8.5.1 等差與等比數(shù)列的綜合問題核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一根本量的運(yùn)算 1.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差不為0.假設(shè)a2,a3,a6成等比數(shù)列,那么前6項(xiàng)的和為()A.-24B.-3C.3D.82.an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,假設(shè)a3,a4,a8成等比數(shù)列,那么 ()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>03.(2021·江蘇高考)數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.假設(shè)a2a5+a8=0,S9=27,那么S8的值是_. 4.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)a2,a5,a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,nN*),那么m+n=_.【解析】1.選A.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由a2,a3,a6成等比數(shù)列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不為0,那么d=-2,故an前6項(xiàng)的和為S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.2.選B.因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列,a3,a4,a8成等比數(shù)列,所以=,解得a1=-d,所以S4=2=2=-d,所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.3.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8=4(2a1+7d)=16.答案:164.設(shè)公差為d,那么=a2a11(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d0),整理得a1=2d,由a11=2(Sm-Sn),可得a1+10d=2 ,化簡得(m2-n2)+3(m-n)=12,即(m-n)(m+n+3)=12,因?yàn)閙>n>0,m,nN*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù),且a3,a5,a4成等差數(shù)列,那么的值是()A.B.C.D.【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a3,a5,a4成等差數(shù)列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),=.等差數(shù)列、等比數(shù)列根本量的運(yùn)算方法(1)等差、等比數(shù)列各有五個(gè)根本量,兩組根本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于根本量的方程(組)問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)根本量,用它們表示和未知是常用方法.考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 【典例】設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)Sn=2an-a1將Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系,由Sn=2an-a1,將a2、a3用a1表示a1,a2+1,a3成等差數(shù)列根據(jù)關(guān)系列方程,得a1(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn由(1)寫出的表達(dá)式,表示出Tn求使得|Tn-1|<成立的n的最小值由|Tn-1|<解關(guān)于n的不等式【解析】(1)由Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).所以公比q=2.從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列故,an=2n.(2)由(1)得=.所以Tn=+=1-.由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.因?yàn)?9=512<1 000<1 024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值為10.等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的兩大解題策略(1)設(shè)置中間問題:求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序.(2)注意解題細(xì)節(jié):在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.【誤區(qū)警示】在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合.【變式備選】等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式.(2)求+.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, d>0,bn的公比為q,那么an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依題意有解得或(舍去).故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+n=n(n+1),所以=2,所以+=2=2=.公比不為1的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)對(duì)nN*,在an與an+1之間插入3n個(gè)數(shù),使這3n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這3n個(gè)數(shù)的和為bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因?yàn)閝1,所以q=,所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.(2)由題意得bn=·3n=·,Tn=·=.考點(diǎn)三求數(shù)列的通項(xiàng)公式 命題精解讀1.考什么:數(shù)列的通項(xiàng)公式2.怎么考:(1)由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an(2)由遞推公式求通項(xiàng)an(3)構(gòu)造新數(shù)列求an3.新趨勢(shì):以數(shù)列為載體,與函數(shù)或不等式等綜合考查學(xué)霸好方法1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式an(1)形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,常用累加法(2)形如an+1=anf(n)的數(shù)列,常可采用累乘法(3)形如an+1=ban+d(其中b,d為常數(shù),b0,1)的數(shù)列,常用構(gòu)造法2.交匯問題與函數(shù)或不等式等交匯時(shí),經(jīng)常先構(gòu)造出新的等差或等比數(shù)列求解,然后再求an由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an【典例】(2021·全國卷改編)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.假設(shè)Sn=2an+1,那么an=_. 【解析】因?yàn)镾n=2an+1,當(dāng)n2時(shí),Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以數(shù)列an是首項(xiàng)a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列,所以an=-1×2n-1=-2n-1.答案:-2n-1Sn與an關(guān)系問題的求解思路如何?提示:根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.利用an=Sn-Sn-1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式利用Sn-Sn-1=an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)【典例】1.設(shè)數(shù)列an滿足a1=3,an+1=an+,那么通項(xiàng)公式an=_. 【解析】原遞推公式可化為an+1=an+-,那么a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,an-1=an-2+-,an=an-1+-,以上(n-1)個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相加得,an=a1+1-,故an=4-.答案:4-2.在數(shù)列an中,a1=1,an=an-1(n2),那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_.【解析】因?yàn)閍n=an-1(n2),所以an-1=an-2,an-2=an-3,a2=a1.以上(n-1)個(gè)式子相乘得an=a1····=.當(dāng)n=1時(shí),a1=1,上式也成立.所以an=(nN*).答案:an=(nN*)(1)形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,選擇何種方法求通項(xiàng)公式?提示:累加法(2)形如an+1=anf(n)的數(shù)列,選擇何種方法求通項(xiàng)公式?提示:累乘法【誤區(qū)警示】利用累乘法求通項(xiàng)公式時(shí),易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問題:一是在連乘的式子中只寫到,漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤;二是根據(jù)連乘求出an之后,不注意檢驗(yàn)a1是否成立.構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)an【典例】1.數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+2,那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_. 【解析】因?yàn)閍n+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以數(shù)列an+1為等比數(shù)列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1(nN*).答案:an=2·3n-1-1(nN*)2.數(shù)列an滿足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,nN*.求證:數(shù)列an+1-an為等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)?2,所以數(shù)列an+1-an是公比為2,首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,所以an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+2n-1=2n-2(n2),an=2n(n2),當(dāng)n=1時(shí),a1=2滿足上式,所以an=2n(nN*).1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)a1=1,an+1=3Sn(n1),那么a6=()A.3×44B.3×44+1C.45D.45+1【解析】選A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=192=3×43,a6=3S5=768=3×44.【一題多解】選A.當(dāng)n1時(shí),an+1=3Sn,那么an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以該數(shù)列從第2項(xiàng)開始是以4為公比的等比數(shù)列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以當(dāng)n=6時(shí),a6=3×46-2=3×44.2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,那么Sn=()A.2n-1B.C.D.【解析】選B.由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.3.設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,且an+1=an+n+1(nN*),那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_. 【解析】由題意得a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加,得an=a1+2+3+n.又因?yàn)閍1=1,所以an=1+2+3+n=(n2),因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)也滿足上式,所以an=(nN*).答案:an=4.設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2nan,那么通項(xiàng)公式an=_. 【解析】由an+1=2nan,得=2n-1(n2),所以an=····a1=2n-1·2n-2··2·1=21+2+3+(n-1)=.又a1=1適合上式,故an=.答案:1.在數(shù)列an中,a1=3,且點(diǎn)Pn(an,an+1)(nN*)在直線4x-y+1=0上,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,an+1)(nN*)在直線4x-y+1=0上,所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,得an+1+=4,所以是首項(xiàng)為a1+=,公比為4的等比數(shù)列,所以an+=·4n-1,故an=·4n-1-.【變式備選】在數(shù)列an中,a1=1,數(shù)列an+1-3an是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列.(1)求a2,a3.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列an+1-3an是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列,所以an+1-3an=9×3n-1=3n+1,所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.(2)因?yàn)閍n+1-3an=3n+1,所以-=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=+=.2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.(1)證明:an+2=3an.(2)求S2n.【解析】(1)由條件,對(duì)任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,那么對(duì)任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2,又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故對(duì)一切nN*,an+2=3an.(2)由(1)知,an0,所以=3.于是數(shù)列a2n-1是首項(xiàng)a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列a2n是首項(xiàng)a2=2,公比為3的等比數(shù)列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2×(1+3+3n-1)=3×(1+3+3n-1)= 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