的藥品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(,2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示某次抽取的20件藥品中主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品件數(shù),求P(X=1) (精確到0. 000 1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)在一天內(nèi)四次檢測中,如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常情況,需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;如果在一天中,有連續(xù)兩次檢測出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品,那么需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測.下面是檢驗員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.經(jīng)計算得=xi=9.96,s=0.19.其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量,i=1,2,20,用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值,利用估計值判斷是否需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.試確定一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測的概率(精確到0.001).附:假設(shè)隨機變量Z服從正態(tài)分布N,那么P(-3<Z+3)=0.997 3,0.997 3190.949 9,0.997 3200.947 4,0.052 620.002 8,0.947 420.897 6【解析】(1)抽取的一件藥品的主要藥理成分含量在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.997 3,從而主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的概率為0.002 7, 故XB(20,0.002 7).因此P(X=1)=(0.997 3)19×0.002 70.051 3,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20×0.002 7=0.054.(2)由=9.96,s=0.19,得的估計值為=9.96,的估計值為=0.19,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分含量(9.22)在(-3,+3)=(9.39,10.53)之外,因此需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.設(shè)“在一次檢測中,發(fā)現(xiàn)需要對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查為事件A,那么 P(A)=1-P(X=0)201-(0.997 3)201-0.947 4=0.052 6,如果在一天中,需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測,那么在一天的四次檢測中,有連續(xù)兩次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品,故概率為P=3P(A)2×1-P(A)23×(0.052 6)2×(0.947 4)20.007,所以一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測的概率為0.007.1.某地農(nóng)民種植A種蔬菜,每畝每年生產(chǎn)本錢為7 000元,A種蔬菜每畝產(chǎn)量及價格受天氣、市場雙重影響,預(yù)計明年雨水正常的概率為,雨水偏少的概率為.假設(shè)雨水正常,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為2 000千克,單價為6元/千克的概率為,單價為3元/千克的概率為; 假設(shè)雨水偏少,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為1 500千克,單價為6元/千克的概率為,單價為3元/千克的概率為.(1)計算明年農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率.(2)在政府引導(dǎo)下,方案明年采取“公司加農(nóng)戶,訂單農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)模式,某公司未來不增加農(nóng)民生產(chǎn)本錢,給農(nóng)民投資建立大棚,建立大棚后,產(chǎn)量不受天氣影響,因此每畝產(chǎn)量為2 500千克,農(nóng)民生產(chǎn)的A種蔬菜全部由公司收購,為保證農(nóng)民的每畝預(yù)期收入增加1 000元,收購價格至少為多少?【解析】(1)只有當(dāng)價格為6元/千克時,農(nóng)民種植A種蔬菜才不虧本,所以農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率是P= ×+× =.(2)按原來模式種植,設(shè)農(nóng)民種植A種蔬菜每畝收入為元,那么可能取值為:5 000,2 000,-1 000,-2 500.P(=5 000)=× =,P(=2 000)=× =,P(=-1 000)=×=,P(=-2 500)=×=,E()=5 000×+2 000×-1 000×-2 500×=500,設(shè)收購價格為a元/千克,農(nóng)民每畝預(yù)期收入增加1 000元,那么2 500a7 000+1 500,即a3.4,所以收購價格至少為3.4元/千克.2.“黃梅時節(jié)家家雨“梅雨如煙暝村樹“梅雨暫收斜照明江南梅雨的點點滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南Q鎮(zhèn)20212021年梅雨季節(jié)的降雨量(單位:mm)的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計總體概率,解答以下問題:(1)“梅實初黃暮雨深.假設(shè)每年的梅雨天氣相互獨立,求Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350 mm的概率.(2)“江南梅雨無限愁.在Q鎮(zhèn)承包了20畝土地種植楊梅的老李也在犯愁,他過去種植的甲品種楊梅,平均每年的總利潤為28萬元.而乙品種楊梅的畝產(chǎn)量m(kg/畝)與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計表所示,又知乙品種楊梅的單位利潤為 32-0.01×m(元/kg),請你幫助老李排解憂愁,他來年應(yīng)該種植哪個品種的楊梅可以使利潤(萬元)的期望更大(需說明理由).降雨量畝產(chǎn)量100,200)500200,300)700300,400)600400,500400【解析】(1)頻率分布直方圖中第四組的頻率為1-100×=0.1. 江南Q鎮(zhèn)在梅雨季節(jié)時降雨量超過350 mm的概率為50×0.003+0.1=0.25.所以Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350 mm的概率為××+=+=(或0.156 25).(2)根據(jù)題意,總利潤為20m(元),其中m=500,700,600,400.所以隨機變量(萬元)的分布列如表.273531.222.4P0.20.40.30.1故總利潤(萬元)的數(shù)學(xué)期望E()=27×0.2+35×0.4+31.2×0.3+22.4×0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31(萬元).因為31>28,所以老李來年應(yīng)該種植乙品種楊梅,可使總利潤的期望更大.- 13 -