5.3 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用核心考點·精準研析考點一平面向量的數(shù)量積的根本概念及運算 1.(2021·全國卷II)向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,那么a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】選B.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.2.(2021·皖南八校聯(lián)考)|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,那么(a+2b)·a=. 【解析】因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos 45°=1+.答案:1+【一題多解】坐標法解T2,因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,可設a=,b=(1,0),那么a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.答案:1+3.(2021·合肥模擬) 平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,那么a在b方向上的射影等于. 【解析】因為|a|=1,|b|=2,|a+b|=,所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,所以a·b=-1,所以a在b方向上的射影為=-.答案:-平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a|b|cos <a,b>.(2)當向量的坐標時,可利用坐標法求解,即假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a·b=x1x2+y1y2.(3)對于數(shù)量積與線性運算的綜合問題,可先運用數(shù)量積的運算律,幾何意義等化簡,再運算.考點二平面向量的數(shù)量積在幾何中的應用 【典例】1.在ABC中,A=60°,AB=3,AC=2.假設=2,=-(R),且·=-4,那么的值為. 2.O,N,P在ABC所在平面內(nèi),且|=|=|,+=0,且·=·=·,那么點O,N,P依次是ABC的()A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心(注:三角形的三條高線交于一點,此點為三角形的垂心)【解題導思】序號聯(lián)想解題1看到“·=-4,想到和分別用,來表示2看到三個題設條件,想到ABC的“三心【解析】1.·=3×2×cos 60°=3,=+,那么·=·(-)=×3+×4-×9-×3=-4=.答案:2.選C.由|=|=|知,O為ABC的外心;由+=0知,N為ABC的重心;因為·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P為ABC的垂心.1.平面向量中數(shù)量積的三種求法(1)利用定義求解.(2)利用向量的坐標運算求解.(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.2.向量的數(shù)量積在平面幾何應用中的解題策略(1)利用運算律結合圖形先化簡再運算.(2)注意向量的夾角與平面幾何中的角的關系(相等還是互補).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,點O為平面內(nèi)一點,假設滿足:(1)+=0,那么點O為三角形的重心.(2)|=|=|,那么點O為三角形的外心.(3)·=·=·,那么點O為三角形的垂心.(4)|·+|·+|·=0,那么點O為三角形的內(nèi)心.1.(2021·濟寧模擬)平面四邊形ABCD中,+=0,(-)·=0,那么四邊形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】選C.因為+=0,所以=-=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又(-)·=·=0,所以四邊形對角線互相垂直,所以四邊形ABCD是菱形.2.A,B,C是平面上不共線的三點,O為坐標原點,動點P滿足=(1-)+(1-)+(1+2)·,R,那么點P的軌跡一定經(jīng)過()A.ABC的內(nèi)心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB邊的中點【解析】選C.取AB的中點D,那么2=+,因為=(1-)+(1-)+(1+2),所以=2(1-)+(1+2)=+,又+=1,所以P,C,D三點共線,所以點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心.考點三 平面向量數(shù)量積的綜合應用 命題精解讀1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夾角,平行、垂直問題;(2)考查數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結合,轉化與化歸的思想.2.怎么考:與平面向量根本定理,坐標運算,平面幾何結合考查求模,夾角,夾角余弦值,參數(shù)等等.學霸好方法1.在求向量的模時,一定要注意公式|a|= 的應用,即將向量的長度(或模)轉化為向量數(shù)量積.2.求兩個向量的夾角,常常利用兩個向量夾角的余弦公式,求其夾角的余弦,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求角.3.解決關于平面向量的平行與垂直問題,其關鍵是充分利用平行與垂直的充要條件,得出一個等式,然后求解. 平面向量的模【典例】1.(2021·全國卷)=(2,3), =(3,t),|=1,那么·= ()A.-3B.-2C.2D.3【解析】選C.因為=-=(1,t-3),又因為|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2.2.直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,那么|+3|的最小值為.【解析】建立平面直角坐標系如下圖,那么A(2,0),設P(0,y),C(0,b),那么B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),當y=b時,|+3|取得最小值5.答案:5 1.求向量的模有哪些方法?提示:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算.(2)幾何法,利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)有哪些方法?提示:(1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解. 平面向量的夾角【典例】1.(2021·全國卷)a,b為單位向量,且a·b=0,假設c=2a-b,那么cos<a,c>=_. 【解析】因為c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,所以|c|=3,因為a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,所以cos<a,c>=.答案: 2.(2021·運城模擬)平面向量a,b滿足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,那么向量a與b的夾角的正弦值為_. 【解析】因為a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos<a,b>=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-,又<a,b>0,所以sin<a,b>=.答案: 1.向量夾角問題如何求解?提示:假設題目給出向量的坐標表示,可直接運用公式cos = 求解.沒有坐標時可用公式cos =.研究向量夾角應注意“共起點,注意取值范圍是0,.2.對于兩個不共線的向量,數(shù)量積的符號與夾角有何關系?提示:當數(shù)量積大于0時,夾角為銳角;當數(shù)量積等于0時,夾角為直角;當數(shù)量積小于0時,夾角為鈍角.平行、垂直問題【典例】1.(2021·天津模擬)向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),假設(2a+b)c,那么x=()A.-1 B.-2C.-3 D.-4【解析】選C.因為a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因為c=(x,3),(2a+b)c,所以-1×3-x=0,所以x=-3.2.(2021·全國卷)非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,那么a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】選B.設夾角為,因為(a-b)b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos =,又0,所以a與b的夾角為.兩個非零向量垂直的充要條件有哪些?提示:aba·b=0x1x2+y1y2=0|a-b|=|a+b|.注意:數(shù)量積的運算a·b=0ab中,是對非零向量而言的,假設a=0,雖然有a·b=0,但不能說ab.1.向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,那么|a +2b|= . 【解析】=(a+2b)2=22+2×2×2×+22=4+4+4=12,所以=2.答案:22.假設非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,那么a與b的夾角余弦值為. 【解析】因為|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,所以a·b=-|b|2,令夾角為,所以cos =答案:-3.(2021·北京高考)向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,那么m=. 【解析】因為ab,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:81.(2021·天津高考)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,那么·=. 【解析】如圖,過點B作AE的平行線交AD于F,因為ADBC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因為AE=BE,故四邊形AEBF為菱形.因為BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.因為=-=-,所以·=(-)·=·-=×2×5×-12-10=-1.答案:-1【一題多解】解答此題還可以用如下方法解決:建立如下圖的平面直角坐標系,那么B(2,0),D.因為ADBC,BAD=30°,所以ABE=30°,因為AE=BE,所以BAE=30°,所以直線BE的斜率為,其方程為y=(x-2),直線AE的斜率為-,其方程為y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以·=·(,-1)=-1.答案:-12.(2021·武漢模擬)a,b,e是平面向量,e是單位向量,假設非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4e·b+3=0,那么|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-【解析】選A.設e=(1,0),b=(x,y),那么b2-4e·b+3=0x2+y2-4x+3=0(x-2)2+y2=1.如下圖,a=,b=(其中A為射線OA上動點,B為圓C上動點,AOx=).所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CDOA).- 9 -